2.7探索勾股定理讲义 2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

2.7探索勾股定理 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】根据勾股定理已知两边求第三边 5 【题型2】根据勾股定理列方程求边长 6 【题型3】勾股定理的实际应用 7 【题型4】勾股定理的面积问题 9 【题型5】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形 11 【题型6】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用 12 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1.（2024秋•牟平区期末）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（　　） A．（2-）cm B．（2-2）cm C．2cm D．2cm 【知识点2】勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 1.（2024•杏花岭区模拟）赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（　　） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 2.（2024•晋中一模）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，第14届国际数学教育大会（1CME-14）将于2021年7月在上海举办，这是我国第一次承办此项大会．如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是（　　） A．欧几里得 B．杨辉 C．祖冲之 D．赵爽 【知识点3】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 1.（2025春•延津县期末）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 2.（2024秋•简阳市期末）△ABC的三边为a、b、c,不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A． B．a：b：c=3：4：5 C．∠A-∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 【知识点4】勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 1.（2024秋•安源区校级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B． C．4，5，6 D．6，8，10 2.（2025春•庐阳区校级期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a=42时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 【知识点5】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2025春•昭通期中）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（　　）亩（1亩=240平方步） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型1】根据勾股定理已知两边求第三边 【典型例题】如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（　　） A.24 B.30 C.48 D.18 【举一反三1】如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4cm，BC＝3cm，则CD＝（　　） A.5cm B. cm C. cm D. cm 【举一反三2】如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，则四边形ABPC的面积为（　　） A.48 B.60 C.36 D.72 【举一反三3】如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，则该四边形的面积是　　． 【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边的长是　  　． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a＝2，b，求c及△ABC的周长． 【题型2】根据勾股定理列方程求边长 【典型例题】如图，在长方形中，，，若将长方形沿折叠，使点落在边上的点处，则的长度为． A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺 【举一反三2】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高 　  　尺． 【举一反三3】如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即BC＝8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？ 【题型3】勾股定理的实际应用 【典型例题】如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15cm，BC＝8cm，AE＝25cm，则CE＝（　　）cm． A.6 B.7 C.8 D.9 【举一反三1】王英同学从A地出发，沿北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走50米到C地，此时王英同学离A地（　　） A.100米 B.50米 C.米 D.米 【举一反三2】如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 　   　． 【举一反三3】木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗　 　（填“合格”或“不合格”）． 【举一反三4】陕西省的地势南北高、中间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形．某工程队现需穿过某座大山修一条隧道AB，如图，为了测量隧道AB的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点C，在隧道BA的延DA长线上取了点D，测量得知，∠CAD﹣∠C＝90°，AC＝500米，BC＝140米，请你求出隧道AB的长． 【举一反三5】如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m （1）求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远； （2）当BD＝8m时，AC的长是多少米； （3）如果梯子的底端向墙一侧移动了2米，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米？ 【题型4】勾股定理的面积问题 【典型例题】如图，字母所代表的正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内，则图中阴影部分的面积等于(    ) A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 【举一反三3】如图，两个正方形阴影的面积分别为，，则直角三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 【举一反三4】如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是． A. B. C. D. 【举一反三5】如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为____． 【举一反三6】如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形的面积是，正方形的面积是，则半圆的面积是          ． 【举一反三7】如图，分别以直角三角形的三条边向外作正方形，三个正方形中的两个的面积，，则________． 【举一反三8】如图，三角形为直角三角形，四边形、、均为正方形，已知正方形、的面积分别为，，则正方形的面积为________． 【题型5】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形 【典型例题】如图所示，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里时的速度向北偏东的方向航行，乙船以海里时的速度向另一方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，则乙船航行的方向是(     ) A. 南偏东 B. 东偏南 C. 北偏西 D. 南偏东 【举一反三1】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    ) A.，， B.，， C.，， D.，， 【举一反三2】在中，，，，则边上的高为_________． 【举一反三3】一个三角形的三边长的比为：：，且其周长为，则其面积为          ． 【举一反三4】如图，在中，，，，求的面积． 【举一反三5】三个半圆的面积分别为，，，这三个半圆拼成如图所示的图形，一定是直角三角形吗？请说明理由． 【题型6】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用 【典型例题】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在的正方形网格中，的度数是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为(    ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，则______点，，是网格线交点． 【答案】  【举一反三4】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是，点，，是网格线交点，则的外角的度数等于            【举一反三5】如图，在中，，，，是上一点，且． 试判断的形状，并说明理由； 求的长． 【举一反三6】在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7探索勾股定理 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】根据勾股定理已知两边求第三边 8 【题型2】根据勾股定理列方程求边长 11 【题型3】勾股定理的实际应用 14 【题型4】勾股定理的面积问题 17 【题型5】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形 21 【题型6】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用 23 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1.（2024秋•牟平区期末）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（　　） A．（2-）cm B．（2-2）cm C．2cm D．2cm 【答案】B 【分析】易得△ACO是等腰直角三角形，△BCO是含30°的直角三角形，根据CO为2cm,可得AC和BC的长度，相减即可得到AB的长度． 【解答】解：由题意得：∠COA=45°，∠COB=60°，∠OCB=90°，OC=2 cm. ∴∠CAO=45°，∠CBO=30°． ∴∠CAO=∠COA，OB=2OC=4． ∴CA=2，BC==2（cm）． ∴AB=BC-AC=（2-2）cm. 故选：B． 【知识点2】勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 1.（2024•杏花岭区模拟）赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（　　） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 【答案】B 【分析】根据题意得到这种证明方法所体现的数学思想是数形结合思想． 【解答】解：这种证明方法所体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 2.（2024•晋中一模）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，第14届国际数学教育大会（1CME-14）将于2021年7月在上海举办，这是我国第一次承办此项大会．如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是（　　） A．欧几里得 B．杨辉 C．祖冲之 D．赵爽 【答案】D 【分析】根据题意，可知这位数学家是赵爽，本题得以解决． 【解答】解：如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是赵爽， 故选：D． 【知识点3】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 1.（2025春•延津县期末）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论． 【解答】解：A、22+32=14，42=16， ∵14≠16， ∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长； B、32+42=25，52=25， ∵25=25， ∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长； C、42+52=41，62=36， ∵41≠36， ∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长； D、52+62=61，72=49， ∵61≠49， ∴5，6，7不能作为直角三角形的三边长． 故选：B． 2.（2024秋•简阳市期末）△ABC的三边为a、b、c,不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A． B．a：b：c=3：4：5 C．∠A-∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、设a=x,则b=x,c=2x, .∵a2+b2=x2+3x2=4x2，c2=4x2， ∴a2+b2=c2． ∴△ABC是直角三角形． 故A不符合题意； B、设a=3x,则b=4x,c=5x. ∵a2+b2=9x2+16x2=25x2，c2=25x2， ∴a2+b2=c2． ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵∠A-∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠A=180°， ∴∠A=90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5， 设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x, ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°， ∴∠C=5×15°=75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故D符合题意， 故选：D． 【知识点4】勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 1.（2024秋•安源区校级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B． C．4，5，6 D．6，8，10 【答案】D 【分析】满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断． 【解答】A、三个数不是正整数，故A不符合题意； B、不是正整数，故B不符合题意； C、42+52≠62，故C不符合题意； D、62+82=102，故D符合题意． 故选：D． 2.（2025春•庐阳区校级期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a=42时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 【答案】C 【分析】将a=42代入方程求解b和c,再求和即可． 【解答】解：由表格得规律：c=b+2， 根据勾股定理得：a2+b2=c2， 将a=42代入得，422+b2=（b+2）2， 解得b=440， ∴b+c=882， 故选：C． 【知识点5】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2025春•昭通期中）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（　　）亩（1亩=240平方步） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为（50-x）步，根据勾股定理可得x2+302=（50-x）2，解方程求出宽，再根据长方形面积公式求出面积即可得到答案． 【解答】解：设长方形田的宽为x步， 根据题意得x2+302=（50-x）2， 解得x=16， ∴长方形田的宽为16步， ∴长方形田的面积为16×30÷240=2亩， 故选：A． 【题型1】根据勾股定理已知两边求第三边 【典型例题】如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（　　） A.24 B.30 C.48 D.18 【答案】B 【解析】根据勾股定理，得 直角三角形的斜边是10， 则矩形的面积是10×3＝30． 故选：B． 【举一反三1】如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4cm，BC＝3cm，则CD＝（　　） A.5cm B. cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB5． 再根据直角三角形的面积公式，得 CD． 故选：B． 【举一反三2】如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，则四边形ABPC的面积为（　　） A.48 B.60 C.36 D.72 【答案】C 【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△BPC中，由勾股定理得， BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在Rt△ABD中，由勾股定理得， AD12， ∴S60， ∵S24， ∴四边形ABPC的面积＝S△ABC﹣S△BPC＝60﹣24＝36， 故选：C． 【举一反三3】如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，则该四边形的面积是　　． 【答案】 【解析】延长DA和CB交于O， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°， ∵∠D＝60°， ∴∠O＝30°， ∵AB＝4，DC＝5， ∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10， 由勾股定理得：OA4，OC5， ∴四边形ABCD的面积是S△OCD﹣S△OABOC×CDOA×AB554×4． 故答案为． 【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边的长是　  　． 【答案】10 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴由勾股定理，得 AB10． 故答案为：10． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a＝2，b，求c及△ABC的周长． 【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b， ∴c4， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝4+2+26+2． 【题型2】根据勾股定理列方程求边长 【典型例题】如图，在长方形中，，，若将长方形沿折叠，使点落在边上的点处，则的长度为． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】为长方形，，， 由折叠可知：，， 在中，，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 即线段的长为． 【举一反三1】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺 【答案】D 【解析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：D． 【举一反三2】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高 　  　尺． 【答案】4.55 【解析】如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺， 设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 即折断处离地面4.55尺． 故答案为：4.55． 【举一反三3】如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即BC＝8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？ 【答案】解：∵AC+AB＝16米， ∴AB＝（16﹣AC）米， ∵BC＝8米，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2， ∴AC2+82＝（16﹣AC）2， 解得AC＝6， 即这棵树在离地面6米处被折断． 【题型3】勾股定理的实际应用 【典型例题】如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15cm，BC＝8cm，AE＝25cm，则CE＝（　　）cm． A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，∠B＝90°， 由勾股定理得，AC17（cm）， ∴CE＝AE﹣AC＝25﹣17＝8（cm）， 故选：C． 【举一反三1】王英同学从A地出发，沿北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走50米到C地，此时王英同学离A地（　　） A.100米 B.50米 C.米 D.米 【答案】D 【解析】∵沿北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走50米到C地， ∴∠BCA＝90°，AB＝100米，BC＝50米， ∴AC50， 故选：D． 【举一反三2】如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 　   　． 【答案】18米 【解析】大树折断后形成直角△ABC，且BC为斜边， ∴AB2+AC2＝BC2， ∵AB＝5米，AC＝12米， ∴BC13米， 大树折断前的高度为AB+BC＝5米+13米＝18米． 故答案为：18米． 【举一反三3】木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗　 　（填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【解析】∵42+62＝52≠72＝49， ∴这扇纱窗不是直角，故不合格． 故答案为：不合格． 【举一反三4】陕西省的地势南北高、中间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形．某工程队现需穿过某座大山修一条隧道AB，如图，为了测量隧道AB的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点C，在隧道BA的延DA长线上取了点D，测量得知，∠CAD﹣∠C＝90°，AC＝500米，BC＝140米，请你求出隧道AB的长． 【答案】解：∵∠CAD﹣∠C＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∵AC＝500米，BC＝140米， ∴AB480（ 米）， 即隧道AB的长为480米． 【举一反三5】如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m （1）求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远； （2）当BD＝8m时，AC的长是多少米； （3）如果梯子的底端向墙一侧移动了2米，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米？ 【答案】解：（1）由题意可知∠O＝90°， ∵AB＝25m，AO＝24m， ∴OB7m； （2）∵OB＝7m，BD＝8m， ∴OD＝15m， ∵CD＝25m， ∴OC＝20m， ∵AO＝24m， ∴AC＝AO﹣OC＝4m； （3）如图所示：由题意可知BM＝2m， ∴OM＝5m， ∵MN＝25m， ∴ON10， ∴AN＝ON﹣AO＝（1024）m． 【题型4】勾股定理的面积问题 【典型例题】如图，字母所代表的正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图， ， 而，，，字母所代表的正方形的面积为． 故选：C． 【难度】基础题 【举一反三1】如图，正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设正方形的边长为， 由勾股定理可知：，， 故选：B． 【举一反三2】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内，则图中阴影部分的面积等于(    ) A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解析】设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为， 由勾股定理得，， 阴影部分的面积， 较小两个正方形重叠部分的宽，长， 则较小两个正方形重叠部分的面积，图中阴影部分的面积等于较小两个正方形重叠部分的面积． 故选：C． 【举一反三3】如图，两个正方形阴影的面积分别为，，则直角三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，， ，，另一条直角边，直角三角形的面积 故选A． 【举一反三4】如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得，， 故选：B． 【难度】基础题 【举一反三5】如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为____． 【答案】  【解析】根据题意知，，， 所以，，， 所以． 故答案为． 【举一反三6】如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形的面积是，正方形的面积是，则半圆的面积是          ． 【答案】 ．  【解析】如图， 正方形的面积是，正方形的面积是，，， 由勾股定理得，，半圆的面积 ． 【难度】基础题 【举一反三7】如图，分别以直角三角形的三条边向外作正方形，三个正方形中的两个的面积，，则________． 【答案】  【解析】如图： 是直角三角形，，，，，，． 故答案为． 【举一反三8】如图，三角形为直角三角形，四边形、、均为正方形，已知正方形、的面积分别为，，则正方形的面积为________． 【答案】  【解析】根据勾股定理得：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和， 即， 因为，， 所以则以另一直角边为边长的正方形的面积为． 故答案为． 【题型5】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形 【典型例题】如图所示，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里时的速度向北偏东的方向航行，乙船以海里时的速度向另一方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，则乙船航行的方向是(     ) A. 南偏东 B. 东偏南 C. 北偏西 D. 南偏东 【答案】A 【解析】 由题意得：甲小时的路程海里，乙小时的路程海里， 而海里，  因为，  所以三角形为直角三角形， 则，  因为岛在北偏东方向，  所以岛在南偏东方向， 则乙船航行的角度是南偏东， 故选A． 【举一反三1】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    ) A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】A 【解析】A、，能构成直角三角形，故选项符合题意； B、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意． 故选：A． 【难度】基础题 【举一反三2】在中，，，，则边上的高为_________． 【答案】  【解析】在中，，，，，为直角三角形，且，直角边为，， 设斜边上的高为， 根据三角形的面积有：， 解得， 故答案为． 【难度】中档题 【举一反三3】一个三角形的三边长的比为：：，且其周长为，则其面积为          ． 【答案】  【解析】三角形的三边长的比为：：，设三角形的三边长分别为，，．其周长为，，解得，三角形的三边长分别是，，．，此三角形是直角三角形， 【举一反三4】如图，在中，，，，求的面积． 【答案】解：在中，，，，，即，是直角三角形，且，． 故的面积为．  【举一反三5】三个半圆的面积分别为，，，这三个半圆拼成如图所示的图形，一定是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】解：一定是直角三角形，理由如下：，，，，，，，一定是直角三角形．  【题型6】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用 【典型例题】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接，， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，，， 又，是直角三角形，， 由勾股定理可得：． 【举一反三1】如图，在的正方形网格中，的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接，设小正方形的边长为， 由勾股定理得：，，，，，是等腰直角三角形，， 故选：C． 【举一反三2】如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为(    ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】正方形小方格边长为， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，则______点，，是网格线交点． 【答案】  【答案】  【解析】延长交格点于，连接， 则，，，，． 故答案为：． 【举一反三4】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是，点，，是网格线交点，则的外角的度数等于            【答案】  【解析】由勾股定理可知，，，，是直角三角形，，，，， 故答案为：． 【举一反三5】如图，在中，，，，是上一点，且． 试判断的形状，并说明理由； 求的长． 【答案】(1)△ABC是直角三角形  理由：∵AB2＝132＝169，BC2＝122＝144，AC2＝52＝25，且144＋25＝169， ∴BC2＋AC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°．  (2)在△ACD中，∠C＝90°，AC＝5，CD＝3， ∴  【解析】 【举一反三6】在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】解：，，， 在中，，，，， 答：四边形的面积为．  学科网（北京）股份有限公司 $