第14章 全等三角形【章节复习】压轴题--全等综合探究类模型 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以三角形全等判定为核心，通过分类讨论（直角/钝角/锐角）和构造全等（倍长中线等）方法，系统整合判定条件探究与综合应用的跨情境训练，发展几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等判定条件探究|2题（含作图与证明）|分类讨论思想（按角的类型）、反例构造法|从基本判定（SSS/SAS等）拓展到SSA特殊情形，构建“判定—例外—补充条件”的逻辑链| |构造全等应用|2题（含中线取值、四边形线段关系）|倍长中线法、图形转化策略|从三角形内分散条件集中，迁移至四边形中角与线段关系证明，体现转化思想的应用递进|

1. 解答下列各题： （ 1 ）如图①，已知：中， ，，直线经过点，于， 于，求证：． 图 （ 2 ）拓展：如图②，将（ ）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论 是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由． 图 （ 3 ）应用：如图③，在中，是钝角，，， ，直线与的延长线交于点，若， 的面积是，求与的面积之和． 图 2. 解答下列问题． （ 1 ）如图（ ），已知：在中，，，直线经过点，直线 ，直线，垂足分别为点、．证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ）如图（），将（ ）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，且，其中为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （ 3 ）拓展与应用：如图（），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为 平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、、、 ，若，求证：． 3. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （ 1 ）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线， 直线，垂足分别为点、．求证：． 图 （ 2 ）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（ ）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有 (其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 图 （ 3 ）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 图 $ 1. 问题背景： 如图：在四边形中，，，．、分别是 、上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． （ 1 ）小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连结，先证明≌ ，再证明≌ ，可得出结论，他的结论应是 ；图 （ 2 ）探索延伸： 如图，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 图 （ 3 ）实际应用： 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进.小时 后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 北 东 图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 海里 仍然成立．证明见解析． （ 1 ）本题无需解析． （ 2 ）如图，延长 到 ，使 ，连接 ， 在 和 中 ≌ （ ） 图 ， 在 和 中 ≌ （ ） ； （ 3 ）如图，连接 ，延长 、 相交于点 ， 北 ， ∴ 东 又 符合探索延伸中的条件 结论 成立 即 答：此时两舰艇之间的距离是 海里． 海里． 【知识点】全等三角形的对应边与角 2. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图，四边形中，，，点 、分别在边、上，且 ，求证： ． 小明充分利用，与互补的条件，将绕点逆时针旋转的度数，如图，从而将问题解决． 图 图 （ 1 ）根据阅读材料，证明： ． （ 2 ）用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题： 如图，四边形 中， ，为边上的点，连接 ， 平分 交 于， ， ，连接、． 图 找出图中与相等的线段，并加以证明．求的度数（用含的式子表示）．1 2 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）1 ，证明见解析． 2 ． （ 1 ）如图 中，将 绕点 逆时针旋转 的度数得到 ． 图 ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， 共线， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （ 2 ）1 如图 中，结论： ． 图 理由：∵ 平分， ∴ ， ∵ ，， ∴ ≌（）， ∴ ． 2 如图 中，在 上取一点，使得 ，连接 ．作 于 ， 交 的延长线于． 图 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ≌ ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ≌ ， ， ， （ ）， ， ∵ ∴ ，， 平分， ∴ ． 【知识点】旋转的性质 【知识点】截长补短 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】角分线性质定理 【能力】分析和解决问题能力 3. 回答下列问题： （ 1 ） 如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且 ．求证：．（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）仍然成立． （ 3 ）不成立， ，证明见解析． （ 1 ）延长 到 ，使 ，连接 ． （ 2 ）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且 ，（ ）中的结论是否仍然成立？ （ 3 ）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且 ，（ ）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． ∵ ， ， ∴ ≌ ． ∴ ， ． ∴ ． ∴ ． 又 ， ∴ ≌ ． ∴ ． ∵ ． ∴ ． （ 2 ）延长 至点 ，使 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴在 和 ，即中， ， ， ∴ ∴ ∴ ≌ ，即 ， ． ， （ 3 ）结论 证明：在 上截取 不成立，应当是 ，使 ，连接 ． ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 ∵ ∴ ∵ ∴ ≌ ， ． ． ， ， ∴ ， ． ∴ ． ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ≌ ， ， ． ． ， ∴ ． $ 1. 问题背景： 如图：在四边形中，，，．、分别是 、上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． （ 1 ）小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连结，先证明≌ ，再证明≌ ，可得出结论，他的结论应是 ；图 （ 2 ）探索延伸： 如图，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 图 （ 3 ）实际应用： 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进.小时 后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 北 东 图 2. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图，四边形中，，，点 、分别在边、上，且 ，求证： ． 小明充分利用，与互补的条件，将绕点逆时针旋转的度数，如图，从而将问题解决． 图 图 （ 1 ）根据阅读材料，证明： ． （ 2 ）用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题： 如图，四边形 中， ，为边上的点，连接 ， 平分 交 于， ， ，连接、． 图 找出图中与相等的线段，并加以证明．求的度数（用含的式子表示）．1 2 3. 回答下列问题： （ 1 ）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且 ．求证：． （ 2 ）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且 ，（ ）中的结论是否仍然成立？ （ 3 ）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且 ，（ ）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． $ 1. 解答下列各题： （ 1 ）如图①，已知：中， ，，直线经过点，于， 于，求证：． 图 （ 2 ）拓展：如图②，将（ ）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论 是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由． 图 （ 3 ）应用：如图③，在中，是钝角，，， ，直线与的延长线交于点，若， 的面积是，求与的面积之和． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）成立，证明见解析． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ． （ 2 ）成立，仍为 ，理由如下： ∵ ， 在 中， ， ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ． （ 3 ）∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， 设 的底边 的高为 ，则 的底边 的高也为 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 与 的面积之和为 ． 【能力】推理论证能力 【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】三角形内角和的应用 2. 解答下列问题． （ 1 ）如图（ ），已知：在中，，，直线经过点，直线 ，直线，垂足分别为点、．证明：． （ 2 ）如图（），将（ ）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，且，其中为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （ 3 ）拓展与应用：如图（），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为 平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、、、 ，若，求证：． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）成立，证明见解析． （ 3 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ 直线 ， 直线 ， ， 又∵ ∴ ∴ ， ， ，， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ∵ ， ， ， ∴ ． （ 2 ）∵ ∴ ∴ ， ， ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ∴ ≌ ， （ ）， ， ． （ 3 ）易证 ∴ ≌ ， ， ， ∵ ∴ 和 均为等边三角形， ， ， ∴ ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ． （）， 【知识点】一线三等角模型 3. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （ 1 ）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线， 直线，垂足分别为点、．求证：． 图 （ 2 ）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（ ）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有 (其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 图 （ 3 ）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） （ 3 ）证明见解析． ． （ 1 ）如图 ，∵ 直线 ， 直线 ， 图 ∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，在 与 中， ∴ ≌ , （ 2 ） ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ． 如图 ， 图 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ , ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 3 ）如图 ， 过 作 于 ， 的延长线与 ， ∴ ． 由（ ）和（ ）的结论可知 ， ∴ ， 在 和 中， 对顶角相等 ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∴ 是 的中点． 图 【知识点】全等三角形实际生活中的应用 【知识点】AAS 【知识点】对应边 【知识点】全等三角形的对应边与角 【能力】推理论证能力 $ 1. 【问题提出】 同学们已经学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”、“ ”）， 请大家继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，， ，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （ 1 ）当是直角时，≌． 如图①，在和，，， ，根据判定方法 ，可以知道≌． （ 2 ）当是钝角时， ≌ ． 如图②，在 和 ， ，， ，且、都是钝 角， 求证：≌ ． （ 3 ）当是锐角时，和不一定全等． ①在和，，， ，且、都是锐角，请你 用尺规在图③中作出，使 和 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） ②还要满足什么条件，就可以使 ≌ ？ 请直接写出结论：在 和 中， ， ， ，且 、 都是锐角，若 ，则≌． 10 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ） （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） （ 1 ）∵ ， ∴ 和 是直角三角形，在 和 中 ， ∴ ≌ . （ 2 ）如图，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 交 的延长线于 ， ， ∵ ，且 、 都是钝角， ∴ ， 即 ， 在 和 中， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ （ 3 ）①如图， ≌ （ ）． ② ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 2. 先阅读材料再解决问题． 【阅读材料】 学习了三角形全等的判定方法“ ”，“ ”，“ ”，“ ”和“ ”后，某小组同 学探究了如下问题：“当 和 满足 ， ， 时， 和是否全等”． 如图 ，这小组同学先画， ，再画 ．在画的过程 中，先过作于点，发现如下几种情况： 当时，不能构成三角形； 当时，根据“”或“”，可以得到 ≌ ． 当时，又分为两种情况． ①当时，和不一定全等． ②当时，和一定全等． 【解决问题】 （ 1 ）对于的情况，请你用尺规在图中补全和，使和不全等．（标明字母并保留作图痕迹） （ 2 ）对于的情况，请在图中画图并证明≌． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ） （ 2 ）当 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ，又∵ ， ∴ ， ∴ ≌ ； 当 时，作 于 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ≌ ．（ ） ∴ ， 又∵ ， ∴ ≌ ．（ ） ∴ ， ∴ ≌ ．（ ） 【知识点】多解或多种判定混合 3. 阅读下面材料： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 图 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，相当于把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，即可得到的取值范围．请你写出的取值范围 ； 小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 请你解决以下问题： （ 1 ）题干中的取值范围为 ． （ 2 ）如图，在中，是边上的中点，，交于点，交于点 ，连接． 图 ①求证：； ②若，请直接写出线段、、之间的数量关系为 ． （ 3 ）如图，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段、、 之间的数量关系，并加以证明． 图 （ 1 ） （ 2 ）①证明见解析． ② ． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ 是 的中点， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）①如图 ，延长 到 ，使得 ，连接 、 ． 图 ∵ ， ， ∴ ≌ （ ）． ∴ ． （ 3 ） ∵ ， ， ∴ 是 的垂直平分线． ∴ ． 在 中， ∵ ， ∴ ． ②∵ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ． ． 如图 ，延长 到 ，使得 ，连接 ． 图 ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ≌ （ ）． ∴ ， ． 依题意可知： ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ≌ （ ）． ∴ ． 【能力】推理论证能力 【知识点】直接用勾股求边长 【知识点】勾股定理 【知识点】线段的垂直平分线的判定定理 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 4. 完成下面问题． （ 1 ）如图，图，图，在中，分别以，为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，，相交于点． 如图，试说明：≌．1 图 探究：如图， ；如图， ；如图， ．2 图 图 （ 2 ）如图，，是以为边向外所作正边形的一组邻边；，是以为边向外所作正边形的一组邻边，，的延长相交于点，试猜想：图中 ．（用含的式子表示） 图 （ 1 ）1 2 （ 2 ） 证明见解析． ; ; （ 1 ）1 如图 ， ， 图 ∵ 和 是等边三角， ∴ ， ， ∴ ， 即 ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ． 2 ∵ ∴ ≌ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 如图，连结 ， ∵四边形 和四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ， ∴ ， 即 ， 在 和 中， ； ， ∴≌ ∴ ∵ ∴ ． ， ， ， ∴ ， ∴ 如图，连结 ， ∵五边形 和五边形 是正五边形， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ， ， ． （ 2 ）以此类推，当作正 边形时， ．故答案为： ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 $ 1. 【问题提出】 同学们已经学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”、“ ”）， 请大家继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，， ，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （ 1 ）当是直角时，≌． 如图①，在和，，， ，根据判定方法 ，可以知道≌． （ 2 ）当是钝角时， ≌ ． 如图②，在 和 ， ，， ，且、都是钝 角， 求证：≌ ． （ 3 ）当是锐角时，和不一定全等． ①在和，，， ，且、都是锐角，请你 用尺规在图③中作出，使 和 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） ②还要满足什么条件，就可以使 ≌ ？ 请直接写出结论：在 和 中， ， ， ，且 、 都是锐角，若 ，则≌． 1 学科网（北京）股份有限公司 2. 先阅读材料再解决问题． 【阅读材料】 学习了三角形全等的判定方法“ ”，“ ”，“ ”，“ ”和“ ”后，某小组同 学探究了如下问题：“当 和 满足 ， ， 时， 和是否全等”． 如图，这小组同学先画，，再画．在画的过程中，先过作于点，发现如下几种情况： 当时，不能构成三角形； 当时，根据“”或“”，可以得到≌．当时，又分为两种情况． ①当时，和不一定全等． ②当时，和一定全等． 【解决问题】 （ 1 ）对于的情况，请你用尺规在图中补全和，使和不全等．（标明字母并保留作图痕迹） （ 2 ）对于的情况，请在图中画图并证明≌． 3. 阅读下面材料： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 图 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，相当于把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，即可得到的取值范围．请你写出的取值范围 ； 小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 请你解决以下问题： （ 1 ）题干中的取值范围为 ． （ 2 ）如图，在中，是边上的中点，，交于点，交于点 ，连接． 图 ①求证：； ②若，请直接写出线段、、之间的数量关系为 ． （ 3 ）如图，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段、、 之间的数量关系，并加以证明． 图 4. 完成下面问题． （ 1 ）如图，图，图，在中，分别以，为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，，相交于点． 如图，试说明：≌．1 图 探究：如图， ；如图， ；如图， ．2 图 图 （ 2 ）如图，，是以为边向外所作正边形的一组邻边；，是以为边向外所作正边形的一组邻边，，的延长相交于点，试猜想：图中 ．（用含的式子表示） 图 $