第14章 全等三角形•能力提升（章节复习能力自测闯关卷）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年人教版数学八年级上册第14章全等三角形单元复习卷，90分钟100分，难度0.52，覆盖全等判定与性质、角平分线、等腰三角形等核心知识，通过基础巩固与综合探究梯度设计，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|全等判定、坐标系中全等、角平分线性质|结合图形变换与坐标系，考查几何直观与空间观念| |填空题|8/16|网格角度计算、中点性质、动点最值|联系考古测量等实际情境，体现应用意识| |解答题|8/64|全等证明、尺规作图、外角平分线综合|含作图与探究题，分层设计，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年人教版（新教材）数学八年级上册章节复习能力自测闯关卷 第14章 全等三角形•能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．如图，点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，顶点在轴负半轴上，顶点A在轴正半轴上，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，若点A坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．点在的平分线上 C． D．若，点到的距离为，则 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线交边于点，且，点在边上，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．线段的最小值是2 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 7．（25-26八年级上·河南信阳·期末）在和中，点A，C，D在同一条直线上，．若，则DE的长为（   ） A．8 B．7 C．3 D．4 8．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 12．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 13．（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，平分交于点，点为上一点，且 ，则___________． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在与中，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则__________．（用表示） 15．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，当线段的值最小时，则的长是________．    16．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在中，线段是的角平分线，是边上的中线，垂直于，已知：，，，则长是_______． 17．如图，在中，，，于点，的平分线分别交于点为的中点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 __________ ． 18．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，中，的角平分线、交于点，延长，则下列结论中正确的是__________．（填序号）①平分；②：③；④；⑤． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 20．（本题6分）（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（本题8分）（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： (1)； (2)． 22．（本题8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图是由边长为单位1的小正方形组成的网格，的三个顶点都是格点，按要求作图：以B点为原点建立平面直角坐标系． （1）则C点坐标为________； （2）将向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到，在图1中作出，则点的坐标为________； （3）在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点P，使得点P到，的距离相等． 23．（本题8分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）我们通过学习知道角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：是的平分线，于点于点．求证：． (2)如图2，于点，于点，为平分线上的一点，，求证：． 24．（本题8分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）（1）阅读下题及证明过程， 如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以……第一步 所以……第二步 上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗?请说明理由． 25．（本题10分）（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，与中，，、分别是 的角平分线． (1)请你在原图中作出两个三角形的角平分线和(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)； (2)若请你证明． 26．（本题10分）（25-26八年级上·河北保定·期末）是一个锐角三角形，且，两个外角的平分线交于点，连接． (1)如图，求证：平分．嘉嘉的证明思路如下，补全该证明过程； 证明：如图，过点分别作，垂足分别为．，． 平分， ． 同理可得， (2)如图，若与交于点，且． ①求证：是等腰三角形： ②若，求的周长（用含，的式子表示）： (3)若为射线上的点，当时，直接写出与之间的数量关系． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版（新教材）数学八年级上册章节复习能力自测闯关卷 第14章 全等三角形•能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．如图，点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理判断求解即可，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，即， 、∵， ∴， ∵， ∴， 又，，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ， 故本选项不符合题意； 、由，，，符合全等三角形的判定定理， 能推出 ，故本选项不符合题意； 、由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项符合题意； D、由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出 ，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，顶点在轴负半轴上，顶点A在轴正半轴上，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系的坐标特征，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 过点作轴，根据点的坐标得出，的长度，然后再证，得，再根据点在轴的负半轴上，即可得出答案． 【规范解答】解：过点作轴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 由图可知， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵顶点在轴负半轴上， ∴． 故选：D ． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，若点A坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了求点的坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 分别过点作轴的垂线，交轴于点，证明，得到，进而根据点的坐标求出，进而可知点的坐标． 【规范解答】解：如图，分别过点作轴的垂线，交轴于点， ∴， ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．点在的平分线上 C． D．若，点到的距离为，则 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 结合平行线的性质以及角平分线的定义得，则，故；连接，过点分别作，结合角平线定理可得，进而可证，得到即可；运用三角形内角和得；结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A是正确的，不符合题意； 连接，过点分别作，如图所示： ∵中，和的平分线交于点D， ， ， 又， ， ， ∴平分， 故B是正确的，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C是错误的，符合题意； ∵点D到的距离为n， ∴， 则 故D是正确的，不符合题意； 故选：C ． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线交边于点，且，点在边上，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．线段的最小值是2 【答案】C 【思路引导】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，根据作图得到平分，根据作图方法，结合角平分线的定义和性质，垂线段最短，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由作图可知：，平分；故A选项正确； ∴；故B选项正确； ∵平分，， ∴点到两边的距离相等，均为的长， ∵点E在边上， ∴当时，的长取最小值，为的长， ∴长的最小值是，故D选项正确； ∵， ∴， ∴C选项错误； 故选C． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【思路引导】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，根据得到，求出，，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵的三边，，的长分别是，，，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 7．（25-26八年级上·河南信阳·期末）在和中，点A，C，D在同一条直线上，．若，则DE的长为（   ） A．8 B．7 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可解答，熟知一线三等角模型是解题的关键． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 8．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【规范解答】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 9．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【规范解答】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 10．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【思路引导】由，得，因为，，所以，则．可判断①正确；由折叠得，，则，所以，可判断②正确；所以，推导出，可根据“”证明，可判断③正确；延长交于点，可证明，得，再证明，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； 延长至，沿着折叠与重合，交于点， ，， ， ， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， （）， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， 故④正确． 故选：A． 【考点剖析】此题重点考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、同角的余角相等、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【规范解答】解：由题意得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，对顶角相等，连接，设与交于点，由为，中点，则，，然后证明，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴底部内径的长度为， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，平分交于点，点为上一点，且 ，则___________． 【答案】3 【思路引导】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点F，由角平分线的性质定理得，再依次证明 ， ，根据对应边相等，即可求解． 【规范解答】解：如图，作于点F， ， ， 又 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：3． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在与中，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则__________．（用表示） 【答案】 【规范解答】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，得出，进而得出，再根据平角的定义即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，当线段的值最小时，则的长是________．    【答案】6 【思路引导】本题主要考查垂线段最短问题，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点F，此时线段的值最小，根据角平分线的性质得，再证明得． 【规范解答】解：如图，过点E作于点F，此时线段的值最小，    ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 16．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在中，线段是的角平分线，是边上的中线，垂直于，已知：，，，则长是_______． 【答案】4 【思路引导】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．过D点作于F点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长． 【规范解答】解：过D点作于F点，如图， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵线段是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：4． 17．如图，在中，，，于点，的平分线分别交于点为的中点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 __________ ． 【答案】 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，由等腰直角三角形的性质得出，证明得出，证明得出垂直平分，从而得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：在中，，，于点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴ 故答案为：． 18．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，中，的角平分线、交于点，延长，则下列结论中正确的是__________．（填序号）①平分；②：③；④；⑤． 【答案】①②③④⑤ 【思路引导】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④⑤． 【规范解答】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， ∵，， ∴，， 又， ∴， 故答案为：①②③④⑤． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明： 平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【思路引导】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【规范解答】略 20．（本题6分）（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【思路引导】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【规范解答】（1）证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为5． 21．（本题8分）（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意易得，，则，即可根据判定； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证． 【规范解答】（1）证明：∵，分别是的边，上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的边上的高， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 22．（本题8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图是由边长为单位1的小正方形组成的网格，的三个顶点都是格点，按要求作图：以B点为原点建立平面直角坐标系． （1）则C点坐标为________； （2）将向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到，在图1中作出，则点的坐标为________； （3）在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点P，使得点P到，的距离相等． 【答案】见解析；（1）；（2）图见解析，；（3）见解析 【思路引导】本题考查作图-平移变换、角平分线的性质，熟练掌握平移的性质、角平分线的性质是解答本题的关键． 以B点为原点建立平面直角坐标系即可； （1）根据平面直角坐标系即可得点C的坐标； （2）根据平移的性质作图，即可得出答案． （3）结合角平分线的性质，作的平分线，交于点P，则点P即为所求． 【规范解答】解：以B点为原点建立平面直角坐标系，如图1， （1）根据平面直角坐标系可知点C的坐标为． 故答案为：． （2）如图1，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （3）如图2，取格点D，连接，交于点P，则点P即为所求． ∵， ∴平分， ∴点P到，的距离相等． 23．（本题8分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）我们通过学习知道角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：是的平分线，于点于点．求证：． (2)如图2，于点，于点，为平分线上的一点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质． （1）根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出，由全等三角形的性质可得结论． （2）根据角平分线的性质可得，进而证明，即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵于点于点 ∴ ∵是的平分线， ∴ 又∵ ∴， ∴； （2）证明：∵于点，于点，为平分线上的一点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 24．（本题8分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）（1）阅读下题及证明过程， 如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以……第一步 所以……第二步 上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗?请说明理由． 【答案】（1）第一步错误，正确的证明过程见详解 （2）这两个三角形全等，理由见详解 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据等边对等角得到，，则，得到，运用边角边即可求证，由全等三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得，，证明，得，则，运用边角边即可求证． 【规范解答】解：（1）∵不能运用“边边角”证明两个三角形全等， ∴证明中第一步错误， 正确的证明过程如下， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）全等，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ． ∴， 又， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴． 25．（本题10分）（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，与中，，、分别是 的角平分线． (1)请你在原图中作出两个三角形的角平分线和(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)； (2)若请你证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查角平分线的尺规作图以及三角形全等的判定定理． （1）依据角平分线的尺规作图方法和步骤，通过两次画弧确定角平分线的位置； （2）先利用判定定理证明，推导出，再结合角平分线的定义得到，最后通过判定定理证明． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段、即为所求． （2）解：，，， ， ， 、分别是、的角平分线， ，， ， 在和中，， ． 26．（本题10分）（25-26八年级上·河北保定·期末）是一个锐角三角形，且，两个外角的平分线交于点，连接． (1)如图，求证：平分．嘉嘉的证明思路如下，补全该证明过程； 证明：如图，过点分别作，垂足分别为．，． 平分， ． 同理可得， (2)如图，若与交于点，且． ①求证：是等腰三角形： ②若，求的周长（用含，的式子表示）： (3)若为射线上的点，当时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，② (3)或 【思路引导】本题考查了角平分线的性质及判定、全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质与判定，关键是熟练应用知识点解题． （1）利用角平分线的性质和判定论证即可； （2）①利用等角对等边即可论证；②利用等角对等边即可论证； （3）通过论证两直角三角形全等即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：如图，过点分别作，垂足分别为．，． 平分， ． 同理可得， ∴， ∵， ∴平分； （2）①证明：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为； （3）或；理由如下： 过点分别作，垂足分别为，． 如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ∴， ∴． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $