2.7 勾股定理的应用（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理及其逆定理的实际应用，衔接定理基本内容，通过最短路径（圆柱、长方体表面展开）和13类生活题型（梯子滑行、旗杆拉线等），构建从理论到应用的学习支架，系统梳理建模方法与解题策略。 以生活情境为载体，通过蚂蚁爬行、梯子滑行等实例，引导学生用数学眼光抽象直角三角形模型，用数学思维分类讨论（如长方体展开方式对比）和逻辑推理（逆定理判定直角），题型分类与易错总结提升课中教学效率，分层练习助力课后查漏补缺。

第二章 特殊三角形 2.7 勾股定理及其逆定理的实际应用 课标要点 1.理解勾股定理及其逆定理的意义，明确二者互逆关系。 2.能利用勾股定理解决实际场景中的边长、距离计算问题。 3.会用逆定理判断实际图形中的直角，识别直角三角形。 4.具备结合生活情境建模、解决简单实际应用问题的能力。 学习重难点 重点： 1.熟练运用勾股定理求解实际问题中的线段长度、两点距离。 2.掌握逆定理判定方法，利用三边关系判断实际模型中的直角。 3.能从生活情境中抽象出直角三角形模型并解题。 难点： 1.区分两类定理应用场景：实际求长度用勾股定理，证直角用逆定理。 2.准确选取最长边，正确利用平方关系完成直角判定。 3.综合情境中灵活转化线段，解决测距、最值、路线等实际问题。 知识点 勾股定理中最短路径问题（重点） 1. 圆柱中的最短路径模型： （1）蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A到点C的最短路径： 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A到点C的最短路径为线段AC， （2）蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A到点C的最短路径 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A到点B的最短路径为线段AB， 2. 长方体中的最短路径模型（求长方体上A、B 两点之间的距离）： ①右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab ②上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc ③上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 总结：长方体中最短路径AB= ； 正方体中最短路径AB== 。 特别提醒 1）核心原则：立体表面爬行必须展开成平面，依据 “两点之间线段最短”，再用勾股定理计算； 2）长方体存在3种展开方式，需全部计算对比，取最小值才是最短路径。 随学随练 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，根据两点之间，线段最短可得解． 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 2．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 拓展 最短路径模型中圆柱模型与长方体模型的联系与区别 对比维度 正方体 长方体 圆柱 展开方案数量 3种展开方式 3种不同展开方式 仅1种侧面展开形式 路径长度特点 三种展开计算结果相等，无需比大小 三种路径长度不同，必须计算对比取最小值 只有一组计算结果，无需对比 直角边构造规律 任意两条棱长之和为一条直角边，第三条棱为另一直角边 最短两条棱相加作一条直角边，路径最短 竖直直角边为圆柱高；上下异侧点水平边取底面半周长πr 核心解题特点 计算最简单，无择优步骤 需分类计算、择优，步骤最多 仅展开侧面，无多方案选择 特殊拓展点 棱长全部相等，模型单一 长宽高互不相等，是考试高频易错模型 含曲面转化平面，易混淆整周长、半周长 共同前提 均为几何体表面爬行，不可穿透内部；依托 “两点之间线段最短 + 勾股定理” 求解 活学活用 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵点P是的中点， ∴， 如图， ∴， ∴； 如图， ∴； 如图， ∴， ∵， ∴所走的最短路程是； 故选C． 2．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为________． 【答案】 【分析】把圆柱的侧面展开，找出最短路径，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，此时是底面周长的一半， ∴，， ， ∴蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为__________． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键． 将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ∴， 故答案为：． 拓展 易错总结 1. 定理混用易错：分不清适用场景；逆定理判定时不找最长边，直接随意代入三边平方，导致直角判断错误。 2. 公式计算易错：混淆斜边与直角边，默认后一个数为斜边，忽略必须是最长边。 3. 实际建模易错：无直角的生活场景，不主动作辅助线构造直角三角形，直接套用公式；忽略题目隐藏直角条件，无法抽象出直角三角形模型。 4. 蚂蚁爬行最短路径易错：长方体只算一种展开图，不对比三种路径长度，误判最短路线；圆柱展开误用完整底面周长，上下异侧点应取半圆弧长；混淆几何体内部直线距离与表面爬行路径，审题忽略 “表面” 限制。 活学活用 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为________． 【答案】52 【分析】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出即可得到解答． 【详解】解：将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半， ， 在中，， ， ∴需要丝带的长度最少为． 故答案为：52． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6米处（点）折断，树顶部（点）落在离树干底部（点）8米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少米？ 【答案】16米 【详解】解：由题意可知：米，米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：这棵树在折断前的高度为16米． 3．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图1所示，人只要移至该门口及以内时（图2中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，过点作于点，求该学生头顶到门铃的距离． 【答案】该学生头顶到门铃的距离为 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，由题意，得 ， ， ， 在Rt中， 根据勾股定理，得 ， 故该学生头顶到门铃的距离为． 题型 梯子滑行问题 解题贴士 梯子长度始终不变，为直角三角形斜边；墙与地面为直角边，利用勾股定理分别求解滑动前后底边、高的长度，作差得到滑行距离。 ▌例1．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． ▌例2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度，进而即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ， ， 在中，， ∴， ． 答：梯子底端外移的距离为． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 题型 旗杆问题 解题贴士 1）旗杆垂直地面构成直角，旗杆高、地面距离为直角边、拉线为斜边； 2）常设旗杆高度为未知数，利用勾股定理列方程求解高度、拉线长。 ▌例1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）． ▌例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，一根电线杆在离地面12米高的点A处各用15米长的铁丝向两侧地面拉线固定，固定点为C和D，求固定点之间的距离． 【答案】18米 【分析】根据题意可以得到是等腰三角形，进而得到，在中，利用勾股定理求出长，从而求出长． 【详解】解：由题意可知，米，米，， 是等腰三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：米， 米． ▌对点练1-1．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中，，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故答案为：． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． 【答案】 【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得为长方形， ，，， ， 在中，由勾股定理得： ． ▌对点练1-3．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为9米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设米，则绳子长为米，再由题意得出米，然后由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：设米，则绳子长为米， ∴米， 由题意得：四边形是长方形， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为9米． 题型 小鸟飞行问题 解题贴士 将两棵树高度差为竖直直角边、水平间距为水平直角边，小鸟直线飞行距离为斜边，直接用勾股定理求解。 ▌例1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 【答案】 5 【分析】根据两点之间线段最短，可知小鸟沿两棵树的顶端直线飞行时路程最短. 将问题转化为求直角三角形的斜边长，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：根据题意画图如下：其中，， ∴， 过C作，交于， ∴， ∴两棵树的高度差，两棵树的水平距离， 根据勾股定理可得， 即小鸟至少要飞． ▌对点练1-2．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． ▌对点练1-3．如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 题型 大树折断问题 解题贴士 1）折断后树的下段垂直地面、上段为斜边、树底到落点距离为水平直角边； 2）整树高度=剩余竖直高度+折断斜边长度，设未知数列勾股方程求解。 ▌例1．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设的长为尺，则的长为尺， 在中，，则由勾股定理得， ∴． ▌例2．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． 【答案】树枝落地时不会砸着小轿车，理由如下： 根据题意可知：，，， ∴， ∵， ∴树枝落地时不会砸着小轿车． 【分析】由勾股定理得出的长，再与米比较即可得出答案． 【详解】略 ▌对点练1-1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 【答案】16 【分析】树折断之前有x米，画出模型图，结合勾股定理即可作答． 【详解】解：树折断之前有x米，模型如图， 根据题意有：，，，， 即， 根据勾股定理有：， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）， 即树折断之前有米． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点）处折断，水杉的顶端（点）落在离水杉底端（点）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际生活中的运用能力，是解题的关键． 由题意得，在直角三角形中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，进而可得这棵水杉折断之前的高度． 【详解】解：∵， ∴折断的部分长为（m）， ∴折断前高度为（m）． 故答案为：18． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 题型 风筝问题 解题贴士 风筝线为斜边、手持高度与风筝竖直高度差为竖直直角边、水平偏移距离为水平直角边，套用勾股定理求高度或线长。 ▌例1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为15米，风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.7米． (1)根据测量所得数据，求风筝离地面的垂直高度的长； (2)若风筝沿方向下降了12米到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 【答案】(1)21.7米 (2)8米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）设此时风筝下降到点M，勾股定理求出的长，再计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得，（米）， （米）， 答：风筝的高度CE为21.7米； （2）解：设此时风筝下降到点M， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得，（米）， （米）， 答：此时要回收8米的风筝线． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）10月日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）过点A作于点E，在中，由勾股定理得出的长可推出结果； （2）假设能上升，如图，延长至点F，使，连接，根据勾股定理求出的长，可推出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， 则， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解：能成功，理由如下： 假设能上升， 如图，延长至点F，使，连接， ， 在中，， ，余线剩， ， 能成功上升． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中，米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为米． （2）解：米， 由题意可得：米， 在中，米， 米， 答：他应该朝射线方向前进4米． 题型 水杯中筷子问题 解题贴士 1）水杯底面直径、杯高为直角边，杯中筷子斜长为斜边； 2）筷子总长=杯中斜长+外露长度，利用勾股定理求解长度、水深、直径。 ▌例1．（25-26八年级上·河北保定·期末）《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺． 【答案】4 【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为h尺，则： ， 解得：， 所以，水池的深度是4尺． 故答案为：4． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型 航海问题 解题贴士 利用南北、东西垂直方向构造直角三角形，两段航行路程为直角边，直线返航距离为斜边；结合速度、时间求路程，再用勾股计算。 ▌例1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵， ∴． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时它离出发点有________． 【答案】200 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意和勾股定理，得它离出发点有. ▌对点练1-3．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； 题型 河宽问题 解题贴士 河宽为竖直直角边、沿岸行走距离为水平直角边、斜渡距离为斜边，构造直角三角形，列勾股定理求解河宽。 ▌例1．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． ▌对点练1-1．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【答案】这条河的宽度为米 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 题型 台阶地毯问题 解题贴士 1）台阶展开后，总水平长度+总竖直高度=地毯总长； 2）先通过勾股定理求台阶斜面总长，再拆分横竖边长求和。 ▌例1．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 题型 汽车超速问题 解题贴士 固定观测点、公路垂直距离为直角边，前后两个观测位置为水平边，用勾股定理求行驶路程，再结合时间算速度，对比限速判断是否超速。 ▌例1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 【答案】解：小汽车速度为32米/秒，该小汽车不超速，理由如下： 由题意可知米，米，， ∴米， ∴小汽车速度为米/秒， ∵32米/秒千米/小时千米/小时， ∴不超速． 【分析】根据勾股定理求出的值，根据速度公式求出小汽车在段的速度，与限速比较即可． 【详解】略 ▌对点练1-1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 题型 是否受台风影响问题 解题贴士 1）计算地点到台风行进路线的垂直距离，与台风影响半径对比； 2）垂距≤半径则受影响，再用勾股定理求影响路程、时长。 ▌例1．（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会受到此次台风的影响，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)学校C会受到噪声影响．原因： 过作于， ∵， ∴（m）， ∵（噪声影响范围半径）， ∴学校C会受到噪声影响． (3)4.5分钟 【分析】（1）已知三边长度，因为三边满足勾股定理的逆定理的条件，所以可通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出的度数． （2）要判断学校是否受噪声影响，需先求点C到直线的距离，因为点到直线的最短距离是垂线段长度，所以过C作的垂线段，用等面积法求出垂线段长度后，与比较即可． （3）求噪声持续时间，先确定工程车在上到C点距离等于的两个交点，因为这两个交点之间的距离就是噪声影响的行驶路程，所以用勾股定理求出该路段长度后，再结合速度公式即可计算时间． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． （2）略． （3）解：设工程车进入影响区的点为，离开影响区的点为， 则． 在中，∵（m）， ∴， ∵行驶速度为分钟， ∴持续时间：（分钟） ， 即噪声持续干扰的时间为4.5分钟． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)240米 (2)需要暂时封锁，需要封锁的公路长为140米 【分析】（1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，过C作于点D，根据三角形面积求得的长即可； （2）由于米，小于安全距离250米．因此公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米，需要暂时封锁．连接、，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， ， 是直角三角形，． 如图，过C作于点D， ∴， 即， ∴米， 答：烟花燃放点C地到公路的垂直距离为240米； （2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下： 如图，由（1）可知，米，小于安全距离250米． ∴公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米， 按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁， 连接、， 米，， ， ∵在中，（米）， （米）， 即需要封锁的公路长为140米． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·河北保定·期末）春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图，已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶，嘉嘉家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，假如移动广播车周边米以内能听到广播宣传． (1)判断的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即米，问嘉嘉在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) 解：过点作于点， 则， 即， 解得（米）， ∵， ∴嘉嘉在家能听到广播； (2)嘉嘉在家能听到广播 (3)秒 【分析】（）利用勾股定理的逆定理解答即可求解； （）过点作于点，利用三角形的面积可得米，进而即可判断求解； （）利用勾股定理可得米，即得米，进而即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下： ，， ， ∴是直角三角形； （2）略 （3）解：由题意得，在中，（米）, 同理得，（米）， （米）， ∵（秒）， ∴嘉嘉在家听到广播宣传的时长是秒． 题型 最短路径问题 解题贴士 将立体图形（圆柱、长方体等）侧面展开为平面，两点之间线段最短，构造直角三角形，用勾股定理求最短路径长。 ▌例1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：将正方体展开，连接A、B， 由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长， 由题意得，在中，， ∴， ∴蚂蚁走过的最短路程为． ▌例2．如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？ 【答案】内蚂蚁能爬到点 【分析】本题考查平面展开 - 最短路径问题与勾股定理应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开在同一平面内， ， ． ， ， 内蚂蚁能爬到点． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，底面周长为，高为的圆柱体，在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，把圆柱体展开，连接，由两点之间线段最短，可知线段即为爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，圆柱体侧面展开图为长方形，连接，则线段即为爬行的最短路径， ，，， ∴， 即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是， 故选：． ▌对点练1-2．如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为________． 【答案】米 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理． 将圆柱体侧面展开，通过勾股定理计算即可得解． 【详解】解：将圆柱体侧面展开如图： 此时米，米， 有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点， 米， 在中，米， 则彩带长至少为米． 故答案为：米． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键． 先画出展开图，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， 长为米；宽为4米． ∴最短路径为：（米）． 题型 勾股定理逆定理实际问题 解题贴士 1）提取实际场景中三段长度，取最长边，用逆定理验证： 2）最长边平方=另外两边平方和，判定是否为直角，解决垂直、方位、工程判定问题。 ▌例1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）祁连山脚下的生态防护林，其横截面为三角形，已知该三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理逆定理得该三角形是直角三角形，即可求其面积． 【详解】解：∵该三角形的三边长分别为，，，， ∴该三角形是直角三角形，直角边长为、， ∴该三角形的面积为． ▌例2．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2) 解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即该车符合安全标准． 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）略 ▌对点练1-3．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． (1)试判断图中构成的的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 【答案】(1) 是直角三角形． 理由如下：因为， 所以，所以是直角三角形； (2)方案一所铺设的管道总长较短，理由如下： 因为的， 所以（千米）． 方案一：铺设的管道总长为：（千米）； 方案二：铺设的管道总长为： （千米）， 因为千米＜千米，所以方案一所铺设的管道总长较短． 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，线段的和差计算等知识，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）分别求出两种方案的管道总长度，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 基础通关 1．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（     ） A．13米 B．12米 C．11米 D．10米 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，在中，米，米，， ∴（米）， ∴这根钢缆长为13米． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 【答案】/22米 【分析】根据题意及图形可知 是直角三角形，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边 的长度 【详解】解：由题意可知，楼垂直于地面， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 , ， 即楼高 为． 4．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一根长的牙刷置于底面直径为、高的圆柱形水杯中，设牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是________________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出斜边长，进而得到杯子内牙刷的长度取值范围，可知杯子外面长度的取值范围． 【详解】解：∵底面直径为、高的圆柱形水杯， ∴杯子内牙刷的长度最大值为， ∵高， ∴杯子内牙刷的长度最小值为， ∵长的牙刷， ∴， 即． 5．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 【答案】这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【分析】设水深为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇的长度为尺， ∵水面是一个边长为尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴尺， 在中，, ∴， 解得：， ∴（尺）． 答：这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 6．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点到电线杆底部的距离为，求钢索的长度． 【答案】钢索的长度为 【分析】本题是勾股定理的实际应用，电线杆垂直地面，可构成直角三角形，已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出钢索的长度． 【详解】解：由题意得， 钢索的长度为 答：钢索的长度为． 7．（25-26八年级上·广东佛山·期末）学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)池塘两端A，B之间的距离为 【分析】（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知：是直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴； 答：池塘两端A，B之间的距离为． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 【答案】慢船沿南偏西方向航行 【分析】根据三角形的三边长，可知，得，从而得出答案． 【详解】解：由题意知，海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴， ∵快船沿北偏西方向航行， ∴慢船沿南偏西方向航行． 9．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 10．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】(1)证明见解析； (2)教学楼会受噪声影响，原因见解析； (3)货车影响教学楼持续的时间为． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论； （3）设当时，正好影响教学楼，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据时间路程速度即可得解． 【详解】（1）证：依题得：，， ， 即， ； （2）解：作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响； （3）解：如图，当时，正好影响教学楼， 中，， ， 同理可得， ， 货车的速度为， 货车影响教学楼持续的时间为． 11．（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ∴， 是直角三角形，即， 是从村庄到渭河边的最短路线； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解这个方程，得， ∴原来的路线的长为． 素养提升 1．（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 2．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 【答案】12 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据题意可得： ， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，如图，通过勘测得到水平距离的长为12米，于点C，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米，小明牵线放风筝的手B到地面的距离为1.8米（即米），他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请求出线段的长． 【答案】线段的长为6.8米 【详解】解：由勾股定理得，（米）， ∴（米）， ∴线段的长为6.8米． 5．（25-26八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．    问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形； (2)池塘两端，之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：是直角三角形，点，，在同一直线上， ， ， 即池塘两端，之间的距离为． 6．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 7．（25-26八年级下·河南开封·期末）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 【答案】(1)①；；②风筝离地面的垂直高度为米 (2)小明同学手中的风筝线应该往回收米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①过点B作于点C，证明四边形为矩形，得出米，米； ②根据勾股定理求出的值即可得出结果； （2）设风筝沿方向下降12米至点F，连接，根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米. ②在中，，米， 由勾股定理，得（米）， ∴（米）； （2）解：如图，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， ∴（米）， ∴（米）， ∵原来的风筝线的长为25米， ∴（米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 8．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． (1)试判断的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 由题意知，（海里），（海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形． (2)北偏西 【分析】（1）根据“距离速度时间”求出的值，再利用勾股定理逆定理求出结果； （2）利用方向角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∵“远航”号沿北偏东50°方向航行， ∴， ∴， ∴“海天号”沿北偏西航行． 9．（25-26八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【答案】(1)这条步道最短需要米 (2)该基地总共需要57.6立方米的种植土 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据求出面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 答：这条步道最短需要米； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：该基地总共需要57.6立方米的种植土． 迁移创新 1．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至该灯5米及5米以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5米的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（     ） A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 【答案】A 【分析】过点C作于点E，利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：由题意，传感器A距地面的高度为米，人高米， 如图②，过点C作于点E，则人离墙的距离为，则米， ∴（米）， 当人离传感器A的距离米时，灯发光， 在中，根据勾股定理可得，米， 故一个身高1.5米的学生要走到离墙4米远的地方灯刚好发光 2．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则，，求出，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； （2）解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.7 勾股定理及其逆定理的实际应用 课标要点 1.理解勾股定理及其逆定理的意义，明确二者互逆关系。 2.能利用勾股定理解决实际场景中的边长、距离计算问题。 3.会用逆定理判断实际图形中的直角，识别直角三角形。 4.具备结合生活情境建模、解决简单实际应用问题的能力。 学习重难点 重点： 1.熟练运用勾股定理求解实际问题中的线段长度、两点距离。 2.掌握逆定理判定方法，利用三边关系判断实际模型中的直角。 3.能从生活情境中抽象出直角三角形模型并解题。 难点： 1.区分两类定理应用场景：实际求长度用勾股定理，证直角用逆定理。 2.准确选取最长边，正确利用平方关系完成直角判定。 3.综合情境中灵活转化线段，解决测距、最值、路线等实际问题。 知识点 勾股定理中最短路径问题（重点） 1. 圆柱中的最短路径模型： （1）蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A到点C的最短路径： 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A到点C的最短路径为线段AC， （2）蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A到点C的最短路径 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A到点B的最短路径为线段AB， 2. 长方体中的最短路径模型（求长方体上A、B 两点之间的距离）： ①右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab ②上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc ③上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 总结：长方体中最短路径AB= ； 正方体中最短路径AB== 。 特别提醒 1）核心原则：立体表面爬行必须展开成平面，依据 “两点之间线段最短”，再用勾股定理计算； 2）长方体存在3种展开方式，需全部计算对比，取最小值才是最短路径。 随学随练 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 2．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 拓展 最短路径模型中圆柱模型与长方体模型的联系与区别 对比维度 正方体 长方体 圆柱 展开方案数量 3种展开方式 3种不同展开方式 仅1种侧面展开形式 路径长度特点 三种展开计算结果相等，无需比大小 三种路径长度不同，必须计算对比取最小值 只有一组计算结果，无需对比 直角边构造规律 任意两条棱长之和为一条直角边，第三条棱为另一直角边 最短两条棱相加作一条直角边，路径最短 竖直直角边为圆柱高；上下异侧点水平边取底面半周长πr 核心解题特点 计算最简单，无择优步骤 需分类计算、择优，步骤最多 仅展开侧面，无多方案选择 特殊拓展点 棱长全部相等，模型单一 长宽高互不相等，是考试高频易错模型 含曲面转化平面，易混淆整周长、半周长 共同前提 均为几何体表面爬行，不可穿透内部；依托 “两点之间线段最短 + 勾股定理” 求解 活学活用 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为________． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为__________． 拓展 易错总结 1. 定理混用易错：分不清适用场景；逆定理判定时不找最长边，直接随意代入三边平方，导致直角判断错误。 2. 公式计算易错：混淆斜边与直角边，默认后一个数为斜边，忽略必须是最长边。 3. 实际建模易错：无直角的生活场景，不主动作辅助线构造直角三角形，直接套用公式；忽略题目隐藏直角条件，无法抽象出直角三角形模型。 4. 蚂蚁爬行最短路径易错：长方体只算一种展开图，不对比三种路径长度，误判最短路线；圆柱展开误用完整底面周长，上下异侧点应取半圆弧长；混淆几何体内部直线距离与表面爬行路径，审题忽略 “表面” 限制。 活学活用 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为________． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6米处（点）折断，树顶部（点）落在离树干底部（点）8米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少米？ 3．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图1所示，人只要移至该门口及以内时（图2中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，过点作于点，求该学生头顶到门铃的距离． 题型 梯子滑行问题 解题贴士 梯子长度始终不变，为直角三角形斜边；墙与地面为直角边，利用勾股定理分别求解滑动前后底边、高的长度，作差得到滑行距离。 ▌例1．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ ▌对点练1-1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 题型 旗杆问题 解题贴士 1）旗杆垂直地面构成直角，旗杆高、地面距离为直角边、拉线为斜边； 2）常设旗杆高度为未知数，利用勾股定理列方程求解高度、拉线长。 ▌例1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 ▌例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，一根电线杆在离地面12米高的点A处各用15米长的铁丝向两侧地面拉线固定，固定点为C和D，求固定点之间的距离． ▌对点练1-1．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． ▌对点练1-3．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度． 题型 小鸟飞行问题 解题贴士 将两棵树高度差为竖直直角边、水平间距为水平直角边，小鸟直线飞行距离为斜边，直接用勾股定理求解。 ▌例1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． ▌对点练1-2．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． ▌对点练1-3．如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 题型 大树折断问题 解题贴士 1）折断后树的下段垂直地面、上段为斜边、树底到落点距离为水平直角边； 2）整树高度=剩余竖直高度+折断斜边长度，设未知数列勾股方程求解。 ▌例1．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点）处折断，水杉的顶端（点）落在离水杉底端（点）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 题型 风筝问题 解题贴士 风筝线为斜边、手持高度与风筝竖直高度差为竖直直角边、水平偏移距离为水平直角边，套用勾股定理求高度或线长。 ▌例1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为15米，风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.7米． (1)根据测量所得数据，求风筝离地面的垂直高度的长； (2)若风筝沿方向下降了12米到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）10月日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 题型 水杯中筷子问题 解题贴士 1）水杯底面直径、杯高为直角边，杯中筷子斜长为斜边； 2）筷子总长=杯中斜长+外露长度，利用勾股定理求解长度、水深、直径。 ▌例1．（25-26八年级上·河北保定·期末）《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 ▌对点练1-2．（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 题型 航海问题 解题贴士 利用南北、东西垂直方向构造直角三角形，两段航行路程为直角边，直线返航距离为斜边；结合速度、时间求路程，再用勾股计算。 ▌例1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 ▌对点练1-2．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时它离出发点有________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 题型 河宽问题 解题贴士 河宽为竖直直角边、沿岸行走距离为水平直角边、斜渡距离为斜边，构造直角三角形，列勾股定理求解河宽。 ▌例1．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 题型 台阶地毯问题 解题贴士 1）台阶展开后，总水平长度+总竖直高度=地毯总长； 2）先通过勾股定理求台阶斜面总长，再拆分横竖边长求和。 ▌例1．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 题型 汽车超速问题 解题贴士 固定观测点、公路垂直距离为直角边，前后两个观测位置为水平边，用勾股定理求行驶路程，再结合时间算速度，对比限速判断是否超速。 ▌例1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． ▌对点练1-1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） ▌对点练1-2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 题型 是否受台风影响问题 解题贴士 1）计算地点到台风行进路线的垂直距离，与台风影响半径对比； 2）垂距≤半径则受影响，再用勾股定理求影响路程、时长。 ▌例1．（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ ▌对点练1-2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·河北保定·期末）春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图，已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶，嘉嘉家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，假如移动广播车周边米以内能听到广播宣传． (1)判断的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即米，问嘉嘉在家听到广播宣传的时长是多长？ 题型 最短路径问题 解题贴士 将立体图形（圆柱、长方体等）侧面展开为平面，两点之间线段最短，构造直角三角形，用勾股定理求最短路径长。 ▌例1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． ▌例2．如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？ ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，底面周长为，高为的圆柱体，在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为________． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 题型 勾股定理逆定理实际问题 解题贴士 1）提取实际场景中三段长度，取最长边，用逆定理验证： 2）最长边平方=另外两边平方和，判定是否为直角，解决垂直、方位、工程判定问题。 ▌例1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）祁连山脚下的生态防护林，其横截面为三角形，已知该三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为（   ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． (1)试判断图中构成的的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 基础通关 1．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（     ） A．13米 B．12米 C．11米 D．10米 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 4．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一根长的牙刷置于底面直径为、高的圆柱形水杯中，设牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是________________． 5．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 6．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点到电线杆底部的距离为，求钢索的长度． 7．（25-26八年级上·广东佛山·期末）学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B之间的距离． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 9．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 10．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 11．（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 素养提升 1．（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，如图，通过勘测得到水平距离的长为12米，于点C，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米，小明牵线放风筝的手B到地面的距离为1.8米（即米），他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请求出线段的长． 5．（25-26八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．    问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 6．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 7．（25-26八年级下·河南开封·期末）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 8．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． (1)试判断的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 9．（25-26八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 迁移创新 1．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至该灯5米及5米以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5米的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（     ） A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 2．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $