2.1《一元二次方程》教学设计 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念及一般形式，通过长方形花坛面积、流感传播等实际情境导入，衔接学生已有的一元一次方程、分式方程建模经验，为后续解法学习搭建支架。 这份资料以核心素养为导向，通过实际问题抽象方程模型培养数学抽象与建模能力，典例中含参方程讨论强化数学运算，教学评一体化设计结合分层练习（A/B/C层）及小灶课，助力学生夯实基础提升思维，也为教师提供高效教学方案。

2.1 一元二次方程（概念课·第1课时） 初 中 数 学 · 教 学 设 计 一元二次方程 （概念课 · 第1课时） 苏科版 2024 · 九年级数学上册 · 第2章《一元二次方程》 —————————————————————— 教材版本：苏科版 2024 九年级数学上册 课时安排：1 课时（40 分钟） 课　　型：新授课（概念课） 授课教师：〔请填写〕 执教学校：〔请填写〕 设计日期：〔请填写〕 —————————————————————— 基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》素养导向设计 一、教学内容分析 一元二次方程是初中代数的核心内容.本节为 2.1 概念课，承上（一元一次方程、分式方程的建模经验）启下（2.2 解法、2.3 根与系数关系、2.4 应用）.本节聚焦「概念与一般形式」，引导学生从实际情境抽象出方程模型，为后续解法奠基. 二、学情分析 ▶ 已学基础 已学一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次的分式方程，积累「方程刻画现实」的建模经验；整式运算（含二次）熟练. ▶ 认知障碍 ① 从「一次」到「二次」的跃迁中，对「最高次数为 2」理解易表面化； ② 忽略隐含条件 （二次项系数为 0 时退化一次方程）； ③ 把实际问题抽象为方程模型时，寻找等量关系有困难. ▶ 未学内容 一元二次方程的解法（2.2）、根与系数关系（2.3）、应用（2.4）均在本节之后，本节不提前使用. 三、教学目标（核心素养导向） 数学抽象：从面积、传播等实际情境抽象出一元二次方程，概括「等号两边整式、只含一个未知数、未知数最高次数是 2」三要素，形成概念. 数学建模：经历「实际问题→方程模型」的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型. 数学运算：会把一元二次方程化为一般形式 （），准确说出二次项、一次项、常数项及其系数；理解 的必要性. 目标—活动—评价一致性（教学评一体化） 核心素养目标 可观测行为表现（学生能…） 评价任务 / 对应活动 数学抽象 能从实际情境识别一元二次方程，口述「整式·一元·最高次为2」三要素并举例. 情境导入后完成「判一判」3 题，口述判别理由（课堂观察 + 追问）. 数学建模 能将面积、握手等实际问题抽象为 并列关系式. 矩形花园、传播问题列方程为形成性评价点（板演 + 互评）. 数学运算 能化为一般形式并准确指出 ；理解并保持 . 典例2 + 巩固练习作为笔头形成性评价（抽样批改）. 四、教学重难点 ▶ 教学重点 一元二次方程的概念及其一般形式 （）；能把方程化为一般形式并指出各项系数. ▶ 教学难点 ① 准确识别「整式、一元、最高次为 2」三要素； ② 含参方程化为一般形式时，对二次项系数不为 0 的讨论（易漏检验）. 五、教学方法与教具 教法：情境—探究—建构；启发式提问 + 讲练结合.教具：多媒体课件、黑板（模拟板书）. 六、教学过程（40 分钟） （一）情境导入，引出概念（约5分钟） 问题1（面积）：长方形花坛长比宽多 2m，面积为 15 .设宽为 m，则长为 m，列方程 ，展开得 . 问题2（传播）：流感初期 1 人患病，每轮每人传染 人，两轮后共有 121 人患病，列方程 ，即 . （实景：长方形花坛/花园——面积问题情境） ▶ 设计意图 从学生熟悉的面积、传播问题出发，让方程「自然长出来」，避免直接抛定义；同时给出两个将要研究的「新方程」样本. （二）探究新知，形成概念（约10分钟） 观察上面两个方程： 与 ，它们有什么共同特征？引导学生归纳：等号两边都是整式、只含一个未知数、未知数最高次数是 2. ▶ 教学重点 定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程. 一般形式：（），其中 为常数； 叫二次项、 是二次项系数， 叫一次项、 是一次项系数， 是常数项. 追问：为什么一般形式中必须写 ？若 ，则最高次退化为一次，方程变成一元一次方程，不再是「二次」. （三）典例精讲（约12分钟） 例1 概念辨析——判断下列方程是否为一元二次方程 【例题】判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由：(1) ；(2) ；(3) ；(4) . ▶ 审题 逐题检查是否同时满足三要素：①等式两边是整式；②只含一个未知数；③未知数最高次数是2. ▶ 思路启发 先判是否为等式且整式（分母不含未知数、根号下不含未知数）；再数未知数个数；最后看最高次数. ▶ 难点突破 易错点是把分式方程、二元方程误判为一元二次；必须先化为最简整式，再看次数与元数. 规范解答：逐题判断并说明：同时满足三要素才是一元二次方程. ▶ 回顾反思 判别的「三步法」：整式 → 一元 → 最高次2；顺序不可乱. 变式训练 变式1　把(2)改为 ，它还是一元二次方程吗？请说明理由. 【分析】与母题(2)对照：母题(2)是 （一次分式），变式多了一项 ，但仍有 分式项，仍非整式. 【解答】解：方程含 （分母有未知数），不是整式方程， 故 不是一元二次方程. 变式2　方程 ，当 为何值时它是一元二次方程？ 【分析】仍是「二次项系数≠0」这一充要条件，令 即可. 【解答】解：一元二次方程要求二次项系数不为0， 即 ，故 . 例2 化为一般形式并指出各项系数 【例题】把方程 化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项. ▶ 审题 一般形式要求等号右边为0，各项按未知数降幂排列. ▶ 思路启发 先去括号、再移项、最后合并同类项；注意符号，尤其负号. ▶ 难点突破 移项要变号；合并后确认二次项系数（含负号不要漏写）；系数是带符号的数. 规范解答：原式每一步 单独成行，末行点明系数. ▶ 回顾反思 是「二次项系数」不是「 前的数」的误读； 可为0但 不能为0. 变式训练 变式1　把方程 化为一般形式，并指出各项系数. 【分析】先展开左边、移项合并；注意 的符号. 【解答】解：左边展开 ， 原方程化为 ， 移项得 ；二次项1、一次项-2、常数项-6. 变式2　方程 ，直接写出它的一般形式与各项系数. 【分析】移项使右边为0即可. 【解答】解：移项得 ；二次项2、一次项-4、常数项1. 例3 含参数讨论（难点突破：a≠0 且次数=2） 【例题】关于 的方程 是一元二次方程，求 的值. ▶ 审题 含字母系数的方程，先保证它「是一元二次方程」，再确定系数. ▶ 思路启发 一元二次的充要条件：二次项系数不为0，且未知数最高次数等于2；两个条件必须同时成立. ▶ 难点突破 当次数表达式含参数（如 ）时，令次数等于2求 ，再代回检验二次项系数不为0；两步缺一不可. 规范解答：由次数条件得 ，再代回排除使二次项系数为0的值. ▶ 回顾反思 常漏掉「系数不为0」的检验；求出 后务必代回验证. 变式训练 变式1　若关于 的方程 是一元二次方程，求 . 【分析】次数 且系数 ，两步判断. 【解答】解：由 得 ；但 使二次项系数为0， 矛盾，故不存在这样的 . （四）巩固练习（约8分钟） A层·基础巩固 1. 判断：(1) ；(2) ；(3) ，哪些是一元二次方程？ 【解答】解：(1)是；(2)含两个未知数，不是；(3)含分式项 ，不是. 2. 把 化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项. 【解答】解：移项得 ；系数：二次项5、一次项-3、常数项-2. B层·能力提升 3. 关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是____. 【解答】解：二次项系数 ，故 . 4. 把方程 化为一般形式. 【解答】解：展开 ，移项得 . C层·拓展挑战 5. 已知方程 是一元二次方程，求 的取值范围. 【解答】解： 即 . （五）课堂小结与作业布置（约3分钟） ① 三要素：整式、一元、最高次为2；② 一般形式 （）及各项名称与系数；③ 含参讨论两步：先令最高次=2，再验二次项系数不为0.作业见第九部分. 七、板书设计（模拟黑板） 主板书（课题·知识主干） 副板书（易错·生成） 2.1 一元二次方程 易错1：分式方程≠整式方程 定义：整式、一元、最高次=2 易错2：必须 （否则退化一次） 一般形式：（） 易错3：先化简再判次数 二次项 · 一次项 · 常数项 生成：由 得 系数：二次项 · 一次项 · 常数项 知识脉络（结构图） 一元二次方程 ├─ 概念：等号两边都是整式，只含一个未知数，最高次为 2 ├─ 一般形式：（） │ ├─ 二次项 · 一次项 · 常数项 │ └─ 系数：二次项 · 一次项 · 常数项 └─ 根（解）：使方程成立的未知数的值（代入检验） 八、小灶课（素养提升） 题型一 由方程的根反求参数 【核心素养：数学运算·逻辑推理】 【例题】已知 是方程 的一个根，求 的值. 【分析】把 代入方程，原方程变为关于 的一次方程，解出 后回代验证二次项系数不为0. 【解答】解：把 代入，得 ， 即 ， 合并得 ，故 . 回代：二次项系数 ，成立. 【例题变式】已知 是方程 的根，求 . 【分析】同理代入 即可得到关于 的方程. 【解答】解：代入 ，即 ， 得 . 【巩固练习】已知 是方程 的根，且它是一元二次方程，求 . 【解答】解：代入 得 ；二次项系数 ，成立. 题型二 含参方程分类讨论 【核心素养：数学抽象·逻辑推理】 【例题】关于 的方程 ，当 为何值时：(1)是一元二次方程；(2)是一元一次方程？ 【分析】按「次数」与「系数」分类：二次需 且 ；一次需 且一次项系数 . 【解答】解：(1) 且 ⇒ 舍去、 可取，故 ； (2) ⇒ ，此时一次项系数 ，是一元一次. 【例题变式】关于 的方程 ，讨论它可能是几次方程. 【分析】令指数 取不同值，看最高次项. 【解答】解：若 则二次；若 则一次（）；若 退化为 一次. 【巩固练习】已知关于 的方程 是一元一次方程，求 及该方程的解. 【解答】解：一元一次 ⇒ 二次项系数为0且一次项系数≠0： 且 ⇒ ； 代入得 ，解得 . 题型三 与实际情境结合建模 （实景：集市/商店——利润问题建模） 【核心素养：数学建模·数学抽象】 【例题】某商品原每件盈利 10 元，每天可卖 20 件.若每件涨价 元，则每天少卖 件.若要使每天总盈利达到 216 元，列出关于 的方程，并判断它是否为一元二次方程. 【分析】总盈利 =（原盈利+涨价）×（原销量−少卖量），列方程后再按三要素判别. 【解答】解：单件盈利 元，销量 件， 总盈利 ，展开得 ，即 ； 它是整式、一元、最高次2，故是一元二次方程. 【例题变式】若原每件盈利 8 元、每天卖 30 件，每涨价 元少卖 件，目标盈利 250 元，列方程. 【分析】同模型：总盈利 =（原盈利+涨价）×（原销量−少卖量）. 【解答】解：，展开得 ，即 ，是一元二次方程. 【巩固练习】求例题中 的正整数解（即每件应涨价多少元）. 【解答】解：由 得 ，故 或 ； 均为正整数，即每件涨价 2 元或 8 元均可达成目标. 题型四 新定义型·零常数项一元二次方程 【核心素养：数学抽象·数学运算】 【例题】新定义：能化为 且常数项 的方程，称为「零常数项一元二次方程」.判断下列方程是否为零常数项一元二次方程，并说明理由：(1) ；(2) ；(3) . 【分析】先化为一般形式 ，确认 且常数项 . 【解答】解：(1) ：，，是零常数项一元二次方程； (2) 移项得 ：，，是； (3) 展开得 ，即 ： 但 ，不是. 【例题变式】已知关于 的方程 是零常数项一元二次方程，求 的取值范围. 【分析】零常数项要求化为一般式后 （本式已满足），且二次项系数 . 【解答】解：由 得 ；此时方程为 ，常数项为 0、二次项系数非零，符合. 【巩固练习】若关于 的方程 是零常数项一元二次方程，求 的值. 【解答】解：一元二次需 且 ⇒ ； 时 使二次项系数为 0，舍去；故 . 此时方程为 ，常数项为 0，符合. 九、作业布置（分层 + 解答） A层·基础达标 1. 判断 、 是否是一元二次方程. 2. 把 化为一般形式并指出系数. B层·能力提升 3. 关于 的方程 是一元二次方程，求 的范围. 4. 把 化为一般形式. C层·拓展挑战 5. 已知 是方程 的根，求 . 参考解答 A层·基础达标 【解答】解： 是； 展开为 ，是. 【解答】解：移项得 ；二次项3、一次项-5、常数项2. B层·能力提升 【解答】解：，故 . 【解答】解：展开 ，移项得 . C层·拓展挑战 【解答】解：代入 ，得 ，故 . 十、教学反思（要点） ▶ 课后反思方向 ① 目标达成：核心素养目标是否落地？学生能否独立判别一元二次方程？ ② 学生学情：哪些环节理解吃力？含参 讨论的难点在何处？ ③ 环节实效：时间分配是否合理？情境导入与典例精讲是否达成预期？ ④ 改进设想：下一课时如何衔接？素材与问题链是否需要调整？ （课堂实况与改进设想，请记录于下方留白处：） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $