2.1 一元二次方程 暑期讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级上册数学暑期讲义｜2.1 一元二次方程 2.1 一元二次方程 苏科版数学九年级上册暑期讲义 适用教材： 苏科版数学九年级上册 讲义用途： 暑期预习、课堂讲授、分层训练与课后巩固 学生信息： 姓名：____________________　班级：____________________　日期：____________________ 一、学习目标 1. 理解一元二次方程的概念，能够从“一元、整式、二次”三个方面进行判断。 1. 掌握一元二次方程的一般形式 ，会指出二次项、一次项、常数项及其系数。 1. 理解方程的根的含义，会用代入法检验给定数是否为方程的根。 1. 能根据简单实际问题中的等量关系列出一元二次方程，但本课不要求求解。 二、重难点一览 三、教材知识点盘点（先填空，再核对） 1. 只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的________方程，叫作一元二次方程。 1. 一元二次方程的一般形式是____________________________，其中________。 1. 在一般形式中， 叫作________项， 叫作________项系数。 1. 叫作________项， 叫作________项系数。 1. 叫作________项。 1. 使一元二次方程左右两边________的未知数的值，叫作方程的根。 1. 判断一个数是否为方程的根，常用的方法是把这个数________方程。 1. 将方程整理为一般形式时，通常要依次进行去括号、________、合并同类项。 1. 方程 是一元二次方程的条件是________________。 1. 列方程解决实际问题时，应先设未知数，再找出题目中的________________。 四、概念图示 一元二次方程识别与建模路径 五、典型例题 例1　判断是否为一元二次方程 判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由： （1）；（2）；（3）；（4）。 解析：（1）是一元二次方程；（2）未知数最高次数为3；（3）含两个未知数；（4）含未知数的分式，不是整式方程。 例2　整理为一般形式 将 整理为一般形式，并指出各项系数。 解析： 所以 ，，。 例3　含参数方程的判断 当 取何值时，方程 是一元二次方程？ 解析： 二次项系数必须不为0，因此 ，即 。 例4　检验方程的根 判断 是否为方程 的根。 解析： 把 代入左边，得 ，等于右边，所以 是该方程的根。 例5　根据根确定参数 已知 是方程 的一个根，求 。 解析： 代入 ，得 ，所以 。 例6　列一元二次方程 一个长方形的长比宽多3 cm，面积为40 cm²。设宽为 cm，列出方程。 解析： 长为 cm，根据“长×宽=面积”，得 ，整理为 。本课只要求列方程。 六、随堂练习 1. 判断 是否为一元二次方程。 1. 判断 是否为一元二次方程。 1. 判断 是否为一元二次方程。 1. 将 整理为一般形式。 1. 将 整理为一般形式。 1. 方程 中，、、 分别是多少？ 1. 方程 中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是多少？ 1. 判断 是否为方程 的根。 1. 判断 是否为方程 的根。 1. 已知 是方程 的根，求 。 1. 当 取何值时， 是一元二次方程？ 1. 正方形面积为 ，设边长为 ，列出关于 的方程。 七、分知识点训练 知识点A　一元二次方程的识别 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的有：，，，。 1. 判断 是否为一元二次方程。提示：先化简。 1. 判断 是否为一元二次方程。提示：先化简。 1. 当 取何值时， 是一元二次方程？ 1. 当 取何值时， 是关于 的一元二次方程？ 1. 写出一个二次项系数为 、一次项系数为0、常数项为5的一元二次方程。 知识点B　一般形式与系数 1. 将 整理为一般形式，并指出 、、。 1. 将 整理为一般形式。 1. 将 整理为一般形式。 1. 对方程 ，指出二次项、一次项、常数项。 1. 若方程 的一次项系数为 ，常数项为3，求 、。 1. 写出一个根为0的一元二次方程，并说明为什么0是它的根。 知识点C　根的检验与实际建模 1. 判断 、 是否为方程 的根。 1. 已知 是方程 的根，求 。 1. 已知 是方程 的根，求 。 1. 两个连续正整数的积为72，设较小的整数为 ，列方程。 1. 一块长方形场地的长为 m，宽为 m，面积为84 m²，列方程并整理为一般形式。 1. 一种商品原价为 元，连续两次降价10%后价格为81元，列出关于 的方程。只列式，不求解。 八、解答题 1. 已知方程 。 （1）当它是一元二次方程时， 应满足什么条件？ （2）当 是它的根时，求 。 1. 把方程 化为一般形式，并写出二次项、一次项、常数项及各项系数。 1. 某校计划修建一个长方形花圃，长比宽多4 m，面积为96 m²。设宽为 m，列出一元二次方程并整理为一般形式。 1. 一个直角三角形的两条直角边分别为 cm 和 cm，面积为24 cm²。列出关于 的一元二次方程。 1. 已知 是方程 的根，求 ，并判断该方程是否一定是一元二次方程。 1. 自编一道能够列出一元二次方程的实际问题，写出设元、等量关系和方程，不要求求解。 九、知识思维导图 2.1知识思维导图 十、参考答案与解析 教材知识点盘点答案 1. 一，2，整式。2. ，。3. 二次，二次。4. 一次，一次。5. 常数。6. 相等。7. 代入。8. 移项。9. 。10. 等量关系。 随堂练习答案 1. 是。可整理为 。 1. 不是，未知数最高次数为1。 1. 不是，含两个未知数。 1. 。 1. 。 1. ，，。 1. ，，。 1. 是，代入后左边等于0。 1. 是，代入后左边等于0。 1. 代入得 ，所以 。 1. 。 1. ，或整理为 。 分知识点训练答案 1. 和 。 1. 化简得 ，不是一元二次方程。 1. 化简得 ，不是一元二次方程。 1. ，所以 且 。 1. 必须有 且 ，所以 。 1. 示例：。 1. ，，，。 1. 。 1. 。 1. 整理为 ；二次项为 ，一次项为 ，常数项为7。 1. ，。 1. 示例：；代入 后等式成立。 1. 两个数都是根。 1. 代入得 ，所以 。 1. 代入得 ，所以 。 1. ，即 。 1. ，即 。 1. 。 解答题解析 1. （1），所以 。（2）代入 ，得 ，所以 ，。 1. 展开并整理得 。二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ；，，。 1. 长为 m，方程为 ，整理得 。 1. 根据三角形面积公式，，整理得 。 1. 代入 ，得 ，即 ，矛盾。因此不存在这样的 ，题设条件无法成立。 1. 开放题。评分要点：设元明确、等量关系合理、所得方程是一元二次方程。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $