专题2.3 圆与圆的位置关系（七大题型）（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以圆与圆位置关系为核心，通过七类题型系统覆盖从基础判断到综合应用的逻辑链条，强化几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断位置关系|6题|直接运用圆心距与半径关系判定|基于位置关系概念，为后续应用奠基| |求参数|6题|结合位置关系列方程求参数值|深化对位置关系数量化的理解| |求交点坐标|6题|联立方程或利用几何性质求交点|体现代数与几何方法的结合| |公共弦长与方程|9题|求公共弦方程及长度，涉及距离公式|延伸相交位置关系的几何量计算| |公切线条数|8题|由位置关系判断公切线条数|关联位置关系与切线几何特征| |公切线方程|7题|求公切线方程，含多圆相切问题|综合运用切线性质与方程思想| |综合应用|9题|多知识点融合，含证明与探究题|提升知识迁移与问题解决能力|

专题2.3 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 题型二 根据圆与圆的位置关系，求参数 题型三 求两圆的交点坐标 题型四 两圆的公共弦长与公共弦方程 题型五 圆的公切线条数 题型六 圆的公切线方程 题型七 综合应用 题型一：判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 2．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】求二次函数的值域或最值、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 4．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】利用配方法，结合圆心距、两圆半径和差之间的关系进行判断即可. 【详解】圆的半径为. 圆， 所以该圆的半径为，圆心坐标为. 因为， 所以两圆相外切. 故选：C 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 【答案】相交 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断即可． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 6．（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是_______. 【答案】相交 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用两圆的位置关系判定可得答案. 【详解】对于，配方得：， 圆心为，半径， 对于，配方得：， 圆心为，半径， 两圆心之间的距离， 半径和：， 半径差的绝对值：， 满足 ，即 . 因此，两圆相交. 故答案为：相交 题型二：根据圆与圆的位置关系，求参数 1．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，    于是. 2．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由相切性质可计算出圆的半径的最小值，则可求出点坐标，即可得其标准方程. 【详解】设圆C的半径为，则，即， 则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上， 即在上，设， 则，解得， 则，又，故其标准方程为. 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 4．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 5．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若圆与圆相切，则实数的一个取值为__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再分两圆相外切与两圆相内切两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径； 又点与点的距离， 因为两圆相切， 若两圆相外切，则，即，解得； 若两圆相内切，则，即，解得； 综上可得或. 故答案为：或. 6．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆相交可得，结合条件即可解得的取值范围. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， 且， 由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为， 故答案为：. 题型三：求两圆的交点坐标 1．（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和B．和 C．和 D．和 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程、求两圆的交点坐标 【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得交点坐标. 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、求两圆的交点坐标 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 3．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求两圆的交点坐标 【分析】联立方程可求解两圆的交点，即可根据对称性求解面积. 【详解】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B    4．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 5．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求两圆的交点坐标 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 6．圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为________. 【答案】（或） 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求两圆的交点坐标 【分析】先求出两圆的交点，利用直接法或者待定系数法可求圆的方程，或者利用圆系方程求解. 【详解】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 题型四：两圆的公共弦长与公共弦方程 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、由标准方程确定圆心和半径 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 3．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证，最后利用平行线距离公式即可得到答案. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：C 5．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【难度】0.55 【知识点】直线过定点问题、相交圆的公共弦方程、切线长、圆的弦长与中点弦 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 6．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 7．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、判断圆与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 8．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化、两圆的公共弦长、由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】根据题意，圆及圆， 则联立方程组，消去二次项，变形可得：， 即两圆的公共弦所在的直线方程为； 联立方程组， 解得交点坐标为， 所以公共弦的中点为， 以公共弦为直径的圆的半径， 所以以公共弦为直径的圆的标准方程为. 9．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知圆，过点作圆的切线，切点为，则直线的方程为___________线段AB的长度为___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】由题意在以为圆心，的长为半径的圆，求得圆的方程，与圆方程相减可得直线的方程，进而求得点到直线的距离，进而利用弦长公式可求得. 【详解】因为过点作圆的切线，切点为， 所以在以为圆心，的长为半径的圆， 由圆，得， 所以圆心，半径为，又， 所以，所以以为圆心， 以为半径的圆的方程为，即， 两圆方程相减得直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以. 故答案为：①；②. 题型五：圆的公切线条数 1．（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.76 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据公切线条数判断两圆的位置关系，再根据圆心距列式求解. 【详解】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为. ∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得. 2．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 3．（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线条数 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 4．（25-26高二上·黑龙江·期末）已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】判断两圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距， 所以两圆相外切， 所以这两圆的公切线的条数为3条. 故选：C. 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系，以确定两圆公切线的条数. 【详解】圆，圆心，半径. 圆16，圆心，半径. 所以， 则， 则两个圆相交，所以两圆的公切线有2条． 故选：C． 6．（25-26高三上·河南·阶段检测）圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】判断两圆的位置关系即可得解. 【详解】由题意可得圆与圆的圆心分别为，半径分别为， 因为，所以， 所以两圆相交，其公切线条数为2， 故选：B. 7．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】首先根据两圆的圆心距与半径之间的关系判断两圆的位置关系，进而可知公切线的条数． 【详解】由圆：，可知其圆心为，半径为； 由圆：，即，可知其圆心为，半径为． 所以两圆的圆心距为， 所以，所以两圆外切，所以公切线的条数为3． 故选：C． 8．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线可得两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理可得关于的一元二次方程，根据结合判别式，即可得答案. 【详解】把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 若两圆恰有三条公切线，则两圆外切， 故两圆圆心距离等于两圆半径和， 即，化简可得， 令，则代入得 ， 因为，所以， 解得， 则的最大值为. 故选：B. 题型六：圆的公切线方程 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 2．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线方程 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 3．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）（多选题）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 【答案】AD 【难度】0.38 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、相交圆的公共弦方程、点与圆的位置关系求参数、圆的公切线条数 【分析】求出判断A；确定两圆位置判断B；求出公共弦所在直线方程判断C；分类求出点的轨迹求解判断D. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，， 对于A，由圆过点，得，圆：过原点，A正确； 对于B，当时，，圆内切于圆，两圆有一条公切线，B错误； 对于C，当圆与圆相交时，，即，两圆公共弦所在直线方程为， 由相交弦所在直线过点，得，解得，C错误； 对于D，由以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，得或或， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为1， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 因此P到点距离的最小值为，D正确. 4．（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 【答案】（或，） 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】由题知两圆位置关系为外切，有三条公切线，进而作出图象，结合图象可设公切线方程为，再根据相切关系建立方程，，两式作比得，再分类求解即可. 【详解】由题知的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 所以，故两圆位置关系为外切，有三条公切线. 如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程为， 则由直线与相切得：，即， 由直线与相切得：，即， 所以，即， 所以， 当时，，代入整理得，解得或， 此时公切线方程为（）或， 当时，，代入整理得，解得，此时公切线方程为（）， 综上，所求的公切线方程为，或 故答案为：（或，） 5．（24-25高二上·山东潍坊·阶段检测）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程、圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程. 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 6．写出圆：与圆：的一条公切线方程________． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【答案】或（写一条即可） 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线方程 【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 题型七：综合应用 1．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数、圆的公切线方程 【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D. 【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.    故选：C 2．（多选题）已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 【答案】ABD 【难度】0.68 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据圆的方程、圆心距、圆与圆的位置关系逐项计算判断即可. 【详解】对于A，将的方程化简得，所以圆心坐标为. 可知直线经过的圆心，所以对任意正整数，直线平分的面积，A正确； 将的方程化简得， 可知圆心到直线的距离为，与轴相切， 故直线关于直线的对称直线也与相切，所以B正确； 结合B选项可知圆心到直线的距离，所以直线与相离，所以C错误； 将的方程化简得，其圆心坐标为，半径为. 的方程为，化简为，其圆心坐标为，半径为. 所以与的圆心距始终为，而对任意正整数与的半径之和， 对任意正整数有，半径之差，所以对任意正整数与相交，D正确. 3．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.28 【知识点】求两圆的交点坐标、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值； D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设与轴交于、，连接 ，，    因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图：    连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于，    因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图：    设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 4．（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【难度】0.66 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出圆的圆心和半径，由已知可得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交，并求出的范围，再结合圆的性质建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆上恰有两个点与点的距离都为2，得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交， 则，即，令圆心到直线的距离为， 于是直线上任意点到圆心距离都不小于，又直线上至少存在一点， 使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 5．（2026·浙江温州·二模）已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】圆的公切线条数、由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系 【详解】由圆，得圆心，半径， 又由圆，得，半径， 圆心距，当两圆外离时公切线最多，共有4条， 所以满足， 即存在这样的，故第一空答案为； 由3个公切线交点在轴上，注意到到的距离为1，恰好是的切线， 若也是的公切线，则到的距离为，得，符合外离条件， 此时是一条公切线，它和另外三条公切线的交点都在轴上，满足题意，    设斜率存在的公切线为，由公切线条件可得： ，作商可得：， 可得或， 整理得：或， 当时，代入， 当时，代入， 所以当时，， 当时，， 从而可得三条公切线方程分别为： 由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 则，点到直线的距离为， 所以另外三个交点围成的三角形面积为：. 6．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【难度】0.74 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 7．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)设两圆的交点为A，B，求 （i）过点A，B，且圆心在直线上的圆的方程； （ii）求圆在点A或点B处的切线方程（任选一条求之即可）. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）;（ii）过点A的切线方程为（过点B的切线方程为） 【难度】0.65 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、由圆心（或半径）求圆的方程、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）确定两圆的圆心和半径，求出圆心距与两圆半径的和、差比较可得； （2）（i）求出两圆交点坐标，设出圆心坐标，由圆心到这两个交点距离相等求得参数值 ，得圆心坐标，再计算出半径后可得圆方程．（ii）求出切线斜率，利用直线的点斜式方程可求得答案. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为， 圆：即，圆心为，半径为， 则，可知， 故圆与圆相交； （2）（i）联立，解得或， 则不妨取， 设圆心在直线上的圆的圆心为， 则，即，解得， 则圆心为，半径为， 故所求圆的方程为； （ii）圆：，求其在处的切线方程， 而，则切线斜率为，则切线方程为，即； 同理可求得在点B处的切线方程为. 8．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）已知圆，圆，求： (1)圆的标准方程，以及圆心的坐标和半径； (2)圆与圆的位置关系. 【答案】(1)，圆心为，半径为. (2)两圆外切 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断. 【详解】（1）由圆可得， 圆的标准方程为， 其圆心为，半径为. （2）圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 因为圆心距， 所以两圆外切. 9．（25-26高二上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点．以Q为圆心，QP为半径的圆Q，与圆O相交于E，F两点，    (1)证明：点P到直线EF的距离为定值，并求出此定值． (2)若圆Q与圆恒有公共点，求r的取值范围； 【答案】(1)证明：设，圆Q的半径， 则圆Q方程为， 整理得， 又圆， 两圆方程相减，整理得相交直线EF的方程为， 所以P到直线EF的距离， 因为Q在圆O上，所以， 所以P到直线EF的距离， 即点P到直线EF的距离为定值； (2) 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）利用圆与圆的相交，求相交直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可证明． （2）首先确定圆的半径的范围，再利用圆与圆恒有公共点，得，列不等式组求解出r的取值范围； 【详解】（1）略 （2）解：因为，，所以圆Q的半径， 又圆Q与圆恒有公共点，且圆心之间的距离为， 所以对任意恒成立， 所以，解得：， 所以r的取值范围为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 题型二 根据圆与圆的位置关系，求参数 题型三 求两圆的交点坐标 题型四 两圆的公共弦长与公共弦方程 题型五 圆的公切线条数 题型六 圆的公切线方程 题型七 综合应用 题型一：判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 4．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 6．（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是_______. 题型二：根据圆与圆的位置关系，求参数 1．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 4．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若圆与圆相切，则实数的一个取值为__________. 6．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 题型三：求两圆的交点坐标 1．（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和B．和 C．和 D．和 2．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 4．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 6．圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为________. 题型四：两圆的公共弦长与公共弦方程 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 3．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 6．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 7．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 8．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 9．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知圆，过点作圆的切线，切点为，则直线的方程为___________线段AB的长度为___________ 题型五：圆的公切线条数 1．（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26高二上·黑龙江·期末）已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 6．（25-26高三上·河南·阶段检测）圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型六：圆的公切线方程 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）（多选题）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 4．（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 5．（24-25高二上·山东潍坊·阶段检测）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______. 6．写出圆：与圆：的一条公切线方程________． 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 题型七：综合应用 1．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 2．（多选题）已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 3．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 4．（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 5．（2026·浙江温州·二模）已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 6．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 7．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)设两圆的交点为A，B，求 （i）过点A，B，且圆心在直线上的圆的方程； （ii）求圆在点A或点B处的切线方程（任选一条求之即可）. 8．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）已知圆，圆，求： (1)圆的标准方程，以及圆心的坐标和半径； (2)圆与圆的位置关系. 9．（25-26高二上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点．以Q为圆心，QP为半径的圆Q，与圆O相交于E，F两点，    (1)证明：点P到直线EF的距离为定值，并求出此定值． (2)若圆Q与圆恒有公共点，求r的取值范围； 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $