2.2.2 《一元二次方程的解法(第2课时 因式分解法)》教学设计 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的因式分解法，通过“速算挑战”对比同一方程的不同形式，引出因式分解法的便捷性，衔接已学的直接开平方法和配方法，构建解法知识体系。 资料亮点在于分层练习（A、B、C层）适配不同学生，易错点辨析（如两边同除含x式子丢根）强化逻辑推理，矩形面积模型等数形结合案例培养直观想象，助力学生提升数学运算能力，教师可直接应用结构化教学流程与丰富例题资源。

教 案 2.2.2 一元二次方程的解法 （第2课时 因式分解法） 苏科版·九年级数学上册 | 2026-2027学年 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 一、教学内容分析 本课是苏科版九年级上册第二章《一元二次方程》2.2节“一元二次方程的解法”第2课时.学生已经学过直接开平方法和配方法, 有一定的代数变形底子.因式分解法的思路, 是把一元二次方程通过因式分解“降次”成两个一元一次方程来解, 根据是“两个因式相乘得0, 则至少有一个因式为0”.它和七年级的因式分解直接挂钩, 算是前面知识的一次现学现用. 二、学情分析 九年级学生已经会提公因式、用乘法公式（平方差 a²−b²、完全平方 a²±2ab+b²，七年级已学）和十字相乘法, 单做多项式分解问题不大.但一用到解方程上, 常见的卡点有这么几个： （1）对“若 AB=0 则 A=0 或 B=0”的理论依据理解不够深刻； （2）在面对具体方程时, 不能灵活选择最合适的因式分解方法； （3）容易忽略“必须将方程右边化为0”这一前提条件； （4）解题时易出现两边同除以含未知数代数式的错误. ▶ 教学策略 针对这几个卡点, 这节课先用“速算挑战”把注意力拉回来, 再用“同一方程两种样子”的对比讲清原理, 练习分A、B、C三层照顾不同学生, 易错的地方单独拎出来辨析. 三、教学目标 核心素养目标（依据新课标） ● 数学运算：掌握因式分解法解一元二次方程的四个步骤，能根据方程特点灵活选用提公因式、乘法公式（平方差 a²−b²、完全平方 a²±2ab+b²，七年级已学）或十字相乘法，将“二次”降为“一次”. ● 逻辑推理：理解“若 AB=0，则 A=0 或 B=0”的算理根据，能有条理说明“右边为何必须先化 0”“为何不能两边同除以含 x 的式子”，体会降次与转化思想. ● 数学抽象：在比较直接开平方法、配方法、因式分解法的过程中，抽象出“看方程长相选最省事方法”的策略，初步接触换元思想（整体代换、降次）. ● 直观想象：借助解法体系思维导图，在头脑中建立“一元二次方程解法家族”的结构框架，明确本课（2.2.2）在 2.2 三课时中的位置关系. 达成路径：在“速算挑战”的认知冲突中体会因式分解法“快、巧”的好处，养成先观察、再动手、最后检验的习惯. 分层练习让不同水平学生都练到位、有成就感；能从实际情境中抽象方程模型，并自觉验根、舍去不合题意的值. 数学语言：用准确、简洁的数学语言表述解题步骤与依据，规范书写“∴… 或 …”. ● 学习态度：敢于挑战 C 层难题，做出来就长信心；错题用红笔写一句“我错在哪”，比多做三道新题更有用. （说明：本课时位于 2.2.2，公式法 / 根的判别式在 2.2.3 才学，故本课不涉及求根公式与判别式.） 四、教学重难点 ▶ 教学重点 因式分解法解方程的一般步骤; 看方程特点灵活选分解方法. ▶ 教学难点 灵活选分解方法; 别“两边同除以含x的式子”丢根; 真正理解换元法的换与回代. 五、教学方法与教具 教学方法：以讲练结合为主, 配小组探究和分层练习. 教具：PPT课件、分层学案、黑板与彩色粉笔. 六、教学过程（共40分钟） 教学环节 主要内容 时间分配 环节一 创设情境·引入新课 —— “速算挑战赛” 5 min 环节二 复习铺垫·明晰概念 5 min 环节三 探究新知·归纳步骤 10 min 环节四 典例精析·方法提炼 12 min 环节五 分层训练·巩固提升 5 min 环节六 小结归纳·布置作业 3 min 【环节一】导入·速算挑战，引入新课（5 min） 【活动】大屏打出下面两道题, 全班来一场“速算挑战”： 题目①： 题目②： 【过程】 （1）规则：30秒内写出两题的 x, 看谁又准又快. （2）第一题多数同学脱口而出： （3）第二题要一步步配方, 明显慢了一截. （4）追问：同一道题, 为什么第一题秒出、第二题要算半天？ （5）学生发现：两题其实是同一个方程, 只是样子不同. （6）点题：能不能把第二题也变成第一题那样？这就是今天的方法——因式分解法. ▶ 设计意图 同样的两个方程, 第一题几乎一眼出答案, 第二题却要一步步配方, 学生自然纳闷：能不能把第二题变成第一题那样？顺着这股劲儿引出因式分解法, 比直接端定义出来更顺, 也顺手复习了“积为0因式必有一个为0”. 【环节二】新授·复习铺垫，明晰根据（5 min） 【回顾】带着学生一起想： 问题1：我们已经会哪几种解法？ —— 直接开平方法、配方法. 问题2：因式分解常用哪些方法？ —— 提公因式、乘法公式（平方差 a²−b²、完全平方 a²±2ab+b²，七年级已学）、十字相乘法. 【铺垫】把最关键的一句话写黑板上： 这就是因式分解法解方程的根据：积为0, 因式里至少有一个为0. ▶ 设计意图 两个问题把已经会的因式分解和方程求解重新接上, 最后落到的那句话, 正好给下一步探究铺好路. 【环节三】新授·探究归纳四步法（10 min） 因式分解法的一般步骤 步骤 操作要点 ① 移项 将方程右边化为 0 ② 分解 将左边分解为两个一次因式的积 ③ 降次 令每个因式分别等于 0, 得两个一元一次方程 ④ 求解 分别解这两个一元一次方程, 即得原方程的解 ▶ 注意事项 ① 右边必须先化成0, 不然没法分解；② 两边不能同除以含未知数的式子, 会丢根；③ 先看有没有公因式, 再考虑公式或十字相乘；④ 因式分解法最快, 但不是所有方程都能用, 分解不动就换别的方法. 【环节四】新授·典例精析，方法提炼（12 min） 例1 解方程：x² − x − 6 = 0 【分析】二次项系数是1, 常数项−6. 十字相乘找两个数, 乘积−6、和−1, 就是−3和2. 【解答】 原方程： 左边分解： ∴ x − 3 = 0 或 x + 2 = 0 ▶ 方法点拨 这就是十字相乘法. 系数为1时, 只要把常数项拆成两个数, 使它们的和等于一次项系数. 最常用的一招. 例2 解方程：3x(x − 2) = 2 − x 【分析】右边不是0, 而且两边都有(x−2). 先移项把右边归零, 再提公因式(x−2). 【解答】 原方程： 移项, 得 3x(x−2) + (x−2) = 0 即： ∴ 3x + 1 = 0 或 x − 2 = 0 ▶ 易错警示 常见错法：两边同除以(x−2), 只得到 3x = −1 一个方程, 把 x = 2 这个根漏了！记住：方程两边不能同除以含x的式子. 例3（数形结合·面积模型） 讨论：一个长为 (x−2)、宽为 (x−3) 的矩形若其面积为零，则x可能的取值为多少？ 你对解一元二次方程是否有想法？ 【分析】面积相乘得到 x² − 5x + 6 = 0 即“这个矩形的面积等于 0”. 当长或宽为 0 时，矩形“塌”成一条线段、面积为 0，即 x−2 = 0 或 x−3 = 0，故 x = 2 或 x = 3. 这与因式分解法“各因式为 0”的根据完全吻合——图形让抽象的“降次”看得见；也可在数轴上直接标出两个根（见下图）. 【数形结合】面积为 0 ⇔ 至少一条边长为 0 ⇔ x = 2 或 x = 3；这两个数在数轴上对应两个确定点，正是方程的实数根. 【解答】 令面积为 0， ∴ x = 2 或 x = 3 想法：面积=0 分解为 长=0或宽=0 → 二次方程：.分解为=0或 ▶ 方法总结 三道题分别用了十字相乘法、提公因式、综合理解. 套路就一句：先看右边是不是0 → 看左边结构 → 选合适的分解法 → 降次求解. 【环节五】巩固·分层训练，提升能力（5 min） ★ A层·基础达标（全体必做） （2025·茂名一模） 解方程： 分解： 解得： （2025·英德市一模） 解方程： 分解： 解得： （2024秋·滨城区期中） 解方程： 分解： 解得： ★★ B层·能力提升（多数选做） （2025·齐齐哈尔） 解方程： 移项整理： 分解： 解得： （2025·娄底娄星区期中） 解方程： 解得： （2025-2026 陕西期中） 解方程： 分解： 解得： ★★★ C层·拓展挑战（学有余力） （2024·赤峰中考）等腰三角形两边长分别是方程 x² − 5x + 6 = 0 的两个根，求三角形周长. 解方程： 分解： 解得： （2025春·合肥月考）三角形两边长为 8 和 7，第三边长是方程 x² − 17x + 60 = 0 的一个实数根，求周长. 解方程： 分解： 解得： （C7 说明：方程两根为 2, 3，等腰→第三边取 2 或 3，周长 = 7 或 8；C8 说明：x = 5 或 12，周长 = 8+7+5 = 20 或 8+7+12 = 27.） ▶ 教师巡视 A层盯因式分解操作规不规范; B层看方法选得活不活; C层引导“先提公因式再分解”和“整体换元”. 共性问题当场讲. 【环节六】小结与作业（3 min） 【小结】让学生从“知识—方法—思想”三条线收一下： 知识：因式分解法的四个步骤. 方法：提公因式、乘法公式（平方差、完全平方）、十字相乘法. 思想：转化（高次化低次）、降次. 【作业】见第八部分分层作业. 七、板书设计 主板书左边写概念与步骤, 右边写例题, 下面放一张解法体系的思维导图. 图1 一元二次方程的解法体系（因式分解法为本课重点） 左栏：概念与步骤 右栏：例题与示范 一、理论依据 例1 x²−x−6=0 AB=0 → A=0或B=0 解：(x−3)(x+2)=0 二、一般步骤 例2 3x(x−2)=2−x ①移项 ②分解 ③降次 ④求解 解：(3x+1)(x−2)=0 三、常用分解法 易错：不可两边同除含x式 八、分层作业设计 ▶ A层·基础达标（全体必做） 1. x²−4=0；2. x(x−5)=0；3. 2x²−18=0.（练提公因式和平方差） ▶ B层·能力提升（多数选做） 4. x²−7x+12=0；5. (x+2)²−9=0；6. 3x²−10x+3=0.（练十字相乘和选方法） ▶ C层·拓展挑战（学有余力） 7. x³−9x=0；8. (x+3)²=5(x+3)；9. 仿照换元法解 (x²−x)²−4(x²−x)+3=0.（体验整体代换和高次降次） 九、小灶课（六大题型，按逻辑排序） 课堂例题只展示了核心技巧. 为了让学生练全, 把素材里其余题型按“基础→易错→应用→换元→分类讨论→创新”的顺序集中在这里, 可课堂选讲, 也可作课后拓展. （解答见第十部分） 题型1 基础解法型（多种因式分解方法综合运用） 【说明】看方程长什么样, 选提公因式、公式法还是十字相乘法, 目标都是把左边化成两个一次因式的乘积. （2025·中考数学一轮复习） 解方程： 分解： 解得： 移项使右边为 0，提取公因式 (x−3) 得 (x−3)(2x−1)=0. （2026·江苏连云港·中考真题） 解方程： 解得： 方程左边已是两个一次因式的乘积，分别令每个因式为 0 即可. （2026·四川泸州·中考真题） 解方程： 分解： 解得： 移项使右边为 0，提取公因式 (x+2) 得 (x+2)(3x−2)=0. （2026·云南·中考真题） 解方程： 解得： 提取公因式 x 得 x(5x−4)=0. 题型2 易错辨析型（警惕典型错误） 【说明】专治“两边同除以含x的式子”“忘记右边化0”这些老毛病, 先看错在哪, 再写正解. （2024秋·鲤城区校级期末） 解方程： 分解： 解得： 错解：两边同除以 (x−1) 得 x = 3，漏掉 x = 1；正解如下. （2024春·萧山区期中）甲错乙对： 解方程： 分解： 解得： 甲两边同除以 (x−1) 只得到 x = 3（漏根）；乙移项提取公因式得 (x−1)(x+3)=0，x = 1 或 −3. （2025·陕西期中） 解方程： 分解： 解得： 题型3 实际应用型（方程建模） 【说明】把几何（勾股、三角形）、数字等背景的实际问题转化为一元二次方程后，用因式分解法求解, 最后记得验根、舍掉不合题意的值. （2026·四川泸州·中考真题）已知直角三角形的两条直角边长是方程 x² − 14x + 48 = 0 的两个实数根，求该直角三角形的斜边长. 解方程： 分解： 解得： x = 6 或 8，即两直角边长为 6 和 8；由勾股定理，斜边长 = √(6²+8²) = 10. （2025·盐城一模）等腰 △ABC 的边是方程 x² − 7x + 10 = 0 的根，求周长. 解方程： 分解： 解得： x = 2 或 5；等腰→两边取 2 或 5，周长 = 9 或 12. （2025·泰州期中）直角三角形两直角边相差 7 cm、面积为 30 cm². 设较短直角边为 x cm，则 ½·x·(x+7) = 30，整理得 x² + 7x − 60 = 0. 用因式分解法求两直角边长. 解方程： 分解： 解得： x = 5 或 −12；几何中边长为正，取 x = 5，较长直角边 = 12；由勾股定理斜边 = 13. 题型4 换元法型（整体代换·降次） 【说明】同一个式子反复出现或方程次数偏高时, 用换元把它变成一元二次方程, 解完再换回去. 1. 解方程： 2. 解方程： 3. 解方程： 题型5 分类讨论与含参型 【说明】带绝对值或字母系数, 要按取值范围分情况, 别重也别漏. 1. 解方程： 2. 解关于 x： 题型6 创新型（阅读理解·规律探究） 【说明】用新情境、找规律的方式考因式分解法的灵活使用, 关键是把数学模型拎出来. 1. 解方程： 2. 解方程： 3. 探究： 十、参考答案与详细解析 这里给出教案里所有题目（分层训练、拓展提高）的完整解答, 备课时参考, 也可挑一部分发给学生自查. （二）分层训练（A / B / C 层） 【A层 第1题】x² − 2x = 0（2025·茂名一模） 原方程： 原方程： 分解： 解得： 【A层 第2题】x² − 6x + 8 = 0（2025·英德市一模） 原方程： 原方程： 分解： 解得： 【A层 第3题】x² − 1 = 0（2024秋·滨城区期中） 原方程： 原方程： 分解： 解得： 【B层 第4题】x² − 7x = −12（2025·齐齐哈尔） 原方程： 原方程： 分解： 解得： 解得： 【B层 第5题】(3x−1)(2x+4) = 0（2025·娄底娄星区期中） 原方程： 原方程： 解得： 【B层 第6题】4x(x−3) − (x−3) = 0（2025-2026 陕西期中） 原方程： 原方程： 分解： 解得： 【C层 第7题】x² − 5x + 6 = 0（2024·赤峰中考） 原方程： 原方程： 分解： 解得： 方程两根为 2, 3；等腰三角形→第三边取 2 或 3，周长 = 7 或 8. 【C层 第8题】x² − 17x + 60 = 0（2025春·合肥月考） 原方程： 原方程： 分解： 解得： x = 5 或 12；周长 = 8+7+5 = 20 或 8+7+12 = 27. （三）附加拓展提高（六大题型） 【题型1 第1题】2x(x−3) = x−3（2025·中考数学一轮复习） 原方程：2x(x−3)=x−3 整理 / 原方程： 分解： 解得： x = 3 或 x = 1/2 【题型1 第2题】(2x+1)(x−2) = 0（2026·江苏连云港·中考真题） 原方程：(2x+1)(x−2)=0 整理 / 原方程： 解得： x = −1/2 或 x = 2 【题型1 第3题】3x(x+2) = 2(x+2)（2026·四川泸州·中考真题） 原方程：3x(x+2)=2(x+2) 整理 / 原方程： 分解： 解得： x = −2 或 x = 2/3 【题型1 第4题】5x² − 4x = 0（2026·云南·中考真题） 原方程：5x²−4x=0 整理 / 原方程： 解得： x = 0 或 x = 4/5 【题型2 第1题】x(x−1) = 3(x−1)（2024秋·鲤城区校级期末） 原方程：x(x−1)=3(x−1) 整理 / 原方程： 错解：两边同除以 (x−1) 得 x = 3，漏掉 x = 1； 分解： 解得： x = 1 或 x = −3 【题型2 第2题】甲错乙对（2024春·萧山区期中） 原方程：x(x−1)=3(x−1) 整理 / 原方程： 甲：两边同除以 (x−1) 得 x = 3（漏根）； 分解： 解得： x = 1 或 x = −3 【题型2 第3题】x(x−2) = x − 2（2025·陕西期中） 原方程：x(x−2)=x−2 整理 / 原方程： 分解： 解得： 【题型3 第1题】直角三角形斜边长（2026·四川泸州·中考真题） 原方程：x²−14x+48=0 整理 / 原方程： 分解： 解得： x = 6 或 x = 8，两直角边长为 6 和 8；由勾股定理斜边长 = √(6²+8²) = 10. 【题型3 第2题】等腰△周长（2025·盐城一模） 原方程：x²−7x+10=0 整理 / 原方程： 分解： 解得： x = 2 或 x = 5；周长 = 9 或 12 【题型3 第3题】直角三角形边长（2025·泰州期中） 原方程：½·x·(x+7)=30，整理得 x²+7x−60=0 整理 / 原方程： 分解： 解得： x = 5 或 x = −12；几何中边长为正，取 x = 5，较长直角边 = x+7 = 12；由勾股定理斜边 = √(5²+12²) = 13. 【题型4 第1题】(x + 1/x)² − 3(x + 1/x) + 2 = 0 原方程： 设 y = x + ,方程化为： 分解： ∴ y = 1 或 y = 2 当 y = 1 时, x + = 1 → x² − x + 1 = 0, Δ < 0, 无实根； 当 y = 2 时, x + = 2 → x² − 2x + 1 = 0 → (x − 1)² = 0, 解得： 【题型4 第2题】(x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 8 = 0 原方程： 设 y = x² − 3x, 方程化为： 分解： ∴ y = 4 或 y = −2 当 y = 4 时, x² − 3x − 4 = 0, 分解得： ∴ x = 4 或 x = −1 当 y = −2 时, x² − 3x + 2 = 0, 分解得： ∴ x = 1 或 x = 2 综上, 原方程的解为： 【题型4 第3题】(x² − x)² − 8(x² − x) + 12 = 0 原方程： 设 y = x² − x, 方程化为： 分解： ∴ y = 2 或 y = 6 当 y = 2 时, x² − x − 2 = 0, 分解得： ∴ x = 2 或 x = −1 当 y = 6 时, x² − x − 6 = 0, 分解得： ∴ x = 3 或 x = −2 综上, 原方程的解为： 【题型5 第1题】x² − |x| − 2 = 0 原方程： 分类讨论： 当 x ≥ 0 时, |x| = x, 方程化为： 分解得 (x − 2)(x + 1) = 0, 结合 x ≥ 0 得 x = 2； 当 x < 0 时, |x| = −x, 方程化为： 分解得 (x + 2)(x − 1) = 0, 结合 x < 0 得 x = −2； 综上, 原方程的解为： 【题型5 第2题】解关于 x 的方程 ax² − (a + 1)x + 1 = 0 (a 为实数) 原方程： 十字相乘分解： 分类讨论：当 a ≠ 0 时, 由 (ax − 1)(x − 1) = 0 得： 当 a = 0 时, 原方程化为 −x + 1 = 0, 解得 x = 1. 【题型6 第1题】x(x + 1) = 0 原方程： 由“积为0”直接得 x = 0 或 x + 1 = 0, 解得： 【题型6 第2题】x(x − 2) = 3x 原方程： 移项整理： 提取公因式： ∴ x = 0 或 x − 5 = 0, 解得： 【题型6 第3题】an = 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2, 若 an = 105, 求 n 由题意： 即： 整理： 分解： ∴ n = −15 或 n = 14；n 为正整数, 舍去负值, 得： 学科网（北京）股份有限公司 $