第14章 全等三角形【章节复习】压轴题专题练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦几何动态问题，通过点位置变化（延长线/线段上）构建递进式题型，强化全等证明与辅助线构造的推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形动态关系|3大题（含9小题）|递进式设问（证明-数量关系-求值），点位置多情境（延长线/线段上/延长线延长线）|以三角形性质为基础，通过辅助线（垂线/等长线段）构造全等，体现从静态到动态的图形关系演变，发展几何直观与推理意识|

1. 钝角三角形中，，， ，过点的直线交于点．点在直线上，且． （ 1 ）若，点在延长线上． 当，点恰好为中点时，补全图，直接写出， ．1 图 如图，若，求的度数．（用含的代数式表示）图 2 （ 2 ）如图，若，的度数与（ ）中的②的结论相同，直接写出，，满足的数量关系． 图 2. 在中，是的角平分线． （ 1 ）如图，过作交延长线于点，若为的中点，连接．求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 （ 2 ）如图， 为的中点，过 作 交于点，若，，求的长． 图 3. 已知：在中，，平分交于点，点在线段上（点不与点 ，重合），且． （ 1 ）如图，若，且，则 ， ．1 （ 2 ）如图． 求证：； 若，且，求的度数．2 $ 1. 已知：中， ，． （ 1 ）如图，点在的延长线上，连，过作于，交于点，求证： ．图 （ 2 ）如图，点在线段上，连，过作且，连交于，连 ，问与有何数量关系，并加以证明． 图 （ 3 ）如图 ，点 在 延长线上， 且 ，连接 ， 的延长线交 于点 ．若 ，请直接写出 的值． 图 2. 点，分别是两边，所在直线上的点，，， ． （ 1 ）如图，当点，分别在，延长线上时，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ）如图，当点，分别在，边上时，，存在怎样的数量关系？请写出结论，并加以证明． 3. 已知，点是直角三角形斜边上一动点（不与 、重合），分别过、向直线作垂线，垂足分别为、，为斜边的中点． （ 1 ）如图，当点与点重合时，与的关系是 ． （ 2 ）如图，当点在线段上不与重合时，试判断与的数量关系，并证明． （ 3 ）如图，当点在线段和线段的延长线上时，此时⑵中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． $ 1. 已知：中， ，． （ 1 ）如图，点在的延长线上，连，过作于，交于点，求证： ．图 （ 2 ）如图，点在线段上，连，过作且，连交于，连 ，问与有何数量关系，并加以证明． 图 （ 3 ）如图 ，点 在 延长线上， 且 ，连接 ， 的延长线交 于点 ．若 ，请直接写出 的值． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ，证明见解析． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ ∴ 又∵ ， ， ， ， ， ≌ ， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． （ 2 ）过 作 于 ，证 ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， 再证 ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （ 3 ）过 作 ， ∵ ， ， ∴易证 ≌ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ∴ ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】ASA 【知识点】AAS 【能力】推理论证能力 2. 点，分别是两边，所在直线上的点，，， ． （ 1 ）如图，当点，分别在，延长线上时，求证：． （ 2 ）如图，当点，分别在，边上时，，存在怎样的数量关系？请写出结论，并加以证明． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ．证明见解析． （ 1 ）方法一：在 延长线上取一点 使 ． ∵ ∴ ∵ ∴又 ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ． ． ， ≌ ∴ ． 又∵ ∴ ． 方法二：过 点作 交 于 点， ∴≌ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）方法一：在 延长线上截取 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， 易证 ≌ ， ∴ ， ， ． ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又 ， ∵ ， ， ∴ ， ，≌， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 3. 已知，点是直角三角形斜边上一动点（不与 、重合），分别过、向直线作垂线，垂足分别为、，为斜边的中点．∴ ． 方法二：在 上截 ，则 ， 【知识点】全等三角形的对应边与角 （ 1 ）如图，当点与点重合时，与的关系是 ． （ 2 ）如图，当点在线段上不与重合时，试判断与的数量关系，并证明． （ 3 ）如图，当点在线段和线段的延长线上时，此时⑵中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． （ 1 ） ，且 （ 2 ） ． （ 3 ）仍然成立． （ 1 ）∵ 为 中点 ∴ ∵ ， ∴ ∴ ， 在 和 中 ∴ ≌ （ ） ∴ ． ∴ ，且 ． （ 2 ）如图，延长 交 于D ∵ 为 中点 ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ≌ （ ） ∴ ∴在 中， 为 的中点 ∴ ，即 ． （ 3 ）①如图，若点 在 延长线上延长 、 交于D ∵ 为 中点 ∴ ∵ ， ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ≌ （ ） ∴ 在 中， 为 的中点 ∴ ，即 ． ②如图，若点 在 延长线上 由①同理可得 在 ∴ 中， ≌ 为 ∴ 的中点 ，即 ． 【知识点】ASA $ 1. 钝角三角形中，，， ，过点的直线交于点．点在直线上，且． （ 1 ）若，点在延长线上． 当，点恰好为中点时，补全图，直接写出， ．1 图 如图，若，求的度数．（用含的代数式表示）图 2 （ 2 ）如图，若，的度数与（ ）中的②的结论相同，直接写出，，满足的数量关系． 图 （ 1 ）1 ; 2 ． （ 2 ） （ 1 ）1 ∵ 或 ，是 ． 中点， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 中点， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ． 2 方法一：延长 到 ，使得 ，连接 ． ∵ ， ∴ . ∴ . ∵ ， ∴ ． ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ . ∴ ， . ∵ ， ∴ . ∴ ． 方法二：延长 至 ，使得 ，连接 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ 在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． （ 2 ）情况一：点 在射线 上，延长 ，并截取 ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ． 情况二：点 在 的延长线上， 过点 作 于点 ， 的延长线于点 ， 在 和 中， , ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ． 在 和 中， , ∴在 ≌ （ ）， ∴ ， ∴ ． 在 和 , 中， ∴在 ∴ ∵ ≌ ， （ ， ）， ， ∴ ． 2. 在中，是的角平分线．【知识点】多解或多种判定混合 （ 1 ）如图，过作交延长线于点，若为的中点，连接．求证：． 图 （ 2 ）如图， 为的中点，过 作 交于点，若，，求的长． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ） ∵ 为 的角平分线， ∴ ． ∵ ， ∴ ，． ∴ ． ∴ ． ∵ 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ∴ ． （ 2 ）延长 与 延长线于点 ，过 作 交 延长线于点 ， ∴ ， ． ∵ 为 的中点 ∴ ． 在 和 中， ． ∴ ≌ （ ）， ∴ ． ∵ ， ∴ ∴ ∴设 ， ． ． ， ，则 ． ， ， ． ∴ 解得 ∴ ． ． ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 3. 已知：在中，，平分交于点，点在线段上（点不与点 ，重合），且． （ 1 ）如图，若，且，则 ， ． （ 2 ）如图． 求证：； 若，且，求的度数．1 2 （ 1 ） ; （ 2 ）1 证明见解析． 2 ． （ 1 ）∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． （ 2 ）1 如图 ，在 上取一点 ，使得 ， 图 ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 2 如图 ，在 上取一点 ，使 ，连接 ． 图 ∵ ， ∴ ， 由①知， 是等边三角形， ∴ 在 和 ． 中， ， ∴ ∴ ∵ ≌ ， ， ． ， ∴ ∴ ， ． ， 【知识点】全等三角形的对应边与角 $