第一章 有理数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北京版七年级上册

**基本信息** 2026-2027学年七年级上册数学第一章有理数单元自测卷，以“能力提升”为目标，通过科技前沿（AI参数科学记数法）、现实应用（无人售卖车续航）等情境，覆盖相反数、数轴、绝对值等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、正负数意义、数轴比较|结合灯语二进制情境（第9题），考查符号意识| |填空题|6/18|负有理数判断、近似数、数轴点关系|设计乒乓球直径偏差（第13题），体现量感| |解答题|8/52|有理数运算、新定义“关联距离”、动点问题|创设“近距离”概念（第24题），融合几何直观与推理能力|

………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 3．将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．四个有理数在数轴上的对应点、、、的位置如图所示，则这四个点中表示的数最大的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法中，错误的是（   ） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．绝对值等于本身的数只有正数 C．互为相反数的两个数的和为 D．任何有理数都有相反数 8．下列各式的计算结果为正数的是（  ） A． B． C． D． 9．正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“”表示字母； ②若要表示个英文字母，需要盏灯； ③先后发出“”、“”、“”、“”表示“”的缩写“”． A．个 B．个 C．个 D．个 10．一条东西向的街道可视为数轴，自动换电站位于原点．某智能无人售卖车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天售卖车依次接到7个订单，运送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：） 售卖车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在售卖过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续配送．关于以下描述： ①售卖车在完成点订单后，需返回换电站换电池； ②完成点售卖订单后，显示剩余续航； ③售卖过程中，售卖车需要至少换3次电池； ④售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶． 正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，是负有理数的为__________． 12．__________________． 13．某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5个该品牌乒乓球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号． 乒乓球编号 1 2 3 4 5 直径长度 14．2025年11月11日清晨，承载着南昌地理溯源、文化传承与城市精神的新地标——城市原点在八一广场正式揭幕．其核心标志是一块镶嵌在地面，直径为2.7米的圆形铜铸浮雕，面积约为5.72平方米．近似数5.72精确到________位． 15．在4张同样的纸片上各写着一个数，这4个数互不相等，其中最大的数是12．从这4张纸片中，任意抽取一张纸片，记录数后放回，打乱顺序后再任意抽取一张纸片，记录数后放回，计算这两次记录的数的差的绝对值．重复以上操作，每次所得的绝对值都是这4个数中的一个，并且这4个数都能取到．这4张纸片上除12以外的其他3个数是______． 16．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的数分别为a，b，c．下列结论： ①若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧； ②若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若，则点C一定在线段外； ④若，则点C一定为线段的中点． 所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（5分）如图，点，在数轴上，点表示，点表示． (1)点表示 ，点表示 ； (2)在数轴上表示出点和点； (3)用“”把点，，，表示的数连接起来． 19．（5分），两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 点在数轴上的位置 10 0 ①_____ 点在数轴上的位置 ②_____ 12 20 (2)在、两点上分别安装一个感应器，感应距离小于或等于6时会一直发出震动提示．则、两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？提示持续多长时间？ 20．（8分）将下列各数填在相应的大括号中： ，，，，，，，，， 正数：{    } 负分数：{    } 非负整数：{    } 整数：{    } 21．（7分）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离． 例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6． 给出定义：数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和称为与的“关联距离”． 例如，为与的“关联距离”，为与1，2，的“关联距离”． (1)若，则的值为 ； (2)若与1，的“关联距离”为3，满足条件的的非负整数值是 ； (3)若与1，的“关联距离”为5，的值是 ； (4)“关联距离”的最小值是 ，此时的值是 ． 22．（6分）某篮球联赛中，积分榜如下所示： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 奋斗队 8 7 1 15 梦想队 8 14 超越队 8 4 4 12 追光队 8 3 5 11 挑战队 8 0 8 8 问题： (1)胜一场积________分，负一场积________分； (2)求梦想队的胜场数． 23．（6分）对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①  ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 24．（7分）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的相反数是． 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【分析】本题考查了正负数是一对表示相反意义的量，关键是熟练应用； 根据正负数的意义，零上温度用正数表示，则零下温度用负数表示． 【详解】解：∵零上记作， ∴表示气温为零下； 故选：B． 3．将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据去括号规则，负负得正，正负得负， 则，选项符合题意． 4．四个有理数在数轴上的对应点、、、的位置如图所示，则这四个点中表示的数最大的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上数的大小比较，掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解题的关键．根据数轴的性质，右边的点对应的数总比左边的点对应的数大，观察、、、的位置，即可确定最大的数对应的点． 【详解】解：由于数轴上的数右边总比左边大，故点表示的数最大． 故选：． 5．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，先在数轴上表示出，，然后根据数轴特点比较大小即可． 【详解】解：，在数轴上的位置，如图所示： 根据数轴可知：， 故选：B． 6．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 7．下列说法中，错误的是（   ） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．绝对值等于本身的数只有正数 C．互为相反数的两个数的和为 D．任何有理数都有相反数 【答案】B 【分析】本题考查相反数和绝对值的性质，掌握相反数和绝对值的性质是解题关键． 依据“相反数的定义”、“绝对值的性质”，逐一分析选项的正误． 【详解】解：∵互为相反数的两个数绝对值相等，∴正确； ∵绝对值等于本身的数包括正数和，∴错误； ∵互为相反数的两个数和为，∴正确； ∵任何有理数都有相反数，∴正确． 故选：． 8．下列各式的计算结果为正数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的定义，求一个数的绝对值，有理数的乘方运算，乘方运算的符号规律等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过计算每个表达式的值，再判断其正负性． 【详解】解：， 故A不符合； ， 故B不符合； ， 故C不符合； ， 故D符合； 故选：D． 9．正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“”表示字母； ②若要表示个英文字母，需要盏灯； ③先后发出“”、“”、“”、“”表示“”的缩写“”． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由题意可得，表示二进制中的，表示二进制中的，转化为二进制，然后根据二进制转化为十进制，进行解题即可． 【详解】解：由题意可得，表示二进制中的，表示二进制中的， ∴表示二进制的数为， ∴表示十进制的数为，在字母表中第个字母为， ∴表示字母；故①正确； ∵， ， ， ， ， ∴用二进制表示为， ∴要表示个英文字母需要盏灯，故②错误； 由题意可得，表示二进制为，转化为十进制为；在字母表中第个字母为， ∴表示字母；由题意可得， 表示字母；表示字母； 表示二进制为，转化为十进制为；在字母表中第个字母为， ∴表示字母； ∴③错误； 10．一条东西向的街道可视为数轴，自动换电站位于原点．某智能无人售卖车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天售卖车依次接到7个订单，运送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：） 售卖车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在售卖过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续配送．关于以下描述： ①售卖车在完成点订单后，需返回换电站换电池； ②完成点售卖订单后，显示剩余续航； ③售卖过程中，售卖车需要至少换3次电池； ④售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶． 正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航”的限制，判断每个描述的正确性． 【详解】解：首先确定各点所表示的数：，，，，，，，，配送顺序为． 计算每段行驶距离：，，，，，，，． ①从出发到，累计行驶，剩余续航．下一段需行驶，，续航不足，因此必须返回换电站(返回距离)，故①正确； ②完成点订单后已返回换电，换电后满电出发前往点，行驶，剩余续航，并非，故②错误． ③分析“售卖过程中，售卖车需要至少换次电池”： 第一次换电：完成点后返回(行驶)； 第二次换电：完成点后返回(行驶)； 第三次行程：(无需换电)． 仅需换电次即可完成所有订单，故③错误； ④分析“售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶”： 总行驶距离为：第一次行程， 第二次行程， 第三次行程， 合计，故④正确． 综上，正确的描述为①④，故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，是负有理数的为__________． 【答案】 【分析】本题考查了负有理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握负有理数的概念． 负有理数是指负数且是有理数的数，包括负整数和负分数，从给定数中筛选即可． 【详解】解：0既不是正数也不是负数； 5是正数； 是负分数，属于负有理数； ，是正数； 0.22是正小数； 是负小数，属于负有理数； 是正分数， 因此，负有理数为和． 故答案为：． 12．__________________． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的化简．通过比较3和π的大小，确定为负数，再根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为；． 13．某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5个该品牌乒乓球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号． 乒乓球编号 1 2 3 4 5 直径长度 【答案】4 【分析】本题主要考查了绝对值的实际应用，深刻理解绝对值的实际含义是解题的关键．分别计算每个乒乓球的直径与标准直径的差的绝对值，即绝对值最小的最接近标准直径，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，，，， 故合格的有编号3和编号4的乒乓球， 又， 编号4的乒乓球的直径最接近标准直径． 故答案为：4． 14．2025年11月11日清晨，承载着南昌地理溯源、文化传承与城市精神的新地标——城市原点在八一广场正式揭幕．其核心标志是一块镶嵌在地面，直径为2.7米的圆形铜铸浮雕，面积约为5.72平方米．近似数5.72精确到________位． 【答案】百分 【分析】本题主要考查了近似数， 近似数的精确度由其最后一位数字所在的数位决定，5.72的最后一位数字2位于百分位． 【详解】解：近似数5.72是两位小数，小数点后第二位为百分位，数字2在此位上，因此精确到百分位． 故答案为：百分． 15．在4张同样的纸片上各写着一个数，这4个数互不相等，其中最大的数是12．从这4张纸片中，任意抽取一张纸片，记录数后放回，打乱顺序后再任意抽取一张纸片，记录数后放回，计算这两次记录的数的差的绝对值．重复以上操作，每次所得的绝对值都是这4个数中的一个，并且这4个数都能取到．这4张纸片上除12以外的其他3个数是______． 【答案】0，4，8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，绝对值方程，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义．根据抽取时可能抽到相同纸片，差的绝对值为0，得出0必须是四个数之一，设四个数为0，a，b，12，其中，，，得出，根据，，得出或，然后再分类讨论即可． 【详解】解：由于抽取时可能抽到相同纸片，差的绝对值为0，因此0必须是四个数之一， 设四个数为0，a，b，12，其中，，， ∴，且，， ∴或， 同理或， 当时，， 把代入得：， 由得：， ∴当时，总是等于6， ∵， ∴不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴或， 把代入得： ， 即， 解得：或（舍去）， 把代入得：； 把代入得：， 解得：或（舍去）， 此时， ∴这四个数为12，0，4，8． 故答案为：0，4，8． 16．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的数分别为a，b，c．下列结论： ①若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧； ②若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若，则点C一定在线段外； ④若，则点C一定为线段的中点． 所有正确结论的序号是_____． 【答案】 ①②④ 【分析】本题考查了数轴的有关知识及实数的运算法则，①根据加法法则判定a，b，c至少有一个小于0，据此可解；②根据有理数乘法法则，时，a、b、c中至少有一个正数，对应点在原点右侧；③当a和b异号时，c可能在线段上，不一定在外；④根据两点间的中点公式可判断； 【详解】解：①若，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个小于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧，故①正确； ②若，根据有理数乘法法则，a、b、c同正或两负一正，故至少有一个正数，即至少有一个点在原点右侧，故②正确； ③若，例如，，则，点C在线段上，故不一定在线段外，故③错误； ④若，则，由中点坐标公式，点C为线段的中点，故④正确． ∴正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，绝对值的化简运算，含乘方的有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握运算顺序并正确计算． （1）根据有理数的加减法以及绝对值的化简计算即可； （2）根据乘方的有理数的混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（5分）如图，点，在数轴上，点表示，点表示． (1)点表示 ，点表示 ； (2)在数轴上表示出点和点； (3)用“”把点，，，表示的数连接起来． 【答案】(1)；3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据数轴的意义解答即可； （2）根据数轴的意义解答即可； （3）根据数轴上的点从左到右依次增大的特性比较即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：点，分别表示，． 故答案为：，； （2）如图所示， （3）根据数轴可得： 19．（5分），两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 点在数轴上的位置 10 0 ①_____ 点在数轴上的位置 ②_____ 12 20 (2)在、两点上分别安装一个感应器，感应距离小于或等于6时会一直发出震动提示．则、两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？提示持续多长时间？ 【答案】(1)， (2)经过2秒感应器开始发出提示，提示持续2秒 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由表格分别计算出点、的运动速度，再列式计算即可得解； （2）设经过秒感应器开始发出提示，由题意可得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得， 点的运动速度为，从数轴上对应的点开始，向左运动，第秒对应的数为； 点的运动速度为，向右运动，开始时对应的数为； （2）解：设经过秒感应器开始发出提示， 由题意可得：， 解得：， （秒）， （秒）， 故经过2秒感应器开始发出提示，提示持续2秒． 20．（8分）将下列各数填在相应的大括号中： ，，，，，，，，， 正数：{    } 负分数：{    } 非负整数：{    } 整数：{    } 【答案】，， ，；，；，，，；，，， ，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数、负分数、非负整数、整数的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：正数：{，， ，}； 负分数：{，}； 非负整数：{，，，}； 整数：{，，， ，，，}； 21．（7分）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离． 例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6． 给出定义：数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和称为与的“关联距离”． 例如，为与的“关联距离”，为与1，2，的“关联距离”． (1)若，则的值为 ； (2)若与1，的“关联距离”为3，满足条件的的非负整数值是 ； (3)若与1，的“关联距离”为5，的值是 ； (4)“关联距离”的最小值是 ，此时的值是 ． 【答案】(1)或 (2)0和1 (3)或2 (4)6； 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上的两点距离计算，正确理解题意是解题的关键． （1），表示的是数轴上表示数x的点到表示数的距离为3，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，则；，再讨论点A的位置，进而表示出，从而确定x的取值范围即可得到答案； （3）由（2）可得当点A在点B左侧时，，当点A在点B右侧时，，据此求出或的长即可得到答案； （4）根据（2）和绝对值的非负性可证明当时，和能同时取得最小值，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数的距离为3， ∴当数x在数的左侧时， ， 当数x在数的右侧时， ， ∴x的值为或； （2）解：∵与1，的“关联距离”为3， ∴； 设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，则； ∴， 当点A在点B左侧时，则，不符合题意； 当点A在点B和点C之间时（包含点B和点C），则，符合题意； 当点A在点B右侧时，则，不符合题意； 综上所述，当点A在点B和点C之间时， ∴， ∴满足条件的的非负整数值是0和1； （3）解：由设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1， ∴ 由（2）可得当点A在点B左侧时，， ∴， ∴； 当点A在点B右侧时，， ∴， ∴； 综上所述，x的值为或2； （4）解：同理可得当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 22．（6分）某篮球联赛中，积分榜如下所示： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 奋斗队 8 7 1 15 梦想队 8 14 超越队 8 4 4 12 追光队 8 3 5 11 挑战队 8 0 8 8 问题： (1)胜一场积________分，负一场积________分； (2)求梦想队的胜场数． 【答案】(1)2，1 (2)梦想队胜6场 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用． （1）首先由挑战队的积分求出负1场得分，然后根据奋斗队的积分列式求得胜1场的得分； （2）设梦想队胜场，负场，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵挑战队胜0场，负8场积分8分， ∴负1场得分 ∵奋斗队胜7场，负1场积分15分， ∴胜1场得分； （2）解：设梦想队胜场，负场， 依题意，得， ， ． 答：梦想队胜6场． 23．（6分）对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①  ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 【答案】(1)①3； ② (2)或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程． 解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）①根据新运算定义列式计算即可；②根据新运算定义列式计算即可； （2）根据新运算定义列方程求解即可； 【详解】（1）解：①， ②． （2）解：当，， ∴， 把代入， 则， 解得符合题意． 当时，， ∴， 把代入， 则， 解得：，符合题意， 综上：或． 24．（7分）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 18/18 17/18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 3．将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．四个有理数在数轴上的对应点、、、的位置如图所示，则这四个点中表示的数最大的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法中，错误的是（   ） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．绝对值等于本身的数只有正数 C．互为相反数的两个数的和为 D．任何有理数都有相反数 8．下列各式的计算结果为正数的是（  ） A． B． C． D． 9．正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“”表示字母； ②若要表示个英文字母，需要盏灯； ③先后发出“”、“”、“”、“”表示“”的缩写“”． A．个 B．个 C．个 D．个 10．一条东西向的街道可视为数轴，自动换电站位于原点．某智能无人售卖车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天售卖车依次接到7个订单，运送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：） 售卖车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在售卖过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续配送．关于以下描述： ①售卖车在完成点订单后，需返回换电站换电池； ②完成点售卖订单后，显示剩余续航； ③售卖过程中，售卖车需要至少换3次电池； ④售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶． 正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，是负有理数的为__________． 12．__________________． 13．某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5个该品牌乒乓球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号． 乒乓球编号 1 2 3 4 5 直径长度 14．2025年11月11日清晨，承载着南昌地理溯源、文化传承与城市精神的新地标——城市原点在八一广场正式揭幕．其核心标志是一块镶嵌在地面，直径为2.7米的圆形铜铸浮雕，面积约为5.72平方米．近似数5.72精确到________位． 15．在4张同样的纸片上各写着一个数，这4个数互不相等，其中最大的数是12．从这4张纸片中，任意抽取一张纸片，记录数后放回，打乱顺序后再任意抽取一张纸片，记录数后放回，计算这两次记录的数的差的绝对值．重复以上操作，每次所得的绝对值都是这4个数中的一个，并且这4个数都能取到．这4张纸片上除12以外的其他3个数是______． 16．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的数分别为a，b，c．下列结论： ①若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧； ②若，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若，则点C一定在线段外； ④若，则点C一定为线段的中点． 所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（5分）如图，点，在数轴上，点表示，点表示． (1)点表示 ，点表示 ； (2)在数轴上表示出点和点； (3)用“”把点，，，表示的数连接起来． 19．（5分），两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 点在数轴上的位置 10 0 ①_____ 点在数轴上的位置 ②_____ 12 20 (2)在、两点上分别安装一个感应器，感应距离小于或等于6时会一直发出震动提示．则、两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？提示持续多长时间？ 20．（8分）将下列各数填在相应的大括号中： ，，，，，，，，， 正数：{     } 负分数：{     } 非负整数：{     } 整数：{     } 21．（7分）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离． 例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6． 给出定义：数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和称为与的“关联距离”． 例如，为与的“关联距离”，为与1，2，的“关联距离”． (1)若，则的值为 ； (2)若与1，的“关联距离”为3，满足条件的的非负整数值是 ； (3)若与1，的“关联距离”为5，的值是 ； (4)“关联距离”的最小值是 ，此时的值是 ． 22．（6分）某篮球联赛中，积分榜如下所示： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 奋斗队 8 7 1 15 梦想队 8 14 超越队 8 4 4 12 追光队 8 3 5 11 挑战队 8 0 8 8 问题： (1)胜一场积________分，负一场积________分； (2)求梦想队的胜场数． 23．（6分）对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①  ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 24．（7分）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 4/6 3/6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B D B D B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．4 14．百分 15．0，4，8 16．①②④ 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（8分） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（5分） 【详解】（1）解：由数轴可得：点，分别表示，． 故答案为：，； （2）如图所示， （3）根据数轴可得： 19．（5分） 【详解】（1）解：由表格可得， 点的运动速度为，从数轴上对应的点开始，向左运动，第秒对应的数为； 点的运动速度为，向右运动，开始时对应的数为； （2）解：设经过秒感应器开始发出提示， 由题意可得：， 解得：， （秒）， （秒）， 故经过2秒感应器开始发出提示，提示持续2秒． 20．（8分） 【详解】解：正数：{，， ，}； 负分数：{，}； 非负整数：{，，，}； 整数：{，，， ，，，}； 21．（7分） 【详解】（1）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数的距离为3， ∴当数x在数的左侧时， ， 当数x在数的右侧时， ， ∴x的值为或； （2）解：∵与1，的“关联距离”为3， ∴； 设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，则； ∴， 当点A在点B左侧时，则，不符合题意； 当点A在点B和点C之间时（包含点B和点C），则，符合题意； 当点A在点B右侧时，则，不符合题意； 综上所述，当点A在点B和点C之间时， ∴， ∴满足条件的的非负整数值是0和1； （3）解：由设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1， ∴ 由（2）可得当点A在点B左侧时，， ∴， ∴； 当点A在点B右侧时，， ∴， ∴； 综上所述，x的值为或2； （4）解：同理可得当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 22．（6分） 【详解】（1）解：∵挑战队胜0场，负8场积分8分， ∴负1场得分 ∵奋斗队胜7场，负1场积分15分， ∴胜1场得分； （2）解：设梦想队胜场，负场， 依题意，得， ， ． 答：梦想队胜6场． 23．（6分） 【详解】（1）解：①， ②． （2）解：当，， ∴， 把代入， 则， 解得符合题意． 当时，， ∴， 把代入， 则， 解得：，符合题意， 综上：或． 24．（7分） 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 6/6 1/6 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