2.5.1 直线和圆的位置关系（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 题型一：圆的中点弦问题 1．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，由垂径定理得到，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程. 【详解】由题意知直线的斜率存在，且 ∴， ∵，∴， 直线的方程为，即， 故选：C. 2．若点为圆：的弦的中点，则弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据，求直线方程. 【详解】由题意可知，，且，，所以， 所以弦所在直线的方程为，整理为. 故答案为： 3．已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理可求弦长. 【详解】设圆心为，则，圆的半径为，则， 设的中点为，则， 而，故， 故答案为：. 4．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据求解. 【详解】由于直线恒过定点，圆的圆心， 设，则，故， 即，化简可得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 由于在圆外，, 故，即， 则的最大值是. 故答案为：. 5．已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】由题意，圆心，半径为3，且和，再由，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径为3，如图， 为弦的中点，， 共线时等号成立， . 故选:D. 题型二：圆的切点弦的方程问题 1．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的圆心，求出以为直径的圆的方程为，把圆与圆相减，得直线AB的方程． 【详解】设坐标原点为，以为直径的圆的方程为，即， 把圆与圆相减，得：， 直线经过两圆的交点，即切点. 所以直线即为圆与圆的公共弦所在的直线， AB方程为:. 故选：B. 2．过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】已知圆的圆心，点在以为直径的圆上，两圆相减就是直线的方程. 【详解】，圆心， 点在以为直径的圆上，，所以圆心是 ， 以为直径的圆的圆的方程是， 直线是两圆相交的公共弦所在直线，所以两圆相减就是直线的方程， ， 所以直线的一般式方程为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：过圆外一点引圆的切线，那么以圆心和圆外一点连线段为直径的圆与已知圆相减，就是切点所在直线方程，或是两圆相交，两圆相减，就是公共弦所在直线方程. 3．已知圆，过圆外一点作圆的两条切线（切点为），则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出以为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦的方程 【详解】解：的圆心为，半径为， 则以为直径的圆的方程为， 将两圆的方程相减可得公共弦的方程为， 化简得， 故答案为： 4．过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【详解】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 5．过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程. 【详解】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 题型三：圆内接三角形面积问题 1．直线与圆交于、两点，则的面积是 ． 【答案】 【解析】先求出圆心到直线的距离，再利用圆心距、弦、半径的关系求出弦的长，然后利用三角形的面积公式可求得结果 【详解】圆，到直线的距离， ∴， ∴ 故答案为： 2．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12 【分析】（1）求出半径，从而可得圆的标准方程； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积． 【详解】解：（1）圆C的半径为 ， 从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，    在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC的面积． 3．在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点.当的面积最大时，实数的值为 ． 【答案】或 【分析】求出圆心与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而求出弦长，从而可得，配方当，取得最值，即求. 【详解】由， 则圆心，， 点到直线的距离， 由弦长公式， ， 设，则， 当时，， 此时，即， ，解得或. 故答案为：或 4．已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 . 【答案】/ 【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】，则圆C的圆心为，半径为， 圆心C到直线l（弦AB）的距离为， 则， 则到弦AB的距离的最大值为， 则面积的最大值是. 故答案为： 5．已知直线：与圆心，半径为5的圆相交于点，，若点为圆上一个动点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算出圆心到直线的距离和弦长，根据圆上的点到直线的距离的最大值为（为圆的半径）即可求解. 【详解】圆心到直线的距离 所以弦长 故的面积的最大值为 故选：D 题型一：直线与圆的位置关系实际应用问题 1．如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 2．台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（    ） A．1h B． C．2h D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：C. 3．某公园有一圆柱形景观建筑物，底面直径为米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与直道平行的两段轴道，观景直道与辅道距离6米．在建筑物底面中心的东北方向米的点A处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决下列问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？ (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度． 【答案】(1)不在监控范围内 (2)24米 【分析】（1）将问题转化为判断直线与圆的位置关系即可； （2）根据直线与圆相切或相离时在监控范围内，利用直线与圆相切时的等量关系求解. 【详解】（1）设为原点，正东方向为轴，建立如图所示坐标系， 因为，则 依题意得，游客所在位置为, 则直线的方程为：化简得， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，所以游客不在该摄像头的监控范围内. （2）观景直道所在直线方程为， 由图易知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住， 所以设直线过点且和圆相切， 若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切； 若直线不垂直于轴，设， 整理得， 所以圆心到直线的距离为解得或， 所以或， 即或， 设两条直线与的交点为 由解得， 由解得， 所以, 所以观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为24米. 4．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 5．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 【答案】(1)半径为；(2)3.5米 【分析】（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设圆的方程为，通过，在圆上，求出参数值，即可得到半径； （2）设限高为，作交圆弧于，则，将的横坐标代入圆的方程，求出，然后求出限高． 【详解】（1）由题，设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的直角坐标系， 因为，和为相对的两个车道，侧墙面米，弧顶高米， 则，，， 易知圆心在轴上，设圆的方程为， 又，在圆上，则， 解得：，， 所以，圆弧所在圆的半径为； （2）设限高为，作交圆弧于，则， 由（1）知，圆的方程为：， 将的横坐标代入圆的方程， 有，解得：或（舍， 所以， 即车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 题型二：圆上的点到直线距离为定值的个数问题 1．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 2．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. 3．已知圆上的点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可求解. 【详解】的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 故到直线的距离为的点共有4个， 故选：D 4．已知点P是圆上一点，若点P到直线的距离为1，则满足条件的点P的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离即可求解. 【详解】由题意可知圆心为,所以到的距离为，故与直线平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点即为满足条件的点P，此时有两个，又圆的半径为2，故当过圆心且与垂直的直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个. 故选:C 5．圆有4个点到直线的距离为，则实数a的范围为 【答案】 【分析】过圆心C作直线垂线，交直线为A，交圆C于B，因4个点到直线的距离为，则直线与圆相交且，据此可得答案. 【详解】如图，过圆心C作直线垂线，交直线为A，交圆C于B，因4个点到直线的距离为，则直线与圆相交，且. 又圆C半径为，圆心为，则. 即 . 故答案为： 题型三：最值问题 ① 过圆内定点直线截得弦长最值 1．已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先求得直线过定点，再根据当定点与圆心连线垂直于直线l时，被圆截得的弦长最短，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意，直线l：过定点， 圆心，半径， 因为， 所以点P在圆内， 当直线CP与弦垂直时，弦长最短， 且， 所以最短弦长为 故选：C 2．已知直线与圆交于A，两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出直线l经过的定点M，将圆的方程化为标准方程求出圆心和半径，当CM⊥l时，最小，根据垂径定理即可求得此时的. 【详解】由题得，所以直线经过定点， 圆的圆心为，半径为. 圆心到定点的距离为， 当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 3．直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求得直线所过定点坐标.然后根据圆的几何性质求得的最小值. 【详解】直线 可化为 令可得 ∴直线过定点且在圆内， 圆心坐标为，半径，， 当时最小，此时. 故答案为：. 4．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案. 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 5．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. 【答案】8 【分析】方法一：先求出直线过定点，再判断出点在圆内，从而得到直线被圆所截的弦长的取值范围是，再结合圆的对称性即可得到结果； 方法二：先求出圆心到直线的距离，再求出弦长，分析出要使弦长为整数须满足（为平方数），再通过换元令转化成关于的方程有解的问题，通过判别式大于0，求出的范围及的值即可得到结果. 【详解】方法一：直线可化为 ， 由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆内， 当点为直线被圆截得的弦的中点时，弦长最短， 点到圆心的距离， 所以直线被圆截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是. 由圆的对称性可知弦长为7，8，9的直线各两条， 弦长为6，10的直线各一条， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有8条. 方法二：方程法. 圆的圆心到直线的距离， 故弦长为， 要使弦长为整数，令（为平方数）， 整理得，令， 整理得（*）， ， 解得，即， 则，即， 当或100时，，方程（*）各有一解， 当时，，方程（*）各有两个不同的解， 即方程（*）共有8个不同的解，因此符合题意的直线有8条. 故答案为：8. ② 圆上动点到定直线距离最值 1．点在圆上，点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果. 【详解】由题意可知，圆心， 所以圆心到的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 2．圆上动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解. 【详解】∵圆，∴圆心，半径， ∴圆心到直线的距离， ∴圆上的点到 直线的距离最小值为， 故选：A. 3．已知点是直线上的动点，点为圆的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，的最小值为圆心到直线的距离减去半径的差即为所求 【详解】解：圆的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为， 所以的最小值为． 故选：B． 4．已知直线：，圆：. （1）讨论直线与圆的位置关系； （2）若是圆上任意一点，求点到直线距离的最小值. 【答案】（1）相离；（2）2. 【分析】（1）由圆的方程确定圆心坐标及其半径，根据圆心到直线距离与半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可； （2）根据圆与直线相离的位置关系，要使到直线距离的最小，有距离的最小值为，即可求距离最小值. 【详解】（1）由题意，圆的圆心为，半径为，而圆心到直线的距离， ∴，即直线与圆位置关系为相离. （2）由（1）知：要使圆上一点到直线距离的最小，则在圆心和直线l之间，且在到直线l的垂线段上， ∴点到直线距离的最小值为. 1．若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 2．（多选）已知直线和圆，则（    ） A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为4 【答案】BC 【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D. 【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得， 所以直线恒过定点，故A错误； 因为直线恒过定点，而，即在圆内， 所以直线l与圆O相交，故C正确； 对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确； 对于D，时，直线，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误. 故选：BC. 3．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【详解】（1）由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. （2）由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 4．（多选）已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（    ） A．直线过定点 B．当时，线段长的最小值为 C．半径的取值范围是 D．当时，有最小值为 【答案】ABD 【分析】化简直线为，进而可判定A正确；利用弦长公式，求得的最小值，可判定B正确；根据直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部，可判定C不正确；结合向量的数量积的公式，以及直线与圆的位置关系，可判定D正确. 【详解】由直线，可化为， 由方程组，解得，即直线过定点，所以A正确； 当时，圆的方程为，可得圆心， 则，可得线段长的最小值为，所以B正确； 因为直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部， 所以，解得，所以C不正确； 当时，圆的方程为， 则， 当直线过圆心，此时，可得的最小值， 所以有最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 5．已知圆的圆心在坐标原点，且过点． (1)求圆的方程； (2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． (3)已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出即为圆的半径，从而求出圆的方程； （2）求出直线的斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得； （3）求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线的距离的最大值. 【详解】（1）依题意圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）因为直线的斜率，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即； （3）圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 所以到直线的距离的最大值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 题型一：圆的中点弦问题 1．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．若点为圆：的弦的中点，则弦所在直线的方程为 . 3．已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则 ． 4．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的最大值是 . 5．已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 题型二：圆的切点弦的方程问题 1．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为 . 3．已知圆，过圆外一点作圆的两条切线（切点为），则直线的方程为 ． 4．过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 5．过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：圆内接三角形面积问题 1．直线与圆交于、两点，则的面积是 ． 2．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 3．在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点.当的面积最大时，实数的值为 ． 4．已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 . 5．已知直线：与圆心，半径为5的圆相交于点，，若点为圆上一个动点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型一：直线与圆的位置关系实际应用问题 1．如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 2．台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（    ） A．1h B． C．2h D． 3．某公园有一圆柱形景观建筑物，底面直径为米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与直道平行的两段轴道，观景直道与辅道距离6米．在建筑物底面中心的东北方向米的点A处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决下列问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？ (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度． 4．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 5．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 题型二：圆上的点到直线距离为定值的个数问题 1．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 2．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知圆上的点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知点P是圆上一点，若点P到直线的距离为1，则满足条件的点P的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：最值问题 ① 过圆内定点直线截得弦长最值 1．已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 2．已知直线与圆交于A，两点，则的最小值为 . 3．直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 4．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 5．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. ② 圆上动点到定直线距离最值 1．点在圆上，点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．圆上动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点是直线上的动点，点为圆的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 4．已知直线：，圆：. （1）讨论直线与圆的位置关系； （2）若是圆上任意一点，求点到直线距离的最小值. 1．若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 2．（多选）已知直线和圆，则（    ） A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为4 3．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 4．（多选）已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（    ） A．直线过定点 B．当时，线段长的最小值为 C．半径的取值范围是 D．当时，有最小值为 5．已知圆的圆心在坐标原点，且过点． (1)求圆的方程； (2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． (3)已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $