第06讲 代数式与整式概念 专项讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦代数式与整式概念核心知识点，从代数式的定义、书写规范及求值入手，系统衔接整式的单项式（含系数、次数）与多项式（含项、次数）概念，构建“代数式-整式-单项式/多项式”的完整知识支架。 资料以6大易错辨析规避认知误区，17个典例精讲覆盖用字母表示数、规律探究等题型，结合生活实例（如购物、行程问题）培养抽象能力与模型意识，助力教师课堂教学，学生课后可通过分层练习查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

第06讲 代数式与整式概念 （核心知识+6易错辨析+17典例精讲+课后作业） 【知识点01】代数式 1. 定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和字母连接而成的式子；单独一个数或单独一个字母也是代数式。 ✅ 示例：，，， ❌ 注意：等式、不等式不是代数式（含有、、、、），如 、 都不是代数式。 2. 代数式书写规范（必考） ① 数字写在字母前面：（不能写） ② 乘号省略或写成“”： 或，不写 ③ 带分数化为假分数：（不写） ④ 除法写成分数形式：（不写） ⑤ 和差形式代数式带单位，整体加括号：米 3. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 计算步骤：代入 → 计算；代入负数、分数时建议添加括号，避免计算失误。 【知识点02】整式相关概念 1. 单项式 定义：由数与字母的积组成的代数式；单独一个数、单独一个字母也是单项式。 ❌ 含有加减、分母含有字母的不是单项式。 例：、、 是单项式；、不是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包含符号！）。例： 的系数是 次数：单项式中所有字母的指数之和（数字不算次数）。例： 次数：，为三次单项式 ⚠️ 补充：常数单项式（不含字母，如）称为零次单项式；是特殊单项式，不讨论次数。 2. 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式。例：，可看成 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；包含前面符号；不含字母的项叫常数项。例： 的项为，常数项为 多项式次数：多项式里次数最高项的次数。例：，最高次项次数为3，该多项式为三次三项式 3. 整式 单项式和多项式统称整式 代数式分类关系： 代数式 整式判定口诀：分母不含字母的代数式是整式。 易错点1：混淆代数式、等式、不等式 ❌ 误区：认为所有含字母的式子都是代数式 ✅ 辨析：含有等符号的是等式或不等式，不属于代数式。如、不是代数式。 易错点2：单项式系数与的认知错误 ❌ 误区1：忽略系数符号，将系数误认为是，正确系数为 ❌ 误区2：把当作字母计算次数 ✅ 辨析：是常数（数字），不是字母。单项式系数为，次数为。 易错点3：单项式次数计算失误 ❌ 误区：只看单个字母指数、累加数字指数，如将次数算成2次 ✅ 正确算法：仅累加所有字母指数，，为三次单项式。 易错点4：多项式项与次数认知偏差 ❌ 误区1：书写多项式项时遗漏负号，如将的项写为 ✅ 辨析：多项式的项自带前方符号，正确项为 ❌ 误区2：将多项式所有项的次数相加作为多项式次数 ✅ 辨析：多项式次数为最高次项的次数，并非所有项次数之和。 易错点5：整式判定陷阱 ❌ 误区：混淆和 ✅ ，分母为常数，是整式（单项式）；分母含字母，是分式，不是整式。 易错点6：代数式代入求值漏加括号 ❌ 误区：字母取负数、分数时直接代入计算，如，求，错算为 ✅ 正确计算：，负数、分数代入必须加括号。 【题型一】用字母表示数 【例1】．（22-23七年级上·江苏苏州·期中）若b是有理数，则（　　） A．b一定是正数 B．b正数，负数，0均有可能 C．一定是负数 D．b一定是0 【变式1】．（2024七年级上·江苏盐城·期中）若x、y分别表示1﹣9中一个数字，小明想用x、y来组成一个两位数且把x放在y的右边，则这个两位数可以表示为_____． 【变式2】．用字母表示图中阴影部分的面积． 【变式3】．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 【题型二】列代数式 【例2】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中，能表示“x与y的和的平方增加”的结果的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某校组织了师生共人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿个山楂，小串冰糖葫芦每根穿个山楂，小鑫同学打算穿根大串和根小串冰糖葫芦，则需要的山楂总个数用代数式表示为______． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果．根据这些数据回答下列问题： (1)该机器人能识别多大范围内的苹果？ (2)该机器人识别范围内的苹果需要多少秒？ (3)若该机器人搭载了m个机械手，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 【题型三】代数式的概念 【例3】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．属于代数式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）在下列各式中：①；②；③；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中，是代数式的是 __________．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 【题型四】代数式书写方法 【例4】．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】．下列代数式中①，②，③，④，其中书写正确的是_____． 【题型五】代数式表示的实际意义 【例5】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）． ①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价 ②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数 ③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积 ④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数 A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）代数式的意义是（   ） A．与3的积的2倍 B．的2倍与3的和 C．与3的和的2倍 D．的2倍与3的积 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）写出代数式的意义是__________． 【变式3】．（2025七年级·江苏无锡·专题练习）有几个同学搬砖，不知道每人搬几块，只知道剩下14块，如果每人搬9块，最后一人只搬6块，搬砖的一共几人？ 【题型六】已知字母的值 ，求代数式的值 【例6】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B．18 C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知打开某种密码箱需要输入四位数密码，其中是三个静态密码(是小于10的自然数)，是动态密码，它是利用密钥计算生成的(是不大于5的正整数)，是的个位数字，现在小明打开这个密码箱的密码是2020，则所有符合的密钥的乘积是（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）当时，代数式的值等于_______． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）公安人员常根据案发现场作案人员留下的脚印推断嫌疑人的身高（单位：）．如果用a表示脚印长度，b表示身高，那么a和b之间的关系近似可表示为． (1)若某人脚印长度为，则他的身高约为多少？ (2)某案件中有两个可疑人员，一人身高为，另一人身高为．已知现场测量的脚印长度为，那么哪个可疑人员作案的可能性更大？ 【题型七】已知式子的值，求代数式的值 【例7】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，那么的值为（　　） A． B．5 C．3 D．9 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知代数式的值是，则代数式的值是___________． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏南通·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 【题型八】程序流程图与代数式求值 【例8】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）根据如图所示的运算程序，若输入的x值是，输入的y值是，则输出的结果是（   ）    A．3 B． C．5 D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入的值是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）按照如图的程序计算，若，则输出的结果为________． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【题型九】用代数式表示数、图形的规律 【例9】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）用黑白两色棋子按下图的方式摆放，依此规律，第10个图形中白色棋子的个数为（   ） A．31 B．69 C．90 D．100 【例10】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）现有一块圆形蛋糕，用刀把它竖着切开．用表示刀切下去出现的最多的蛋糕块数显然，刀切下去蛋糕分为两块，记为；刀切下去蛋糕最多被分为块，记为； ______． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）观察图中正方形四个顶点所标数的规律，可知数2025应标在（    ） A．第506个正方形的左上角 B．第506个正方形的左下角 C．第507个正方形的右上角 D．第507个正方形的右下角 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）数学老师根据〇中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是______． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 【题型十】单项式的判断 【例11】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列代数式：，，，，，中，单项式的个数是（   ） A．5 B．2 C．4 D．3 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列代数式中a，-2ab，，x2+y2，-1，ab2c3，单项式共有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式2】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）式子，，，，中，单项式有______个． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 【题型十一】单项式的系数、次数 【例12】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）单项式的系数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）单项式的次数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）单项式的次数为___________． 【变式3】．单项式与，是次数相同的单项式，求的值． 【题型十二】单项式规律题 【例13】．（24-25七年级上·江苏·期中）一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第个单项式应是（    ） A． B． C． D． 【例14】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个（k是正整数）________． 【变式1】．（2024·江苏淮安·二模）代数式：x﹣3x2+5x3﹣7x4+9x5+…的第n项为（　　） A．（﹣1）n﹣1（2n﹣1）xn B．（﹣1）n（2n﹣1）xn C．（﹣1）n﹣1（2n+1）xn D．（﹣1）n﹣1nxn 【变式2】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 【变式3】．下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个： ，，，，…… 如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？ 【题型十三】多项式的判断 【例15】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在代数式中，多项式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．中，其中是多项式的有______个． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）在式子中，多项式的个数是__________个． 【题型十四】多项式的项、项数或次数 【例16】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）多项式的次数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．多项式的常数项是__________． 【变式2】．若多项式 是四次三项式，则m的值为_______． 【变式3】．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【题型十五】多项式系数、指数中字母求值 【例17】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知是关于的一次多项式，则等于（   ） A．2 B． C． D．0 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若多项式是关于的三次三项式，则，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知是关于x的二次多项式，则_______． 【变式3】．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如果关于x、y的多项式是三次三项式，试探讨、n的取值情况． 【题型十六】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例18】．把多项式按x的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）把多项式按所含单项式的次数由高到低排列，写出新的多项式这样显得整齐美观______． 【变式2】．已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 【变式3】．已知关于x、y的整式中不含三次项，求a、b的值，并将整式按y的升幂排列． 【题型十七】整式的判断 【例19】．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）在，，，，，不属于整式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例20】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列代数式：10，，，，，，，其中是整式的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列代数式中，整式有（　　） ；；；；；；a． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在式子2025，，，，中，整式的个数是________个． 【变式3】．下列各式中，哪些是整式？①；②；③；④；⑤0；⑥ 1. 一层核心框架 代数式分为整式和非整式，整式仅包含单项式和多项式；分母不含字母是判定整式的唯一核心标准。 2. 两组核心概念 单项式：数与字母的积，核心掌握系数（带符号、含）、次数（字母指数和） 多项式：多个单项式的和，核心掌握项（带符号）、常数项、最高次项、几次几项式 3. 三大核心规范 ① 代数式标准书写格式（数字前置、无多余乘号、分数规范、单位规范）； ② 同类项精准识别与合并运算； ③ 去括号符号变化规则，杜绝漏号、漏乘错误。 4. 核心数学思想 整体代换思想：代数式求值常用核心思想，贯穿后续整式运算、方程学习； 分类思想：依据定义对代数式进行分类，精准区分整式、分式、单项式、多项式。 一、单选题 1．有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，y的值为（    ） A．12148 B．12146 C．12150 D．12158 4．如图是一个运算程序的示意图．若开始输入的值为，则第次输出的结果为 （    ） A． B． C． D． 5．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 6．观察下列各多项式：，，，，，根据你发现的规律，第6个多项式为（   ） A． B． C． D． 7．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 8．下列式子，，0，，中，整式有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 10．有下列说法：①为任意有理数，总是正数；②对于任何一个有理数，加上一个数后一定比原数大；③单项式的次数为1；④两个有理数a、b，如果，那么；⑤多项式是按字母a降幂排列的．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．2个 D．个 二、填空题 11．在代数式：，0，，，中，单项式有_______个． 12．单项式的次数为________． 13．已知，则的值为_____． 14．钢笔每支m元，笔记本每本n元，则的实际意义可以是______． 15．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 16．在手工社团课上，小李制作的手链由8颗红色珠子与9颗黑色珠子串成，若每颗红色珠子重a克，每颗黑色珠子重b克，则这串手链重________克(用含a，b的代数式表示，串绳重量忽略不计)． 17．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 三、解答题 20．规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 21．已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 22．用整式填空并判断它们是单项式还是多项式，是单项式的指出它们的系数和次数，是多项式的指出它们的项和次数． (1)“的倍与的立方的和”为______． (2)某商店经销某个品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将其进价提高后作为售价销售，一段时间后，商店又按售价的八折销售，此时该型号空气炸锅的售价为每台______元． (3)古人应“天圆地方”之说，往往将钱币铸造成“外圆内方”的形状，如图是一枚清代的“乾隆通宝”的正面，其外围圆的直径为，内部正方形的边长为，则该钱币正面的面积为______． 23．根据下表，回答问题： ⋯ 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 5 1 ⋯ ⋯ 9 4 1 0 1 9 ⋯ (1)______，______； (2)①若，则______； ②代数式的值随着的变化规律是：的值每增加1，的值就随之增加1，类似地，的值随着的变化规律是______； (3)当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 24．从2021年开始，某市中考总分要加大体育分值，实验学校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批足球和跳绳，在查阅网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）； (2)若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 25．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 代数式与整式概念 （核心知识+6易错辨析+17典例精讲+课后作业） 【知识点01】代数式 1. 定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和字母连接而成的式子；单独一个数或单独一个字母也是代数式。 ✅ 示例：，，， ❌ 注意：等式、不等式不是代数式（含有、、、、），如 、 都不是代数式。 2. 代数式书写规范（必考） ① 数字写在字母前面：（不能写） ② 乘号省略或写成“”： 或，不写 ③ 带分数化为假分数：（不写） ④ 除法写成分数形式：（不写） ⑤ 和差形式代数式带单位，整体加括号：米 3. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 计算步骤：代入 → 计算；代入负数、分数时建议添加括号，避免计算失误。 【知识点02】整式相关概念 1. 单项式 定义：由数与字母的积组成的代数式；单独一个数、单独一个字母也是单项式。 ❌ 含有加减、分母含有字母的不是单项式。 例：、、 是单项式；、不是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包含符号！）。例： 的系数是 次数：单项式中所有字母的指数之和（数字不算次数）。例： 次数：，为三次单项式 ⚠️ 补充：常数单项式（不含字母，如）称为零次单项式；是特殊单项式，不讨论次数。 2. 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式。例：，可看成 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；包含前面符号；不含字母的项叫常数项。例： 的项为，常数项为 多项式次数：多项式里次数最高项的次数。例：，最高次项次数为3，该多项式为三次三项式 3. 整式 单项式和多项式统称整式 代数式分类关系： 代数式 整式判定口诀：分母不含字母的代数式是整式。 易错点1：混淆代数式、等式、不等式 ❌ 误区：认为所有含字母的式子都是代数式 ✅ 辨析：含有等符号的是等式或不等式，不属于代数式。如、不是代数式。 易错点2：单项式系数与的认知错误 ❌ 误区1：忽略系数符号，将系数误认为是，正确系数为 ❌ 误区2：把当作字母计算次数 ✅ 辨析：是常数（数字），不是字母。单项式系数为，次数为。 易错点3：单项式次数计算失误 ❌ 误区：只看单个字母指数、累加数字指数，如将次数算成2次 ✅ 正确算法：仅累加所有字母指数，，为三次单项式。 易错点4：多项式项与次数认知偏差 ❌ 误区1：书写多项式项时遗漏负号，如将的项写为 ✅ 辨析：多项式的项自带前方符号，正确项为 ❌ 误区2：将多项式所有项的次数相加作为多项式次数 ✅ 辨析：多项式次数为最高次项的次数，并非所有项次数之和。 易错点5：整式判定陷阱 ❌ 误区：混淆和 ✅ ，分母为常数，是整式（单项式）；分母含字母，是分式，不是整式。 易错点6：代数式代入求值漏加括号 ❌ 误区：字母取负数、分数时直接代入计算，如，求，错算为 ✅ 正确计算：，负数、分数代入必须加括号。 【题型一】用字母表示数 【例1】．（22-23七年级上·江苏苏州·期中）若b是有理数，则（　　） A．b一定是正数 B．b正数，负数，0均有可能 C．一定是负数 D．b一定是0 【答案】B 【知识点】用字母表示数 【分析】根据有理数，逐一进行判定，即可解答． 【详解】解：A、b一定是正数，错误；例如当b=0时，b不是正数； B、正确； C、一定是负数，错误；例如当b=0时，不是负数； D、因为有理数包括正数、负数、0，所以b不一定是0，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了用字母表示数，一个用字母表示的数，既可以是正数、0，也可以是负数． 【变式1】．（2024七年级上·江苏盐城·期中）若x、y分别表示1﹣9中一个数字，小明想用x、y来组成一个两位数且把x放在y的右边，则这个两位数可以表示为_____． 【答案】10y+x 【知识点】用字母表示数 【分析】根据两位数的表示方法即可求解． 【详解】解：由题意可知，这个两位数可以表示为10y+x． 故答案为10y+x． 【点睛】本题考查列代数式，会用字母表示两位数是解答的关键． 【变式2】．用字母表示图中阴影部分的面积． 【答案】（1）ab﹣bx；（2）R2πR2 【知识点】用字母表示数 【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积； （2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积． 【详解】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx； （2）阴影部分的面积＝R2πR2． 【点睛】本题考查代数式的应用，解决问题的关键是看懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系． 【变式3】．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 【答案】(1)；；；； (2)字母表示列车在冻土地段行驶的时间； (3)圆的面积（为圆的半径）．（答案不唯一） 【知识点】用字母表示数 【分析】本题主要考查了列代数式，根据路程与速度、时间之间关系，列出代数式是解题关键． （1）根据路程时间速度即可列出式子计算，即可； （2）根据路程时间速度解答即可； （3）根据圆的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； （2）解：字母表示列车在冻土地段行驶的时间； 用表示速度，列车行驶的路程是路程； （3）解：圆的面积（为圆的半径）． 【题型二】列代数式 【例2】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中，能表示“x与y的和的平方增加”的结果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式． 先明确“x与y的和的平方”的表达式，再根据“增加”的含义，将原表达式乘以，根据得到的结果作答即可． 【详解】解：“x与y的和的平方”表示为， ∵“增加”即变为原数的倍，且， ∴最终结果为． 故选：D． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某校组织了师生共人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列代数式 【详解】解：∵师生共人，全部上车后还剩个位置， ∴所有租用观光车的总座位数为个， ∵每辆观光车可乘坐人， ∴租用观光车的辆数为 辆． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿个山楂，小串冰糖葫芦每根穿个山楂，小鑫同学打算穿根大串和根小串冰糖葫芦，则需要的山楂总个数用代数式表示为______． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意，山楂总个数等于大串冰糖葫芦的山楂个数与小串冰糖葫芦的山楂个数之和，大串每根穿个山楂，小串每根穿个山楂，因此用代数式表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，穿根大串冰糖葫芦需要个山楂，穿根小串冰糖葫芦需要个山楂， 所以山楂总个数为， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果．根据这些数据回答下列问题： (1)该机器人能识别多大范围内的苹果？ (2)该机器人识别范围内的苹果需要多少秒？ (3)若该机器人搭载了m个机械手，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 【答案】(1)该机器人能识别范围内的苹果 (2)识别范围内的苹果需要秒 (3)机器人可比工人多采摘个苹果 【知识点】列代数式 【分析】（1）根据苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，得出能识别的范围即可； （2）先求出机器人识别需要的时间，据此得出机器人识别范围内的苹果需要的时间即可； （3）根据题意，分别表示出机器人和工人采摘的苹果个数，据此可解决问题． 本题主要考查了列代数式，能根据题意分别求出机器人平均每秒识别的范围及识别需要的时间是解题的关键． 【详解】（1）因为机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别， 所以该机器人能识别范围内的苹果； （2）因为机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别， 则识别需要的时间为秒， 所以识别范围内的苹果需要秒； （3）因为一个机械手平均可以采摘一个苹果， 所以一个机械手平均每秒采摘个苹果， 则m个机械手平均每秒采摘个苹果， 所以m个机械手1小时可采摘的苹果个数为：个 因为工人平均可以采摘一个苹果， 则个，即采摘工人1小时可采摘的苹果个数为720个， 所以机器人可比工人多采摘个苹果． 【题型三】代数式的概念 【例3】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 【变式1】．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．属于代数式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式，掌握代数式的概念是解决本题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的表达式，不包含等号或不等号，根据定义逐一判断各式子即可． 【详解】解：①0是数字，为代数式； ②a是字母，为代数式； ③含有等号，是方程，不是代数式； ④由变量和数字通过减法组成，为代数式； ⑤含有不等号，是不等式，不是代数式； ⑥含有不等号，是不等式，不是代数式． ∴属于代数式的有①、②、④，共3个． 故选B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）在下列各式中：①；②；③；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的定义，用运算符号把数或字母连起来的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式，据此逐项判断即可求解，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是代数式； ②是等式，不是代数式； ③是代数式； ④是不等式，不是代数式； ⑤是代数式； ∴代数式有个， 故选：． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中，是代数式的是 __________．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 【答案】①④⑤ 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查代数式，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的概念求解即可． 【详解】解：是代数式的是①；④π；⑤． 故答案为：①④⑤． 【题型四】代数式书写方法 【例4】．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】代数式书写方法 【分析】此题考查了代数式规范书写的能力，关键是能准确理解并运用该知识． 代数式书写规则要求数字与字母相乘时数字写在字母前且乘号省略，除法写成分数形式，带分数写为假分数，据此求解即可． 【详解】A中为假分数形式且乘号省略，符合规则； B中乘号未省略且数字未在前，应写为，不符合规则； C中为带分数形式，应写为，不符合规则； D中使用除号，应写为，不符合规则； 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式书写方法，解题关键是掌握代数式书写方法． 根据符合代数式书写规范，对四个式子逐一分析，再作判断． 【详解】解：，数字写成分数形式，乘号省略，故A符合规范； ，有乘号且数字未写在字母前，应写成，故B不符合规范； ，使用带分数，应写成，故C不符合规范； ，使用除法符号，应写成，故D不符合规范． 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】依据代数式书写规则，逐一判断每个式子是否符合规范．本题主要考查了代数式的书写规则，熟练掌握“数字与字母相乘省略乘号、除法写成分数形式、带分数化为假分数”是解题的关键． 【详解】解：：符合（数字在前，乘号省略）； ：不符合（含乘号）； ：符合（乘号省略）； ：符合（单独的数是代数式）； ：不符合（带分数未化为假分数）； ：不符合（含除号）； ：符合（除法写成分数形式）； 米：不符合（含单位）． 故符合规则的有4个． 故选：C． 【变式3】．下列代数式中①，②，③，④，其中书写正确的是_____． 【答案】④ 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式，根据代数式的书写规范对各小题作出判断即可． 【详解】解：①应为，②应为，③应为，④书写正确， 综上所述，书写正确的是④． 故答案为：④． 【题型五】代数式表示的实际意义 【例5】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）． ①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价 ②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数 ③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积 ④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数 A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式的实际意义，需要逐一分析每个描述中的数量关系是否与代数式一致． 【详解】解：①∵打七折后售价为元，再优惠50元，实际售价为元，与不符； ②∵苹果总价为元，余额50元，还差的钱数为元，符合； ③∵长方形面积为平方米，裁去50平方米，剩余面积为平方米，符合； ④∵已读页，还剩50页，总页数为页，与不符． ∴只有②和③符合， 故选C． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）代数式的意义是（   ） A．与3的积的2倍 B．的2倍与3的和 C．与3的和的2倍 D．的2倍与3的积 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了代数式的意义，熟练掌握代数式的运算顺序是解题的关键．明确代数式的运算顺序，分析每个选项与原式运算顺序的匹配度． 【详解】解：，其意义是与的和的倍． 故选：． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）写出代数式的意义是__________． 【答案】a的2倍与c的3倍的和 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了代数式的意义，根据代数式的意义，将代数式分解为各项的含义， 解答即可． 【详解】解：代数式中，表示的2倍，表示的3倍，加号表示和，因此整个代数式的意义是的2倍与的3倍的和． 故答案为：a的2倍与c的3倍的和． 【变式3】．（2025七年级·江苏无锡·专题练习）有几个同学搬砖，不知道每人搬几块，只知道剩下14块，如果每人搬9块，最后一人只搬6块，搬砖的一共几人？ 【答案】搬砖的一共17人 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】该题考查了代数式的应用，设共有人，总砖数不变：无论哪种分配方式，总砖数相同．新情况：前人各搬 9 块，最后 1 人搬 6 块，得出总砖数为，原情况：每人搬砖数为（总砖数剩余14 块）人数，据此解答即可． 【详解】解：设共有人， 则总砖数为块， ∴原来每人搬砖块， ∵，必须为正整数，因此需为整数，即是 17 的约数． 结合实际意义，唯一合理的解为． 答：搬砖的一共17人． 【题型六】已知字母的值 ，求代数式的值 【例6】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B．18 C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，将 代入表达式直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知打开某种密码箱需要输入四位数密码，其中是三个静态密码(是小于10的自然数)，是动态密码，它是利用密钥计算生成的(是不大于5的正整数)，是的个位数字，现在小明打开这个密码箱的密码是2020，则所有符合的密钥的乘积是（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值．根据密码2020，可得，，，．d是M的个位数字，其中．要求M的个位为0，分别计算至5时M的个位数，找出使个位为0的m值，并求其乘积． 【详解】∵密码为2020， ∴，，，． 要求M的个位数字为0． 当时，，个位为； 当时，，个位为0； 当时，，个位为0； 当时，，个位为； 当时，，个位为0． ∴符合的m为2、3、5，其乘积为． 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）当时，代数式的值等于_______． 【答案】/ 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值．把代入代数式即可求出结果． 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）公安人员常根据案发现场作案人员留下的脚印推断嫌疑人的身高（单位：）．如果用a表示脚印长度，b表示身高，那么a和b之间的关系近似可表示为． (1)若某人脚印长度为，则他的身高约为多少？ (2)某案件中有两个可疑人员，一人身高为，另一人身高为．已知现场测量的脚印长度为，那么哪个可疑人员作案的可能性更大？ 【答案】(1)； (2)身高为的可疑人员作案的可能性更大． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值． （1）将代入计算即可； （2）将代入计算，进而判断更接近哪个可疑人员的身高即可． 【详解】（1）解：当时，， 即他的身高约； （2）解：当时，， ∵，，， ∴身高为的可疑人员作案的可能性更大． 【题型七】已知式子的值，求代数式的值 【例7】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，那么的值为（　　） A． B．5 C．3 D．9 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，运用整体代入思想，将待求式变形为含已知式的形式后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是代数式的求值，可通过代数式变形，利用整体代入法求解，关键是将转化为与相关的形式． 【详解】解：∵ ∴ 将代入上式得 原式． 故选：B 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知代数式的值是，则代数式的值是___________． 【答案】11 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【详解】解：当时，原式． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏南通·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入得，化为，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3）解：，， ． 【题型八】程序流程图与代数式求值 【例8】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）根据如图所示的运算程序，若输入的x值是，输入的y值是，则输出的结果是（   ）    A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查程序流程图，熟练掌握运算法则是解题的关键． 输入，，经过计算，得出输出结果即可． 【详解】解：输入，， 则 ， 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入的值是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了规律型数字的变化类，代数式求值的知识，仔细计算，观察出循环规律是解题的关键．根据计算找出循环规律，再按照规律计算第次输出的结果即可． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为：； 第二次输出的结果为：； 第三次输出的结果为：； 第四次输出的结果为：； 第五次输出的结果为：； 通过计算发现：按照“”每四次为一组循环， ， 第次输出的结果是． 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）按照如图的程序计算，若，则输出的结果为________． 【答案】16 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的求代数式的值，正确理解题意并正确计算是解题的关键． 把代入，若结果小于等于0，则把结果继续当作x的值进行代入进行计算，直至计算的结果小于0进行输出即可． 【详解】解：若，， 若，， 所以输出的结果为16． 故答案为：16 【变式3】．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数值转换器，通过计算发现输出结果的变化规律是解题的关键． （1）根据所给数值转换器，进行计算即可； （2）根据输入的数是11，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：； 第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：； …， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2， 所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1． 故答案为：2，1． 【题型九】用代数式表示数、图形的规律 【例9】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）用黑白两色棋子按下图的方式摆放，依此规律，第10个图形中白色棋子的个数为（   ） A．31 B．69 C．90 D．100 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形规律的探索与代数式求值，熟练通过观察每个图形的算式形式总结通项公式是解题的关键． 直接观察每个图形白色棋子数的算式形式，总结出第个图形的通项公式，再代入计算． 【详解】解：第1个图形白色棋子：， 第2个图形白色棋子：， 第3个图形白色棋子：， 第4个图形白色棋子：， ， ∴第个图形白色棋子数为， 当时，， 故选：． 【例10】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）现有一块圆形蛋糕，用刀把它竖着切开．用表示刀切下去出现的最多的蛋糕块数显然，刀切下去蛋糕分为两块，记为；刀切下去蛋糕最多被分为块，记为； ______． 【答案】11 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了用代数式表示数字的规律问题， 先根据前两刀的变化特点得出第四刀的结果即可． 【详解】解：1刀分块蛋糕； 2刀最多分块蛋糕； 3刀最多分块蛋糕； 4刀最多分块蛋糕； 故答案为：11． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）观察图中正方形四个顶点所标数的规律，可知数2025应标在（    ） A．第506个正方形的左上角 B．第506个正方形的左下角 C．第507个正方形的右上角 D．第507个正方形的右下角 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了用代数式表示规律问题， 先根据图形的变化特点可得数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可知每个正方形有4个数，按照右下，右上，左上，左下四个数字依次增加1， ∵， ∴数2025应标在第507个正方形的右下角． 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）数学老师根据〇中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是______． 【答案】103272 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 密码的前两个数字是上面的数字和左面的数字的和，中间两个数字是上面的数字和右面的数字的乘积，后面的两位数字是左面的数字乘以（上面和右面数字的和）的积，根据此规律解答即可． 【详解】解： 根据题意，前两个数字是，中间的两个数字是，后面的两个数字是， 所以是． 故答案为：． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 【答案】(1)16 (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键． （1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合的值即可求出的值； （2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出； （3）代入即可求出结论． 【详解】（1）解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要个三角形． ∵， ∴， ∴． 故答案为：16； （2）解：由（1）可知：． 故答案为：； （3）解：当时，， ∴摆成第2021个图案需要个三角形． 【题型十】单项式的判断 【例11】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列代数式：，，，，，中，单项式的个数是（   ） A．5 B．2 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的概念．单项式是数字或字母的积，包括单独的数字或字母，且分母中不能含有字母，根据定义求解即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字或字母的积的形式，或单独一个数字或字母也是单项式； ∴ 是多项式，不是单项式； 是和的形式，不是单项式； 分母是常数，是单项式； 分母含字母，是分式，不是单项式； 是数字与字母的积，是单项式； 是常数，是单项式． ∴ 单项式有 、、，共3个． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列代数式中a，-2ab，，x2+y2，-1，ab2c3，单项式共有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握“单项式是数字与字母的积或单独的数字、字母”是解题的关键． 依据单项式的定义，逐一判断每个代数式是否为单项式． 【详解】解：对于：是单独字母，是单项式； 对于：是数字与字母的积，是单项式； 对于：含加法运算，不是单项式； 对于：是多项式，不是单项式； 对于：是单独数字，是单项式； 对于：是数字与字母的积，是单项式． ∴单项式有、、、，共4个． 故选：C． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）式子，，，，中，单项式有______个． 【答案】 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义，数字或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式有：，共2个， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 【答案】3 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．由单项式的概念，即可判断． 【详解】解：代数式（1）是数字与字母的积，是单项式； （2）是单独字母，是单项式； （3）是单独数字，是单项式； （4）分母有字母，是分式； （5）是多项式； （6）是多项式； （7）分母有字母，是分式； （8）是多项式； （9）分母有字母，是分式； 故单项式有3个； 故答案为：3． 【题型十一】单项式的系数、次数 【例12】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）单项式的系数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式系数的定义，单项式的系数是指单项式中的数字因数． 根据单项式系数的定义作答即可． 【详解】解：单项式的系数为1． 故选：B． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）单项式的次数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】先识别单项式中的字母，再将各字母的指数相加得到次数，最后匹配选项得出答案． 【详解】解：∵在单项式中，是常数，不是字母，字母为和，其中的指数为，的指数为， ∴该单项式的次数为， ∴故选A． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）单项式的次数为___________． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，计算单项式中所有字母的指数和即可得到结果.注意是常数. 【详解】解：单项式中 π 是常数，不是字母，字母的指数为，字母的指数为， 因此该单项式的次数为 . 【变式3】．单项式与，是次数相同的单项式，求的值． 【答案】5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】直接利用单项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：因为单项式与是次数相同的单项式， ∴2+m=3+4， 解得：m=5． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键． 【题型十二】单项式规律题 【例13】．（24-25七年级上·江苏·期中）一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第个单项式应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式的规律变化，分别观察系数和的指数找出规律即可求解，由已知单项式找到规律是解题的关键． 【详解】解：观察系数依次为， 故可得第个单项式的系数为； 观察的指数依次是， 可得三个单项式一个循环， ∵， ∴第个单项式的指数为， 综上可得，第个单项式是 故选：． 【例14】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个（k是正整数）________． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个单项式是，由此即可求解题． 【详解】解：∵，，，，，… ∴第n个单项式是， 当时，第个单项式是， 故答案为：． 【变式1】．（2024·江苏淮安·二模）代数式：x﹣3x2+5x3﹣7x4+9x5+…的第n项为（　　） A．（﹣1）n﹣1（2n﹣1）xn B．（﹣1）n（2n﹣1）xn C．（﹣1）n﹣1（2n+1）xn D．（﹣1）n﹣1nxn 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、单项式规律题 【分析】观察前面几项的式子，找到规律，即可求解． 【详解】解：x＝（2×1﹣1）x； ﹣3x2＝（﹣1）2﹣1（2×2﹣1）x2； 5x3＝（﹣1）3﹣1（2×3﹣1）x3； ； ∴第n项是：（﹣1）n-1（2n﹣1）xn； 故选：A． 【点睛】此题是规律探索题，涉及了多项式的有关知识，通过观察前面的式子找出规律是解题的关键． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】单项式规律题 【分析】考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键． （1）根据单项式的特点写出第9个单项式即可； （2）通过观察题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为，由此可解出本题． 【详解】（1）解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴第9个单项式是，即； （2）解：∵n为偶数时，单项式为负数，x的指数为n时，2的指数为， ∴猜想第个单项式为． 【变式3】．下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个： ，，，，…… 如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？ 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】观察单项式的正负规律、分子与分母的变化规律以及a的指数变化规律，据此写出第21个单项式． 【详解】解：第1个单项式为：， 第二个单项式为：， 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， … 第n个单项式为：． ∴第21个单项式为． 【点睛】本题考查了单项式．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 【题型十三】多项式的判断 【例15】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在代数式中，多项式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据多项式的定义，几个单项式的和称为多项式， 故在代数式中，多项式有，，共3个． 故选：B． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，根据定义解答即可． 【详解】解：是单项式； ，是多项式； 的分母含字母，既不是单项式，也不是多项式． 故选B． 【变式2】．中，其中是多项式的有______个． 【答案】2 【知识点】多项式的判断 【分析】根据多项式的定义：几个单项式和的形式，进行判断即可． 【详解】解：在式子，中，，是多项式，共2个； 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式的识别．熟练掌握多项式的定义，是解题的关键． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）在式子中，多项式的个数是__________个． 【答案】2 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的定义：“几个单项式的和的形式”，进行判断即可． 【详解】解：在式子中，多项式有，共2个； 故答案为：2． 【题型十四】多项式的项、项数或次数 【例16】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）多项式的次数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查了多项式次数的辨别能力，关键是能准确理解并运用多项式次数的定义． 运用多项式次数的定义进行辨别、求解． 【详解】解：∵多项式中，项的次数为1，项的次数为1， ∴该多项式的次数为1． 故选：A． 【变式1】．多项式的常数项是__________． 【答案】 【分析】根据常数项是不含字母的项求解即可． 【详解】解：多项式的常数项是． 【变式2】．若多项式 是四次三项式，则m的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查多项式， 根据多项式为四次三项式的条件，最高次数为4且项数为3，需满足第一项次数为4且第二项系数不为零即可． 【详解】解：多项式的三项分别为：第一项 ，次数为 ；第二项 ，次数为 ；第三项 ，次数为 ， 由于多项式是四次式，最高次数为4， 因此第一项次数 ，解得 ， 当 时，第二项系数 ，所有项均存在，且最高次数为4，符合四次三项式， 故答案为：2． 【变式3】．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3)不一定是，理由见解析 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）解：不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 【题型十五】多项式系数、指数中字母求值 【例17】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知是关于的一次多项式，则等于（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式，根据一次多项式的定义，多项式最高次项为一次，因此 项的系数必须为零。 【详解】解：∵ 多项式 是关于的一次多项式， ∴ 项的系数 ， ∴ ， 故选B. 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若多项式是关于的三次三项式，则，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式为三次三项式，则最高次项为三次，且项数为三；需使四次项系数为零以消除四次项，并确保三次项存在且二次项系数非零；据此即可求解； 【详解】解：∵ 多项式是关于 的三次式， ∴ 四次项系数为零，即 ，解得 ； 此时多项式为 ； ∵ 最高次项为三次， ∴ ，即 或 ； 又∵ 多项式是三项式，需确保二次项系数非零， 若 ，则 ，二次项消失，多项式仅为 ，两项，不符合； ∴ ，故 ； 验证：当 时，多项式为 ，是三次三项式； ∴ ，， 故选：B 【变式2】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知是关于x的二次多项式，则_______． 【答案】2 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键；根据二次多项式的定义，最高次项为二次，因此三次项系数必须为零，且二次项系数不能为零，由此问题可求解． 【详解】解：由多项式是关于的二次多项式，故三次项系数，解得， 又二次项系数，当时，，符合要求；当时，，不符合要求； 故； 故答案为：2． 【变式3】．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如果关于x、y的多项式是三次三项式，试探讨、n的取值情况． 【答案】或 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】根据三次三项式的定义求值，即每一项的最高指数为3，项数为3． 【详解】解： 由题意可知： ， 解得或 当时，多项式化为，此时当时多项式为三次三项式； 当时，多项式化为，此时当时多项式为三次三项式； 综上所述，当且或者且时多项式为三次三项式 故答案为： 或者 【点睛】此题主要考查了三次三项式的定义，正确把握相关定义是解题关键． 【题型十六】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例18】．把多项式按x的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按x的升幂排列为． 故选C． 【变式1】．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）把多项式按所含单项式的次数由高到低排列，写出新的多项式这样显得整齐美观______． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】根据题意按的降幂排列即可 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了多项式的降幂排列，理解单项式的次数是解题的关键． 【变式2】．已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 【答案】(1)升幂 (2) (3) 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式升幂、降幂排序的定义． （1）根据升幂排列和降幂排列的定义，观察字母x、y的指数即可求解； （2）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列的定义排列； （3）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的升幂排列的定义排列． 【详解】（1）解：将其重新排列为，则该排列方式是按照x的升幂排列的， 故答案为：升幂； （2）解：多项式按照y的降幂重新排列为； （3）解：多项式按照y的升幂重新排列为． 【变式3】．已知关于x、y的整式中不含三次项，求a、b的值，并将整式按y的升幂排列． 【答案】，， 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查多项式的项的定义，升幂排列的定义，排列多项式各项时，要保持其原有的符号．根据多项式的定义，升幂排列的定义，解答即可． 【详解】解：原式 ， ∵原式不含三次项， ∴，， ∴，， ∴原式 【题型十七】整式的判断 【例19】．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）在，，，，，不属于整式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式． 【详解】解：∵，，是整式， ，不属于整式， ∴不属于整式的有2个， 故选：A． 【例20】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列代数式：10，，，，，，，其中是整式的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查的是整式的概念，单项式与多项式统称整式，根据整式的定义求解即可． 【详解】解：式子10，，，，，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式； 式子，是等式，不是整式． 故整式有5个． 故选：B． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列代数式中，整式有（　　） ；；；；；；a． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】此题主要考查了整式，单项式和多项式统称为整式，正确掌握整式的定义是解题关键． 根据整式的概念可判断得出答案． 【详解】解：整式有；；；；a．共5个． 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在式子2025，，，，中，整式的个数是________个． 【答案】4 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的定义． 根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母，对每个式子进行判断即可． 【详解】解：2025是常数，为单项式，属于整式； 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母含有字母，不是整式； 是多项式，属于整式． 故整式个数为4． 故答案为：4． 【变式3】．下列各式中，哪些是整式？①；②；③；④；⑤0；⑥ 【答案】①④⑤⑥ 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的定义，解题的关键是明确整式是单项式和多项式的统称，分母中含字母、根号下含字母的式子不是整式． 根据整式定义，判断各式：分母含字母的式子不是整式；根号下含字母的式子不是整式；单项式和多项式是整式． 【详解】解：①是多项式，属于整式； ②分母含字母，不是整式； ③根号下含字母，不是整式； ④是多项式，属于整式； ⑤是单项式，属于整式； ⑥是多项式，属于整式； 故整式是①④⑤⑥． 1. 一层核心框架 代数式分为整式和非整式，整式仅包含单项式和多项式；分母不含字母是判定整式的唯一核心标准。 2. 两组核心概念 单项式：数与字母的积，核心掌握系数（带符号、含）、次数（字母指数和） 多项式：多个单项式的和，核心掌握项（带符号）、常数项、最高次项、几次几项式 3. 三大核心规范 ① 代数式标准书写格式（数字前置、无多余乘号、分数规范、单位规范）； ② 同类项精准识别与合并运算； ③ 去括号符号变化规则，杜绝漏号、漏乘错误。 4. 核心数学思想 整体代换思想：代数式求值常用核心思想，贯穿后续整式运算、方程学习； 分类思想：依据定义对代数式进行分类，精准区分整式、分式、单项式、多项式。 一、单选题 1．有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写规范，关键是掌握代数式书写的核心规则：数字与字母相乘时数字需写在字母前面，带分数要化为假分数；除法运算需写成分数形式，不能用“÷”；系数为时可简化为“-字母”的形式． 【详解】解：对于①：代数式中数字因数应写在字母因数的前面，正确写法为或，故①不符合书写格式； 对于②：该式为分数形式，分子是多项式，符合代数式书写格式； 对于③：代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故③不符合书写格式； 对于④：带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，正确写法为，故④不符合书写格式； 对于⑤：系数为时，可直接写为，符合代数式书写格式． 综上，不符合书写格式的有①③④，共3个． 故选：C． 2．在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的识别，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫做代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、a、1、、中，、a、1、是代数式，共4个；是等式，不是代数式， 故选C． 3．如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，y的值为（    ） A．12148 B．12146 C．12150 D．12158 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律，解答本题的关键是找出图中的规律，列出代数式． 找出相应的规律，得出和的代数式，然后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意可得，当时，则； 当时，则； 当时，则； 以此类推得，把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，则， 当时，， 故选：D． 4．如图是一个运算程序的示意图．若开始输入的值为，则第次输出的结果为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，根据前几次输出结果总结归纳出规律，利用规律求解． 【详解】解：由题图，得当时，因为，所以第次输出的结果为； 将作为代入进行运算，因为，所以第次输出的结果为； 将作为代入进行运算，因为，所以第次输出的结果为； 将作为代入进行运算，因为，所以第次输出的结果为 所以输出的结果从第次开始按，的顺序循环． 又，所以第次输出的结果为． 故选：A. 5．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 【答案】D 【详解】解：A．的最高次项是，次数为，共有个项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式，判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和，即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 6．观察下列各多项式：，，，，，根据你发现的规律，第6个多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式．观察每个多项式中各项的系数与次数，从而得出规律，进而解决此题． 【详解】解：每个多项式的第一项，底数为，指数为序号，系数为序号的2倍； 第二项，底数为，指数为序号的2倍减1，序号为奇数时，系数为1；序号为偶数时，系数为； 所以第六个多项式为． 故选：B． 7．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 8．下列式子，，0，，中，整式有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的概念，解题关键是掌握整式是分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式．根据整式需满足分母中不含字母逐一判断即可． 【详解】解：是多项式，无分母，是整式； 是多项式，无分母，是整式； 是常数，是整式； 分母含字母和，不是整式； 分母是常数，不是字母，是整式； 即整式有4个， 故选：C． 9．若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和项数的概念及代数式求值，多项式为二次三项式，则最高次项为二次，且项数为三．由四次项系数为零得，由二次项存在，再求常数项． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴四次项系数，即， 且为二次项，即， 此时多项式为， 常数项为． 故选： C． 10．有下列说法：①为任意有理数，总是正数；②对于任何一个有理数，加上一个数后一定比原数大；③单项式的次数为1；④两个有理数a、b，如果，那么；⑤多项式是按字母a降幂排列的．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．2个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查判断正误，有理数分类，整式定义等．根据题意逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵为任意有理数， ∴，故总是正数说法不对，即①不正确， ∵对于任何一个有理数，加上一个数后不一定比原数大，若加上的数为负数则比原数小， 故②不正确， ∵单项式的次数为0，故③不正确， ∵两个有理数a、b，如果，那么，故④正确， ∵多项式中，第一项中涉及的是，第二项中涉及的是，第三项中涉及的是， ∴是按字母a降幂排列的，故⑤正确， 故选：C． 二、填空题 11．在代数式：，0，，，中，单项式有_______个． 【答案】4 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义． 【详解】解：式子，0，，，符合单项式的定义，是单项式；式子，是多项式． ∴单项式有4个． 故答案为：4． 12．单项式的次数为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了单项式的次数，解题的关键是掌握单项式的次数的定义． 依据单项式次数的定义，计算单项式中所有字母指数的和即可求解． 【详解】解：单项式的次数为. 故答案为：4． 13．已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值．由得到，把原式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14．钢笔每支m元，笔记本每本n元，则的实际意义可以是______． 【答案】小明带了100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，小明还剩的钱数 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，理解代数式中的每一部分的意义是解题关键．根据表示的是买4支钢笔的费用、表示的是买8本笔记本的费用，100表示的是原来的总钱数，由此即可得． 【详解】解：的实际意义可以是小明带了100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，请问小明还剩了多少钱？ 故答案为：小明带了100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，小明还剩的钱数 15．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 16．在手工社团课上，小李制作的手链由8颗红色珠子与9颗黑色珠子串成，若每颗红色珠子重a克，每颗黑色珠子重b克，则这串手链重________克(用含a，b的代数式表示，串绳重量忽略不计)． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，列出代数式． 根据题意，手链的总重量由红色珠子和黑色珠子的重量组成，分别计算后相加即可． 【详解】解：根据题意得， 这串手链重克， 故答案为：． 17．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 【答案】 3 ② 4 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 三、解答题 20．规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 21．已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）先分别说出各项的次数，再得出多项式的次数； （2）将多项按的次数由高到低排列即可； （3）先利用绝对值的非负性求出、的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：，第1项为2次，第2项为3次，第3项为常数项， 故该多项式的次数是3， 故答案为：3； （2）按的降幂排列为：， 故答案为：； （3）∵， ∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了多项式的项、项数或次数，将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，已知字母的值求代数式的值，绝对值非负性等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 22．用整式填空并判断它们是单项式还是多项式，是单项式的指出它们的系数和次数，是多项式的指出它们的项和次数． (1)“的倍与的立方的和”为______． (2)某商店经销某个品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将其进价提高后作为售价销售，一段时间后，商店又按售价的八折销售，此时该型号空气炸锅的售价为每台______元． (3)古人应“天圆地方”之说，往往将钱币铸造成“外圆内方”的形状，如图是一枚清代的“乾隆通宝”的正面，其外围圆的直径为，内部正方形的边长为，则该钱币正面的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查代数式、单项式和多项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，多项式中的每个单项式都叫做这个多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数： （1）根据题意列出代数式，根据多项式的相关定义求解即可； （2）根据题意列出代数式，根据单项式的相关定义求解即可； （3）根据题意列出代数式，根据多项式的相关定义求解即可． 【详解】（1）解：“的倍与的立方的和”为 为多项式，它的项分别是，，次数是． （2）解：根据题意可得，该型号空气炸锅的售价为每台（元）， 为单项式，它的系数是，次数是． （3）解：该钱币正面的面积为， 为多项式，它的项分别是，，次数是． 23．根据下表，回答问题： ⋯ 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 5 1 ⋯ ⋯ 9 4 1 0 1 9 ⋯ (1)______，______； (2)①若，则______； ②代数式的值随着的变化规律是：的值每增加1，的值就随之增加1，类似地，的值随着的变化规律是______； (3)当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1)； (2)①或；②的值每增加1，的值就随之减少2 (3)当时，值增加；当时，值减少|k| 【分析】本题考查了代数式的求值、一元二次方程的求解及代数式的变化规律，解题的关键是利用表格数据代入计算，结合方程和代数式运算分析规律． （1）将对应值代入代数式求、； （2）①根据表格找与相等的值；②分析每增加1时的变化量； （3）计算从到时代数式的差值，确定变化情况． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 故答案为：；． （2）①解：由表格知，或时，. 故答案为：或. ②解：每增加1，的变化量为， 即的值每增加1，的值就随之减少2． 故答案为：的值每增加1，的值就随之减少2． （3）解：当时，代数式的值为； 当时，代数式的值为,差值为 故当时，值增加；当时，值减少|k|． 24．从2021年开始，某市中考总分要加大体育分值，实验学校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批足球和跳绳，在查阅网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）； (2)若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)， (2)A网店 (3)先到A网店买60个足球，再到B网店购买40条跳绳更为合算，此时付款9480元 【分析】（1）根据甲乙各自的优惠方式分别列代数式，再化简即可； （2）把代入（1）中的代数式，计算后进行比较即可； （3）当时，在A网店购买60个足球赠送60根跳绳，再在B网店购买40条跳绳：此时最合算． 【详解】（1）解：由A网店的优惠方案得， 买60个足球，x条跳绳（）的总费用为： （元）， 由B网店的优惠方案得， 买60个足球，x条跳绳（）的总费用为： （元）． （2）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴到A网店购买比较合算； （3）解：先到A网店买60个足球，获赠60条跳绳， 再到B网店购买条跳绳所用的总费用为： （元）， ∵， ∴先到A网店买60个足球，再到B网店购买40条跳绳更为合算，此时付款9480元． 25．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． 【答案】(1)；， (2)；42或 (3)见解析 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． （1）①由图1列出关系式，将代入计算即可求出值； ②根据即可得到处的结果； （2）①将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为小于，输出即可； ②分两种情况考虑：当大于时，即可得到的值；小于时，根据开方求出负数的值； （3）因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以元/吨的价格收费，所以水费收缴分两种情况，和，分别计算，则可以设计计算程序如详解所示． 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴先给乘，然后再给输出结果减，即可得到， ∴应填、； 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∵， ∴继续运算， ， ∵， ∴继续运算， ∴， ∵， ∴输出，则； ②若，则，解得， 若，则，解得（正值舍去）， 即输入的值或， 故答案为：或； （3）解：设计如框图如图： 1 学科网（北京）股份有限公司 $