第01讲 有理数的基本概念（核心知识+6易错辨析+11典例精讲+课后作业）讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学有理数基础概念，系统梳理正数与负数、有理数定义与分类、数轴、相反数、绝对值及大小比较等核心知识点，从数的扩充到概念界定，再到工具应用与性质探究，构建递进式学习支架。 资料亮点在于6个易错辨析精准破解概念混淆，11个典例精讲涵盖多样题型，结合数轴培养几何直观，通过实际问题强化应用意识。课中辅助教师突破难点，课后助力学生查漏补缺，提升推理与运算能力。

第01讲 有理数的基础概念（核心知识+6易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】正数与负数 1. 定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 2. 特殊数：0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点，是最小的自然数。 3. 实际意义：用来表示生活中具有相反意义的量。例如：零上与零下、收入与支出、上升与下降、向东与向西等。 4. 符号说明：正数前面的“+”号可以省略，负数前面的“-”号不能省略。 【知识点02】有理数的定义与分类 1. 有理数定义：整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以写成分数（m、n为整数，且n≠0）的形式。 2. 有理数两种分类方式 （1）按定义分类（整数、分数） 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数（包含有限小数、无限循环小数） （2）按正负性质分类 正有理数：正整数、正分数 0：单独一类，非正非负 负有理数：负整数、负分数 3. 关键结论：有限小数和无限循环小数都属于分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数（如π）。 【知识点03】数轴 1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 2. 核心性质： 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 数轴上右边的数总比左边的数大。 正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处。 【知识点04】相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 2. 基本性质： 0的相反数是0，是唯一相反数等于本身的数。 任意数a的相反数是-a（a可为正数、负数、0）。 互为相反数的两个数和为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0。 数轴上，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称。 3. 多重符号化简：符号个数为奇数，结果为负；符号个数为偶数，结果为正（奇负偶正）。 【知识点05】绝对值 1. 定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作|a|。 2. 绝对值性质（非负性）： 正数的绝对值是它本身：若a＞0，则|a|=a 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0 负数的绝对值是它的相反数：若a＜0，则|a|=-a 3. 核心结论：任何数的绝对值都是非负数（|a|≥0），绝对值最小的数是0。 【知识点06】有理数大小比较 正数＞0＞负数 两个正数比较：绝对值大的数更大 两个负数比较：绝对值大的数反而小 数轴比较法：右边的数始终大于左边的数 易错点1：有理数概念混淆 ❌ 错误认知：小数都是有理数、整数都是正数 ✅ 正确辨析：有限小数、无限循环小数是有理数；无限不循环小数（π、0.1010010001…）是无理数。整数包含正整数、0、负整数，0和负整数不是正数。 易错点2：对0的认知误区 ❌ 错误认知：0是正数、0没有相反数、0没有绝对值 ✅ 正确辨析：0非正非负；0的相反数、绝对值都是0，0是自然数，是有理数。 易错点3：相反数与符号误区 ❌ 错误认知：-a一定是负数、带负号的数就是负数 ✅ 正确辨析：a为负数时，-a是正数；a=0时，-a=0。判断正负看数值本身，不看表面符号。 易错点4：绝对值易错点 ❌ 错误认知：绝对值等于本身的数是正数、绝对值相等的数一定相等 ✅ 正确辨析：绝对值等于本身的数是非负数（正数+0）；绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数（如|3|=|-3|）。 易错点5：数轴概念误区 ❌ 错误认知：数轴上的点都是有理数 ✅ 正确辨析：有理数都能在数轴上表示，但数轴上还有无理数对应的点，二者不是一一对应关系。 易错点6：负数大小比较错误 ❌ 错误认知：-5＞-3（认为数字大的负数更大） ✅ 正确辨析：负数比较大小，绝对值越大，数值越小，故-5＜-3。 【题型一】正数和负数 【例1】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如果收入元记作元，那么元表示（    ） A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元 【答案】C 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际意义，正负数用来表示一对具有相反意义的量，收入记为正，则与收入相反的支出记为负，据此判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵收入元记作元，即收入用正数表示， ∴负数表示支出， ∴元表示支出元， 故选：． 【例2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在，，，，，，，，中，有理数有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数．根据定义，逐个判断每个数是否是有理数即可得到答案． 【详解】解：在，，，，，，，，中，有理数有，，，，，，，，共8个， 故选：C． 【例3】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若气温零上记作，则表示气温是______ ． 【答案】零下 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义，正数表示零上温度，负数表示零下温度进行求解即可． 【详解】解：由题意知，零上记作，则表示气温是零下． 故答案为：零下． 【例4】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）在，，，，，中，负分数有______个． 【答案】3 【知识点】正负数的定义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了负分数的识别，熟记概念是解题的关键，注意0既不是正数也不是负数． 根据小于0的数是负数，有限小数属于分数即可求解． 【详解】解：负分数有，，，共3个． 故答案为：3 【例5】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）将下列各数的序号填在相应横线上． ①，②9，③0，④，⑤，⑥ 正分数有：________；负整数有：________；非负整数有：________． 【答案】④⑤；⑥；②③ 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，根据大于0的分数为正分数，小于0的整数为负整数，非负整数包括正整数和进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，和都是大于0的分数， ∴正分数有：④⑤； 是小于0的整数， ∴负整数有：⑥； 9和都是非负整数 ∴非负整数有：②③． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的定义、0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【详解】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查了正负数的定义，根据既不是正数，也不是负数即可求解，正确理解正负数的定义是解题的关键． 【详解】解：选项中的数，既不是正数，也不是负数的是， 故选：． 【变式3】．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】 13 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 【变式4】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的括号里： ①，②5，③，④，⑤，⑥0． 正有理数集合：{__________________…}； 整数集合：{__________________…}； 【答案】②④；①②⑥ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，掌握相关知识是解决问题的关键．根据各类数的定义判断即可． 【详解】解：正有理数集合：； 整数集合：； 故答案为：②④；①②⑥． 【变式5】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把下列各数填到相应的括号内． 负有理数{                  …}； 分数{                  …}； 非负整数{                  …}． 【答案】见解析 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题考查了绝对值，有理数的分类，掌握有理数的分类是解题关键．先化简，再根据有理数的分类填数即可． 【详解】解：， 负有理数{…}； 分数{…}； 非负整数{…}． 【变式6】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）计算：把下列各数填入相应的大括号内： ，0，，，，，． 分数：{________________________}； 非负整数：{________________________}； 负有理数：{________________________}． 【答案】，，，；0，；， 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义，是解题的关键．根据有理数的分类方法，进行解答即可． 【详解】解：，， 分数：{，，，}； 非负整数：{0，}； 负有理数：{，}． 【题型二】数轴的三要素及其画法 【例6】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）下列图形是数轴的是 （       ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的定义，判断一条直线是否为数轴要具备以下几点：①有数轴的三要素：原点，单位长度，正方向，②单位长度是否一致，③必须向右为正方向；缺一不可． 根据数轴的三要素进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、没有原点，故它不是数轴，故选项A不符合题意； B、没有单位长度，故它不是数轴，故选项B不符合题意； C、没有正方向，故它不是数轴，故选项C不符合题意； D、有原点、正方向、单位长度，它是数轴，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式1】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图中缺少原点和正方向，故A错误； B、具备原点、正方向和单位长度，且数字排列顺序正确，故B正确； C、原点左侧负数排列顺序错误，应在的右侧，故C错误； D、到0的距离与0到1的距离不相等，即单位长度不统一，故D错误． 【变式2】．如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 【答案】 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查了数轴，先确定1单位长度为2cm，可知原点的位置，进而得出答案． 【详解】根据题意可知1个单位长度是2cm， ∴原点的位置在3cm处， ∴1cm处所对应的数是． 故答案为：． 【变式3】．在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东和处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西和处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 【答案】见解析 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】利用数轴的定义，规定1个单位长度（线段的长）代表长，确定方向，首先确定点O表示汽车站牌的位置，然后根据题意表示出情景即可． 【详解】如图，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线上任取一个点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度（线段的长）代表长；于是，在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C，分别表示柳树和杨树的位置；点O左边，与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E，分别表示槐树和电线杆的位置． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是先确定汽车站牌的位置，然后作为参照来找标注其它情景位置． 【题型三】用数轴上的点表示有理数 【例7】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列各数中与如图所示的有理数最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了有理数与数轴，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可知，然后即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知， A、B、C、D中只有， 故选：B． 【例8】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）数轴上将点向右移动2个单位长度恰好到达表示1的点，则点表示的数是______． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴上点的移动规律，熟练掌握“数轴上点向右移动个单位，数值增加”是解题的关键．根据数轴上点向右移动数值增加的规律，列方程求解． 【详解】解：设点表示的数为， ∵点向右移动个单位长度后表示的数为，且此时到达表示的点， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，如果把下面各数在数轴上表示出来，那么不在与2之间的数是（    ） A． B． C． D．1.98 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，结合题意将各数表示在数轴上，再进行判断，即可解题． 【详解】解：如图所示，将下面各数在数轴上表示出来， 由图知，不在与2之间的数是， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，可确定墨迹遮盖住的整数共有______个． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，有理数的分类，结合数轴可得得墨迹盖住的整数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：结合数轴，可得墨迹盖住的整数共有，，，共个， 故答案为：． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）数轴上，点表示的数分别为，请利用圆规作图． (1)如图1，若，请在数轴上画出原点； (2)如图2，若，在数轴上画出表示数的点； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）确定原点O的位置：以数b对应的点为圆心数b与数a对应的两点距离为半径画弧交数轴于另一点，即表示“0”的原点． （2）根据，以表示数的对应点为圆心，数与数对应点之间的距离为半径画弧交数轴于另一点，即原点“”，再以数对应点为圆心，数与数b之间距离为半径画弧交数轴于另一点，即数“”对应点； 【详解】（1）解：如图1，以数对应的点为圆心数与数对应的两点距离为半径画弧交数轴于另一点，即表示“”的原点． （2）表示数的点如图2所示， 【点睛】此题考查了数轴上点的表示，数轴上两点间的距离，数轴上作图方法，正确掌握数轴上两点间的距离计算方法确定特殊点的位置是解题的关键． 【题型四】利用数轴比较有理数的大小 【例9】．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）如图所示，若是实数在数轴上对应的点，则关于，，的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查根据数轴比较数的大小，根据题意得到的正负性是解题的关键．根据数轴可知，则，再根据点到原点的距离大于到原点的距离，即可确定出，，的关系，据此即可得到答案． 【详解】解：由数轴上点的位置关系可知，， ， ． 到原点的距离大于到原点的距离， ． 故选：A． 【例10】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）对于有理数m、n，如果，，那么n________（选填、、）． 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】此题考查有理数的大小比较，将各数表示在数轴上，利用数轴比较大小即可得 【详解】∵ ，， ∴将各数表示在数轴上： ∴ ， 即 ， 故答案为：> 【例11】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）在数轴上画出表示数，，，，的点，并把这组数从小到大用“”号连接起来． 【答案】，数轴见解析 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小，在数轴上表示出题目中的各数是解题的关键．先在数轴上表示出各数，然后依据数轴上右边的数大于左边的数进行比较即可． 【详解】解：，， 各数在数轴上的位置如图所示： 数轴上右边的数大于左边的数， ． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）有理数在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查数轴定义与性质，涉及利用数轴比较有理数的大小，理解数轴定义与性质是解决问题的关键． 根据数轴左边点对应的数小于右边的点对应的数，即可得到答案． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________． 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了有理数的大小比较，理解题意是解决本题的关键． 根据数轴可得和，进而即可得解． 【详解】解：由图可得，，且， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． ，，，0． 【答案】数轴表示见解析，； 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解决此题的关键是把不是最简形式的有理数化成最简；先把不是最简有理数形式化成最简的形式，再根据数轴上的点表示的数从左到右依次增大得到答案即可； 【详解】解：， ∴把数表示在数轴上为： 各个数大小比较为：． 【题型五】数轴上点的平移与两点之间的距离 【例12】．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）数轴上点A表示的数是1，将点A向右移动2个单位长度后，再向左移动3个单位长度，此时点A表示的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴上点的移动，向右移动表示加，向左移动表示减，通过直接计算可得结果； 【详解】解：∵点A起始表示的数为1， 向右移动2个单位长度：， 再向左移动3个单位长度：， ∴此时点A表示的数是0； 故选：A 【例13】．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）数轴上到原点的距离是3个单位长度的点表示的数（   ） A．3 B． C．3或 D．不能确定 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上点到原点的距离与绝对值的关系，解题的关键是理解“数轴上点到原点的距离等于该点表示数的绝对值”． 根据数轴上点到原点的距离定义，结合绝对值的意义求解该点表示的数． 【详解】设数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数为， 因为数轴上点到原点的距离等于该点表示数的绝对值， 所以． 根据绝对值的定义，解得或． 故选：C 【变式1】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）数轴上有两点、，点到点的距离为2，点到点距离为6，则、之间的距离为（   ） A．4 B．8 C．8或4 D． 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键．分类讨论：E在线段上，E在线段的反向延长线上，根据线段的差，可得答案． 【详解】解：当在线段上时，． 当在线段的反向延长线上时，， 综上所述：或， 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）数轴上表示的点与表示4的点之间的距离是__________． 【答案】7 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查两点之间的距离，数轴上两点之间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，据此列式计算即可． 【详解】解：表示的点与表示4的点之间的距离为． 故答案为7． 【题型六】数轴上整点覆盖问题 【例14】．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 【变式1】．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则_____． 【答案】9 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴．分不从整数开始覆盖和从整数开始覆盖两种情况讨论． 【详解】解：不从整数开始覆盖最少能覆盖4个表示整数的点，即， 从整数开始覆盖最多能覆盖5个表示整数的点，即． 所以． 故答案为：9． 【变式3】．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住部分的整数有___________个． 【答案】7 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题主要考查了数轴和整数的概念，根据数轴上墨迹覆盖的范围确定其中整数个数是解题的关键． 分别找出数轴上两处墨迹盖住部分的整数，再统计其总数即可． 【详解】解：根据数轴可得：墨迹盖住的整数共有，共7个． 故答案为7． 【题型七】数轴上的规律探究 【例15】．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故选：． 【变式1】．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上数字类的规律探索，关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系；圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从开始的整数分别对应圆上的、、、，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， ∴数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ∵， ∴数轴上表示的数与圆上表示的点重合， 故选：A ． 【变式2】．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 【变式3】．如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是_________． 【答案】60 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查利用数轴探求规律的问题，可以结合每次移动的距离得到序数相邻的两个点之间的距离，由最简单的开始分析可得规律； 根据点的每次移动的方向和移动的距离，可以得到则；；；；；根据每次数字的变化规律，可以得到这个距离是3的倍数，即字母的最大序数乘以3，由此可以得到的长度. 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点，则； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则； …… 所以第20次移动后得：. 故答案为：60. 【题型八】有理数大小比较 【例16】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列有理数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】根据有理数大小比较的基本法则求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 将四个数从小到大排列可得：， ∴最小的数是． 【例17】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）比较大小：___________2（填“”其中的一个）． 【答案】＜ 【知识点】有理数大小比较 【详解】解：根据题意，得． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 扬州 苏州 金华 厦门 A．金华 B．扬州 C．苏州 D．厦门 【答案】B 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】此题考查了比较有理数大小的应用．根据正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值大的反而小，据此即可得到解答． 【详解】解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是扬州， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）今年2月份的某一天，南京、苏州、徐州、连云港四个城市的最低气温分别是：，，其中气温最低的是_________． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较的方法可得答案． 【详解】解：∵ ∴其中气温最低的是 故答案为：． 【变式3】．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的化简，负数的大小比较，熟练掌握两个负数相比较，绝对值大的反而小是解题的关键． （1）先化简，再利用负数大小比较的原则解答即可； （2）利用负数大小比较的原则解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 【题型九】绝对值 【例18】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）的绝对值是（   ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值的定义，根据负数的绝对值是它的相反数即可求解． 【详解】解：∵负数的绝对值是它的相反数 又∵是负数 ∴ 故选：A． 【例19】．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）请根据以下检验记录（“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量），选出质量最接近标准质量的乒乓球的编号是（    ） 编号 偏差 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查的是绝对值的实际应用，本题先求解各数的绝对值后，再比较绝对值的大小即可求得答案． 【详解】解：各数的绝对值分别为：，，，， ∴绝对值最小的是， 则质量最接近标准质量的乒乓球的编号是， 故选：B． 【例20】．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）绝对值不大于6的非负整数的和为________． 【答案】 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】根据绝对值小于等于6的整数，排除负整数，余下求和即可． 【详解】解：根据绝对值的意义，绝对值不大于6的非负整数有0，1，2，3，4，5，6． 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，不大于的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【例21】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）绝对值为3的数是________． 【答案】3或 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查绝对值的求解，解题的关键是熟知绝对值的性质． 根据绝对值的定义，一个数的绝对值是它在数轴上到原点的距离，因此绝对值为3的数有3和． 【详解】设这个数为x，则， 根据绝对值的意义， 或. 故答案为：3或． 【变式1】．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）下列说法中，正确的有（    ） （1）绝对值相等的两个数必相同或互为相反数 （2）正数和零的绝对值等于它本身 （3）只有负数的绝对值是它的相反数 （4）一个数的绝对值必为正． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的性质逐一判断各说法是否正确即可． 【详解】解：∵绝对值相等的两个数必相同或互为相反数，如则或，∴（1）正确； ∵正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于0，也等于它本身，∴（2）正确； ∵负数的绝对值是它的相反数，但零的绝对值也是它的相反数（0的相反数是0），∴（3）错误； ∵零的绝对值为0，不是正数，∴（4）错误； ∴正确的有（1）和（2），共2个． 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）若，则一定是（  ） A．负数 B．零 C．负数或零 D．正数 【答案】C 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，属于基础题型．注意不要忽略零． 根据绝对值的非负性，由可推出的取值范围． 【详解】解：∵，且， ∴，即． ∴一定是负数或零． 故选：C． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． (2)数轴上表示x和两点之间的距离为；若数轴上表示x和2两点之间的距离为3，那么 ． (3)若式子有最小值，则该最小值为 ． (4)无论x取何值，都成立，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)，或； (3)； (4)． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）根据绝对值的性质得到当时最小，求解即可； （4）根据绝对值的性质得到表示x到1，，2，这四个点的距离之和，令，分析得到，即可得出答案． 当时，， 时，， 时，， 时，， 可以观察知：当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 【详解】（1）解：数轴上表示5和2的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：数轴上表示x和两点之间的距离为， ∵若数轴上表示x和2两点之间的距离为3， ∴， ∴或 故答案为：，或； （3）解：∵式子有最小值， ∴当时最小，最小值为， 故答案为：； （4）解：由数轴可知，表示x到1，，2，这四个点的距离之和， 令， 当时，， 时，， 时，， 时，， 可以观察知：当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综合以上：， ∴ ， ∴a的取值范围是． 【变式4】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为，则数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为______； (2)当取最小值时，符合条件的整数x有哪些？ (3)令，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)，1或 (2)，0，1，2 (3)时，最小，最小值为4 【知识点】绝对值的其他应用、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据两点之间的距离表示列式并计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离的意义知，本小问求x到和的距离和最短，则，找出其中的整数解即可； （3）根据数轴上两点间的距离的意义，本小问求数轴上x到，和3的距离和最短，则，进而的最小值可求． 【详解】（1）解：，分别表示的数为，， 数轴上表示和的两点和之间的距离是， 如果，则， 解得或； 故答案为：，1或； （2）解：当取最小值时， 即求数轴上x到和的距离和最短， 则， 符合条件的整数有，0，1，2． 故答案为：，0，1，2； （3）解：当取最小值时， 即求数轴上x到，和3的距离和最短， 则， 当时，最小， 即最小值为：． 故时，最小，最小值为4． 【题型十】相反数 【例22】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）的相反数是（ ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查相反数的概念，正确掌握相反数的概念是解题的关键． 根据相反数的概念即可求解． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【例23】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由． 【答案】是互为相反数，理由见解析 【知识点】相反数的定义、相反数的应用 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握互为相反数的两个数之和为0． 通过计算与的和，根据相反数的定义判断它们是否互为相反数． 【详解】是互为相反数， 理由：因为， 所以与互为相反数． 【变式1】．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若与5互为相反数，则x＝_____． 【答案】0 【知识点】相反数的应用 【分析】根据相反数的定义即可求得结果． 【详解】解：∵与5互为相反数， ∴， 解得：， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数的应用，正确计算是解题的关键． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏·期末）的相反数是________． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义．根据相反数的定义进行计算即可． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）利用所学的知识解决下列问题： (1)已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由； (2)如果是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数，那么与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)互为相反数，理由见详解 (2)互为相反数，理由见详解 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数定义是解决问题的关键． （1）由相反数定义直接验证即可得到答案； （2）由相反数定义直接验证即可得到答案． 【详解】（1）解：与互为相反数， 理由如下： ， 与互为相反数； （2）解：与互为相反数， 理由如下： 是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数， ， 即， ， 则与互为相反数． 【题型十一】化简多重符号 【例24】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）下列各数中，，，，，，其中负数的个数是（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【知识点】正负数的定义、化简多重符号 【分析】本题考查了负数和正数的定义，化简多重符号．先化简多重符号，再根据负数的定义，逐个分析判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是正数， ，，，都是负数，共4个， 故选：C． 【例25】．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）______． 【答案】2025 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数，根据有理数的相反数性质，负负得正，据此求解即可. 【详解】解：， 故答案为2025. 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查化简绝对值和化简多重符号，掌握相反数和绝对值的意义是解题关键．根据绝对值和相反数的定义解答即可． 【详解】解：A．，故错误，不符合题意； B．，故正确，符合题意； C．，故错误，不符合题意； D．，故错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）化简：______ 【答案】3 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查了多重符号的化简， 根据“括号前有偶数个负号，结果为正”解答即可. 【详解】解：. 故答案为：3. 【变式3】．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的应用 【分析】直接利用相反数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．，正确，不合题意； B．，正确，不合题意； C．，正确，不合题意； D．，原式错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 【变式4】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6) (7)当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ (8)当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)2 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)5，规律见解析 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，总结规律从而解决后面两小问是解题关键．根据相反数的意义，发现规律：“若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数”，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：当前面有2012个负号，化简后结果是； （8）解：当前面有2013个负号，化简后结果是， 规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数． 1. 核心数域：本章将数的范围从正数、0扩充到有理数，有理数包含所有整数和分数，核心区分依据是能否化为（m、n为整数，n≠0）的分数形式。 2. 三大核心工具：数轴（数形结合基础）、相反数（符号转化）、绝对值（距离定义、非负性），三者相互关联，是有理数运算、大小比较的基础。 3. 关键解题准则：判断数的属性优先看定义，比较大小优先用数轴或绝对值法则，遇到含-a、绝对值的题型，务必分类讨论（正数、0、负数），避免片面出错。 4. 核心思想：数形结合（数轴）、分类讨论（有理数分类、绝对值化简），是初中数学最基础的解题思想，贯穿整个有理数章节。 一、单选题 1．2024相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数和绝对值的定义，熟练掌握相反数和绝对值的定义是关键．按照定义先求出2024的相反数，再计算其绝对值即可得到结果． 【详解】解：2024的相反数是，． 故选：C． 2．《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家，若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作（   ） A．50元 B．元 C．30元 D．元 【答案】D 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作元， 故选：D． 3．不属于（   ） A．整数 B．有理数 C．分数 D．负数 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数，直接利用有理数以及整数、 分数的定义分析得出答案 ． 【详解】解：是有理数，分数，负数，故不属于正数，也不属于整数． 故选：A． 4．有下列各数：，，，0，，，11，其中正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查正负数的定义．根据大于零的数是正数即可求解． 【详解】解：正数有，，11，共3个． 故选：C． 5．如果|x|＝2，那么x＝(   ) A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义即可求解． 【详解】∵|±2|＝2， ∴x＝±2． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 6．已知，，，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，，可得，，，据此判定即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则：正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数大小比较的法则是关键． 7．若，则和的关系为（    ） A．和相等 B．和互为相反数 C．和相等或互为相反数 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】由绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数即可选出答案． 【详解】解：若， 则有，即和相等或互为相反数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的相关性质，牢记两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数是解题关键． 8．在﹣2，﹣1，0，1这四个整数中，绝对值最小的整数为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】C 【详解】﹣2，﹣1，0，1的绝对值分别是2，1，0，1， 根据有理数比较大小的方法，可得 0＜1＜2， ∴在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，绝对值最小的整数为0． 故选：C． 9．点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，3，若，则等于（   ） A．3 B．1 C．4或8 D．2或6 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，解题的关键是分类讨论．要求学生分情况讨论，，三点的位置关系，即点在线段上，点在线段的延长线上． 【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点在线段上，点在线段的延长线上，所以要分两种情况计算． 点、表示的数分别为、3， ． 第一种情况：在线段上， ∵， ∴； 第二种情况：在线段的延长线上， ∵， ∴； 故选：C． 二、填空题 10． ________． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的化简．根据负数的绝对值等于它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为： 11．在两千多年前我国就已经有了正负数的概念，三国时期的数学家刘徽提出了用正负数表示相反意义的量，若收入元记作元，则支出元记作 _________元． 【答案】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示； 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若收入元记作元，则支出元记作元． 故答案为：． 12．一袋糖果包装上印有“总质量”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为，则该袋糖果________（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查的是正数与负数，理解正负数的意义成为解题的关键． 由一袋糖果包装上印有“总质量”的字样，即食品在克与克之间都合格，据此即可解答． 【详解】解：∵一袋糖果包装上印有“总质量”的字样， ∴食品在克与克之间都合格， ∵在到范围内， ∴该袋糖果合格． 故答案为：合格． 13．在，，，，，中，非负数是________________，非负整数是________________． 【答案】 ，，，； ，，. 【分析】本题考查了有理数的分类和有理数的定义，掌握有理数的分类和有理数的定义是做题的关键．本题围绕非负数、非负整数的定义命题，需根据非负数是正数和，非负整数是正整数和，对给定数分类． 【详解】解：非负数是：，，，； 非负整数是：，，． 故答案为：，，，；，，． 14．比较大小：___________2．（用“”“ ”或“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．注意：正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】解：， 故答案为：． 15．若代数式与的值互为相反数，则m的值是___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：2． 16．化简下列各式： （1）___________ ； （2）___________ ； （3）___________ ； （4）___________ ． 【答案】 3 【分析】本题考查了绝对值的化简．直接利用绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 三、解答题 17．指出下列各数中的正数、负数、整数、分数： 【答案】正数有：、1、、、0.63； 负数有：、、、； 整数有：、、、1、0； 分数有：、、、0.63、． 【分析】根据正数、负数、整数和分数的定义，将各数进行分类即可． 【详解】解：正数有：、1、、、0.63； 负数有：、、、； 整数有：、、、1、0； 分数有：、、、0.63、． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是牢记正数、负数、整数和分数的定义并能识别． 18．已知，，且，求的值． 【答案】的值为13或7 【分析】本题考查了绝对值的非负性，以及求代数式的值，正确求出a和b的值是解答本题的关键．先根据，，且，求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； ∴的值为13或7． 19．求下列各数的绝对值：，，，0，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查绝对值．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 20．国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，那么： (1)向东行和向西行各怎么表示？ (2)，各表示什么意思？ 【答案】(1)向东行用表示，向西行用表示 (2)表示向东行，表示向西行 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据规定向东为正，向西为负，即可求解； （2）根据规定向东为正，向西为负，即可求解． 【详解】（1）解：规定向东为正，向西为负，向东行用表示，向西行用表示， （2）解：表示向东行，表示向西行 21．已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点B表示的数是0，点C表示的数是再在表示数轴表示各个数，最后比较大小，即可作答． （2）依题意，点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是即可满足到点A和点B的距离相等． 【详解】（1）解：∵点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数， ∴点B表示的数是0，点C表示的数是 ∵点A表示的数是， 则三点在数轴上表示如图所示． 根据数轴上左边的数小于右边的数可知，． （2）解：∵点B表示的数是0，点C表示的数是点A表示的数是 ∴点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是可以使它到点A和点B的距离相等． 22．某饭店的外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了到达小红家，继续向东走了到达小明家，然后又向西走了到达小刚家，最后回到饭店． (1)请以饭店为原点，以向东的方向为正方向，一个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上用点分别表示出饭店、小红家、小明家、小刚家的位置． (2)小刚家距小红家有多远？ (3)若小红和小刚两个人同时分别从自己家出发，小红以的速度步行到小明家，小刚以的速度骑自行车到小明家，则两个人能否同时到达小明家？若不能同时到达，则谁先到达？ 【答案】(1)详见解析 (2) (3)两个人不能同时到达小明家，小刚先到达小明家 【分析】（1）根据题意可以画出相应的数轴； （2）根据题意和（1）中的数轴，可以得到小刚家距小红家多远； （3）根据题意，可以分别计算出小红和小刚到达小明家的时间，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴如图所示， （2）解：由（1）可知，点A表示的数为2，点C表示的数为-2， 2-（-2）=2+2=4， 即小刚家距小红家4千米； （3）解：由题意可得， 小红步行到小明家的时间为：（小时）， 小刚到小明家的时间为：（小时）， ， 两个人不能同时到达小明家，小刚先到达小明家． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、数轴、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 有理数的基础概念（核心知识+6易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】正数与负数 1. 定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 2. 特殊数：0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点，是最小的自然数。 3. 实际意义：用来表示生活中具有相反意义的量。例如：零上与零下、收入与支出、上升与下降、向东与向西等。 4. 符号说明：正数前面的“+”号可以省略，负数前面的“-”号不能省略。 【知识点02】有理数的定义与分类 1. 有理数定义：整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以写成分数（m、n为整数，且n≠0）的形式。 2. 有理数两种分类方式 （1）按定义分类（整数、分数） 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数（包含有限小数、无限循环小数） （2）按正负性质分类 正有理数：正整数、正分数 0：单独一类，非正非负 负有理数：负整数、负分数 3. 关键结论：有限小数和无限循环小数都属于分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数（如π）。 【知识点03】数轴 1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 2. 核心性质： 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 数轴上右边的数总比左边的数大。 正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处。 【知识点04】相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 2. 基本性质： 0的相反数是0，是唯一相反数等于本身的数。 任意数a的相反数是-a（a可为正数、负数、0）。 互为相反数的两个数和为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0。 数轴上，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称。 3. 多重符号化简：符号个数为奇数，结果为负；符号个数为偶数，结果为正（奇负偶正）。 【知识点05】绝对值 1. 定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作|a|。 2. 绝对值性质（非负性）： 正数的绝对值是它本身：若a＞0，则|a|=a 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0 负数的绝对值是它的相反数：若a＜0，则|a|=-a 3. 核心结论：任何数的绝对值都是非负数（|a|≥0），绝对值最小的数是0。 【知识点06】有理数大小比较 正数＞0＞负数 两个正数比较：绝对值大的数更大 两个负数比较：绝对值大的数反而小 数轴比较法：右边的数始终大于左边的数 易错点1：有理数概念混淆 ❌ 错误认知：小数都是有理数、整数都是正数 ✅ 正确辨析：有限小数、无限循环小数是有理数；无限不循环小数（π、0.1010010001…）是无理数。整数包含正整数、0、负整数，0和负整数不是正数。 易错点2：对0的认知误区 ❌ 错误认知：0是正数、0没有相反数、0没有绝对值 ✅ 正确辨析：0非正非负；0的相反数、绝对值都是0，0是自然数，是有理数。 易错点3：相反数与符号误区 ❌ 错误认知：-a一定是负数、带负号的数就是负数 ✅ 正确辨析：a为负数时，-a是正数；a=0时，-a=0。判断正负看数值本身，不看表面符号。 易错点4：绝对值易错点 ❌ 错误认知：绝对值等于本身的数是正数、绝对值相等的数一定相等 ✅ 正确辨析：绝对值等于本身的数是非负数（正数+0）；绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数（如|3|=|-3|）。 易错点5：数轴概念误区 ❌ 错误认知：数轴上的点都是有理数 ✅ 正确辨析：有理数都能在数轴上表示，但数轴上还有无理数对应的点，二者不是一一对应关系。 易错点6：负数大小比较错误 ❌ 错误认知：-5＞-3（认为数字大的负数更大） ✅ 正确辨析：负数比较大小，绝对值越大，数值越小，故-5＜-3。 【题型一】正数和负数 【例1】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如果收入元记作元，那么元表示（    ） A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元 【例2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在，，，，，，，，中，有理数有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【例3】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若气温零上记作，则表示气温是______ ． 【例4】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）在，，，，，中，负分数有______个． 【例5】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）将下列各数的序号填在相应横线上． ①，②9，③0，④，⑤，⑥ 正分数有：________；负整数有：________；非负整数有：________． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【变式4】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的括号里： ①，②5，③，④，⑤，⑥0． 正有理数集合：{__________________…}； 整数集合：{__________________…}； 【变式5】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把下列各数填到相应的括号内． 负有理数{                  …}； 分数{                  …}； 非负整数{                  …}． 【变式6】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）计算：把下列各数填入相应的大括号内： ，0，，，，，． 分数：{________________________}； 非负整数：{________________________}； 负有理数：{________________________}． 【题型二】数轴的三要素及其画法 【例6】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）下列图形是数轴的是 （       ） A． B． C． D． 【变式1】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 【变式3】．在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东和处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西和处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 【题型三】用数轴上的点表示有理数 【例7】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列各数中与如图所示的有理数最接近的是（   ） A． B． C． D． 【例8】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）数轴上将点向右移动2个单位长度恰好到达表示1的点，则点表示的数是______． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，如果把下面各数在数轴上表示出来，那么不在与2之间的数是（    ） A． B． C． D．1.98 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，可确定墨迹遮盖住的整数共有______个． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）数轴上，点表示的数分别为，请利用圆规作图． (1)如图1，若，请在数轴上画出原点； (2)如图2，若，在数轴上画出表示数的点； 【题型四】利用数轴比较有理数的大小 【例9】．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）如图所示，若是实数在数轴上对应的点，则关于，，的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【例10】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）对于有理数m、n，如果，，那么n________（选填、、）． 【例11】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）在数轴上画出表示数，，，，的点，并把这组数从小到大用“”号连接起来． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）有理数在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． ，，，0． 【题型五】数轴上点的平移与两点之间的距离 【例12】．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）数轴上点A表示的数是1，将点A向右移动2个单位长度后，再向左移动3个单位长度，此时点A表示的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【例13】．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）数轴上到原点的距离是3个单位长度的点表示的数（   ） A．3 B． C．3或 D．不能确定 【变式1】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）数轴上有两点、，点到点的距离为2，点到点距离为6，则、之间的距离为（   ） A．4 B．8 C．8或4 D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）数轴上表示的点与表示4的点之间的距离是__________． 【题型六】数轴上整点覆盖问题 【例14】．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式1】．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则_____． 【变式3】．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住部分的整数有___________个． 【题型七】数轴上的规律探究 【例15】．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式3】．如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是_________． 【题型八】有理数大小比较 【例16】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列有理数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【例17】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）比较大小：___________2（填“”其中的一个）． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 扬州 苏州 金华 厦门 A．金华 B．扬州 C．苏州 D．厦门 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）今年2月份的某一天，南京、苏州、徐州、连云港四个城市的最低气温分别是：，，其中气温最低的是_________． 【变式3】．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【题型九】绝对值 【例18】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）的绝对值是（   ） A．3 B． C．3或 D． 【例19】．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）请根据以下检验记录（“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量），选出质量最接近标准质量的乒乓球的编号是（    ） 编号 偏差 A． B． C． D． 【例20】．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）绝对值不大于6的非负整数的和为________． 【例21】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）绝对值为3的数是________． 【变式1】．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）下列说法中，正确的有（    ） （1）绝对值相等的两个数必相同或互为相反数 （2）正数和零的绝对值等于它本身 （3）只有负数的绝对值是它的相反数 （4）一个数的绝对值必为正． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）若，则一定是（  ） A．负数 B．零 C．负数或零 D．正数 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． (2)数轴上表示x和两点之间的距离为；若数轴上表示x和2两点之间的距离为3，那么 ． (3)若式子有最小值，则该最小值为 ． (4)无论x取何值，都成立，则a的取值范围是 ． 【变式4】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为，则数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为______； (2)当取最小值时，符合条件的整数x有哪些？ (3)令，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 【题型十】相反数 【例22】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）的相反数是（ ） A． B． C． D．以上都不是 【例23】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由． 【变式1】．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若与5互为相反数，则x＝_____． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏·期末）的相反数是________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）利用所学的知识解决下列问题： (1)已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由； (2)如果是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数，那么与有什么关系？请说明理由． 【题型十一】化简多重符号 【例24】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）下列各数中，，，，，，其中负数的个数是（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【例25】．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）______． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）化简：______ 【变式3】．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6) (7)当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ (8)当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 1. 核心数域：本章将数的范围从正数、0扩充到有理数，有理数包含所有整数和分数，核心区分依据是能否化为（m、n为整数，n≠0）的分数形式。 2. 三大核心工具：数轴（数形结合基础）、相反数（符号转化）、绝对值（距离定义、非负性），三者相互关联，是有理数运算、大小比较的基础。 3. 关键解题准则：判断数的属性优先看定义，比较大小优先用数轴或绝对值法则，遇到含-a、绝对值的题型，务必分类讨论（正数、0、负数），避免片面出错。 4. 核心思想：数形结合（数轴）、分类讨论（有理数分类、绝对值化简），是初中数学最基础的解题思想，贯穿整个有理数章节。 一、单选题 1．2024相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 2．《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家，若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作（   ） A．50元 B．元 C．30元 D．元 3．不属于（   ） A．整数 B．有理数 C．分数 D．负数 4．有下列各数：，，，0，，，11，其中正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如果|x|＝2，那么x＝(   ) A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或 6．已知，，，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若，则和的关系为（    ） A．和相等 B．和互为相反数 C．和相等或互为相反数 D．以上答案都不对 8．在﹣2，﹣1，0，1这四个整数中，绝对值最小的整数为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 9．点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，3，若，则等于（   ） A．3 B．1 C．4或8 D．2或6 二、填空题 10． ________． 11．在两千多年前我国就已经有了正负数的概念，三国时期的数学家刘徽提出了用正负数表示相反意义的量，若收入元记作元，则支出元记作 _________元． 12．一袋糖果包装上印有“总质量”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为，则该袋糖果________（填“合格”或“不合格”）． 13．在，，，，，中，非负数是________________，非负整数是________________． 14．比较大小：___________2．（用“”“ ”或“”连接） 15．若代数式与的值互为相反数，则m的值是___________． 16．化简下列各式： （1）___________ ； （2）___________ ； （3）___________ ； （4）___________ ． 三、解答题 17．指出下列各数中的正数、负数、整数、分数： 18．已知，，且，求的值． 19．求下列各数的绝对值：，，，0，，． 20．国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，那么： (1)向东行和向西行各怎么表示？ (2)，各表示什么意思？ 21．已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 22．某饭店的外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了到达小红家，继续向东走了到达小明家，然后又向西走了到达小刚家，最后回到饭店． (1)请以饭店为原点，以向东的方向为正方向，一个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上用点分别表示出饭店、小红家、小明家、小刚家的位置． (2)小刚家距小红家有多远？ (3)若小红和小刚两个人同时分别从自己家出发，小红以的速度步行到小明家，小刚以的速度骑自行车到小明家，则两个人能否同时到达小明家？若不能同时到达，则谁先到达？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $