专题2.2 直线与圆的位置关系 (九大题型)（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以九类题型系统覆盖直线与圆位置关系全考点，从基础判断到综合应用，逻辑递进，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系判断|6题|直接判断及含参数判断|从定义出发，通过圆心到直线距离与半径比较，构建基础认知| |参数求解|6题|由位置关系求参数范围或值|深化距离公式应用，结合不等式与方程思想| |距离最值|6题|圆上点到直线距离及切线长最值|转化为圆心距与半径关系，培养转化思维| |弦长问题|10题|求弦长及最值|应用垂径定理，建立弦长与圆心距的数量关系| |切线问题|7题|切线方程、切线长及参数求解|结合切线性质，强化方程思想与几何直观| |综合应用|4题|多知识点交汇的探究题|整合位置关系、弦长、面积等，提升逻辑推理能力|

专题2.2 直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 题型二 由直线与圆的位置关系，求参数 题型三 由直线与圆的位置关系，求距离的最值 题型四 求圆的弦长 题型五 由圆的弦长，求参数或方程 题型六 切线、切线长与切点弦问题 题型七 由切线问题，求参数 题型八 圆内接三角形问题 题型九 综合问题 题型一：判断直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中， 所以，即， 由于圆的半径，所以圆心到直线的距离， 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交； 所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 5．（24-25高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系是________． 【答案】相离 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心与直线距离，并与半径比大小，即可得答案. 【详解】由的圆心为，半径为1， 圆心到的距离， 所以直线与圆相离. 故答案为：相离 6．直线与圆的位置关系是_________ . 【答案】相交 【难度】0.94 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 题型二：由直线与圆的位置关系，求参数 1．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 2．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 3．（2026·河北·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】充要条件的证明、由直线与圆的位置关系求参数 【详解】当时，圆的方程，即， 圆心为，半径，圆心到直线的距离， 此时圆与直线相切，满足充分性； 当直线与圆相切时， ，∴或，圆心为，半径， 圆心到直线的距离与半径相等，即， ∴，两边同时平方整理得，∴或（舍去）， 此时，满足必要性. ∴“”是“直线与圆相切”的充要条件. 4．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 5．若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆，画出图象，平行移动直线观察与半圆有交点的情况，得出的取值范围. 【详解】如图所示，曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆， 直线是斜率为的直线，是直线的纵截距. 当直线过点时，取得最小值，此时； 当在第二象限与曲线相切时，取得最大值， 此时，到，即的距离为1， 所以，所以. 显然，所以. 所以实数b的取值范围是. 6．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 【答案】0或. 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由圆知，，半径. 由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和， 根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离. 根据点到直线的距离公式知，，所以， 平方整理得，即，解得或. 题型三：由直线与圆的位置关系，求距离的最值 1．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.81 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 2．（2026·河南周口·模拟预测）已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】轨迹问题——直线、轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 3．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 4．（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 5．已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据条件得直线过定点，利用点与圆的位置有关系的判断方法，可得点在圆内，进而可得当时，圆心到直线距离最大，即可求解. 【详解】由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 又由，得到，所以圆心为，半径为， 又，所以点在圆内， 当时，圆心到直线距离最大，最大值为， 故答案为：. 6．（2025高二上·江苏南京·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为____________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据圆C的方程，可得其圆心和半径，分析可得点P在圆内，且直线l的斜率存在，设，可得，坐标，根据题意可得，整理可得Q点轨迹，根据点到直线距离公式，分析计算，即可得答案. 【详解】    易知圆的圆心为，半径， 又，所以在圆内， 因为，垂足为Q，由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得， 设点，则，， 所以，即， 故点Q的轨迹方程为（除点外）， 又圆心到直线的距离为， 则点Q到直线的最大距离为． 故答案为： 题型四：求圆的弦长 1．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆中的定点定值问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以当取最大值时，最小. 因为直线过定点，所以的最大值为， 所以的最小值为. 2．（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由直线的方程可确定直线过定点，则当点到直线的距离的最大值为时，取最小值. 【详解】直线，可化为，则直线过定点， 圆配方得，可得圆心，半径， 所以，即点在圆内， 则当点到直线的距离的最大值为时，， 故选：C． 3．（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 5．（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【详解】 由整理为： ， 所以联立方程组得， 解得，即直线恒过定点， 因为，所以圆心，半径， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点在圆内，直线与圆始终相交， 当最大时，弦长最小；当直线时，， 所以弦长最小值为：. 6．（2026·湖南·二模）过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆的弦长与中点弦 【详解】过点且倾斜角为的直线，即． ∵圆，即， ∴圆心坐标为，圆心到直线l的距离， ∴直线被圆截得的弦长. 7．（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值. 【详解】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 【点睛】方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于；最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为（为圆心到定点的距离）. 8．（2026·四川眉山·模拟预测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆的弦长与中点弦 【详解】曲线的方程可化为，是一个圆， 其圆心为，半径， 直线即到圆心的距离， 则弦长. 9．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式可求圆心到直线的距离，再利用勾股定理可得弦长. 【详解】圆方程可化为，圆心，半径. 弦心距， 所以. 10．（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【难度】0.7 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 题型五：由圆的弦长，求参数或方程 1．（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【难度】0.64 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 2．（2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用垂径定理计算出弦长，其中为圆心到直线的距离，再计算出,再利用点到直线的距离公式计算出. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 直线l的一般式方程为. 由弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 则，得，即， 又， 解得. 3．（2026高三·全国·专题练习）直线与圆相交于两点且，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.73 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则， 由题意可得圆的半径， 且有， 所以，， 所以， 即， 即， 解得. 4．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.68 【知识点】直线过定点问题、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据给定的直线方程求出定点坐标，再确定定点与圆的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得解. 【详解】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点， 将化为标准形式， 因为，所以点在圆内， 而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值， 又直线的斜率，所以. 5．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 【答案】或 【难度】0.7 【知识点】已知点到直线距离求参数、由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为. 若直线与圆相交所得弦长，则圆心到直线的距离为. 所以，化简得，解得或. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线：（）与圆相切，且被圆截得的弦长为，则________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用直线与圆相切列出关于的方程，再由弦长求出弦心距，利用圆心到直线的距离等于弦心距再列关于的方程，解方程组即可求解. 【详解】由直线：（）与圆相切，得，① 又直线：（）被圆截得的弦长为， 所以，② 联立①②可得，（）． 故答案为： 7．（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，过单位圆上一点作圆的切线，定点，若线段的垂直平分线与直线交于点，则的最小值为________. 【答案】/ 【难度】0.45 【知识点】求点到直线的距离、切线长、求平面轨迹方程 【分析】先确定点的轨迹，再利用点到直线的距离公式求的最小值. 【详解】如图： 设， 因为在线段的垂直平分线上，所以. 又直线与相切，所以. 所以， 所以，整理得：. 即点的轨迹为直线. 所以的最小值为点到直线的距离，为. 题型六：切线、切线长与切点弦问题 1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】切线长 【分析】分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【详解】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 2．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、切线长、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 题型七：由切线问题，求参数 1．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由得到当最小时，最小，此时与直线垂直，求出圆心到直线的距离，从而得到的最小值. 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为3． 因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直． 因为圆心到直线的距离为， 所以，故． 答案为：D.    2．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、已知切线求参数 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 3．（24-25高三上·福建福州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、已知切线求参数 【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识即可求出点的坐标. 【详解】由圆的圆心为， 由图知，当直线关于直线对称时，与直线垂直. (理由：设直线切圆于点，易得平分， 又直线关于直线对称，故直线平分的邻补角，故可得) 故直线的方程为，即， 由解得：，即点的坐标为. 故选：B. 4．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】求得反射光线的方程为，再利用直线与相切时，求解即可. 【详解】如图： 点关于轴的对称点为， 直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线， 则直线与圆相切， 且圆心为，半径为1， 可得，解得． 故答案为： 5．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，设所求直线的方程为，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 设所求直线的方程为，即， 由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，可得，解得， 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 题型八：圆内接三角形问题 1．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、圆内接三角形的面积 【分析】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【难度】0.4 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆内接三角形的面积 【分析】（1）根据题意，设，，利用直线与圆相切，利用几何法可得出关于的等式，可求出的值，由此可得出圆的方程； （2）（i）分析可知的面积为，利用三角形的面积公式可求出的大小，分析可知直线的斜率存在，设该直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值即可； （ii）对两直线的斜率是否存在进行分类讨论，求出、，再利用四边形的面积公式可求得的最小值. 【详解】（1）设点，， 因为圆与直线相切， 所以点到该直线的距离为，因为，解得， 故圆的方程为. （2）（i）因为的面积为，，所以的面积为， 即，所以， 若，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 若，则圆心到直线的距离为，合乎题意， 所以圆心到直线的距离为， 易知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，即直线的斜率为. （ii）当、中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为， 此时；    当直线、的斜率都存在时， 设直线的方程为，则直线的方程为， 所以点到直线的距离为，则， 同理可得， 所以 ， 综上所述，，即四边形面积的最小值为. 3．（25-26高三上·云南临沧·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、圆内接三角形的面积 【分析】（1）根据弦长得到圆心到直线的距离，然后分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论即可； （2）根据面积公式得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为圆 ，所以 ， 所以圆 的圆心为 ，半径为 设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，所以 当直线 的斜率不存在时， ，此时 当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，则 ， 所以 ，所以 ，所以 ，即 ， 综上可知：直线 的方程为 或 （2） 的面积 ， 由 的性质可知 ， 所以 ， 当且仅当 时，即 时等号成立， 所以 的面积的最大值是 4．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. (1)直线与轴交于点，且，求直线的方程； (2)设AB的中点为，若，求的面积； (3)设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)或9； (3)是定值，. 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、直线的点斜式方程及辨析、圆内接三角形的面积、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）设出直线的方程，表示出点，再利用数量积的坐标表示列式求解并验证即得. （2）设出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理结合两点间距离公式求出直线的方程，进而求出三角形面积. （3）由（2）中信息，利用斜率坐标公式计算得证. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，点，而， 显然直线的斜率存在，设其方程为，则， ，由，得，解得或， 当时，直线：，圆心到直线距离，符合题意； 当时，直线：，圆心到直线距离，不符合题意， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，由，得， 设，则， 点，由，得， 整理得，即， 而点在直线上，即，因此，即或， 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为； 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为， 所以的面积为或9． （3）由（2）知，，而，则， 于是 ， 所以是定值. 题型九：综合问题 1．已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 【答案】(1)证明：直线过定点，直线过定点. 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. (2)最大值为，或． 【难度】0.52 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、由斜率判断两条直线垂直、直线过定点问题、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示及两直线垂直斜率之积为证明即可. （2）设定圆圆心为，结合几何关系求解面积的最大值及取最大值时点的位置，结合两直线垂直求出方程，与定圆方程联立求出点坐标，代入直线即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. 又，则，所以直线：，即． 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， 所以直线为或，即或． 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. (1)求直线的一般方程； (2)若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 【答案】(1)选①，直线的方程为，选②，直线的方程为，选③，直线的方程为 (2)4 【难度】0.72 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）①应用垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程；②根据方向向量得出斜率，再点斜式得出直线方程；③应用平行得出斜率，再点斜式得出直线方程； （2）应用点到直线的距离及圆的半径，再结合几何法计算得出弦长即可. 【详解】（1）选①；因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为.即 选②:因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 依题意，直线的方程为，即； 选③:因为直线的斜率为，又因为直线与平行， 所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为，即 （2）圆的圆心到直线的距离为 由圆的半径为，可知 3．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】(1) 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【详解】（1）略 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 【答案】(1)或 (2)点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分 【难度】0.65 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、直线的点斜式方程及辨析、圆的弦长与中点弦、求平面轨迹方程 【分析】（1）利用两直线夹角公式求出直线的斜率，再求直线方程即可. （2）利用垂径定理得到，根据向量垂直的坐标表示结合直线与圆的位置关系即可求出点的轨迹. 【详解】（1）圆可化为，圆心坐标为，半径为. 直线：，斜率为. 设直线的斜率为，则，即， 解得或. 当时，直线方程为，即； 当时，直线方程为，即； 所以直线方程为或. （2） 设，因为是弦中点，所以，所以. 又，， 所以，即， 整理得. 因为直线与圆相交于两点，所以点应在圆的内部. 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 题型二 由直线与圆的位置关系，求参数 题型三 由直线与圆的位置关系，求距离的最值 题型四 求圆的弦长 题型五 由圆的弦长，求参数或方程 题型六 切线、切线长与切点弦问题 题型七 由切线问题，求参数 题型八 圆内接三角形问题 题型九 综合问题 题型一：判断直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 2．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 5．（24-25高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系是________． 6．直线与圆的位置关系是_________ . 题型二：由直线与圆的位置关系，求参数 1．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 2．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 3．（2026·河北·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 6．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 题型三：由直线与圆的位置关系，求距离的最值 1．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 2．（2026·河南周口·模拟预测）已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 4．（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 5．已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 6．（2025高二上·江苏南京·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为____________. 题型四：求圆的弦长 1．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 5．（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 6．（2026·湖南·二模）过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 7．（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 8．（2026·四川眉山·模拟预测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 9．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 10．（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 题型五：由圆的弦长，求参数或方程 1．（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 2．（2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）直线与圆相交于两点且，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 4．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线：（）与圆相切，且被圆截得的弦长为，则________． 7．（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，过单位圆上一点作圆的切线，定点，若线段的垂直平分线与直线交于点，则的最小值为________. 题型六：切线、切线长与切点弦问题 1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 题型七：由切线问题，求参数 1．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建福州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 5．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 题型八：圆内接三角形问题 1．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 3．（25-26高三上·云南临沧·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最大值． 4．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. (1)直线与轴交于点，且，求直线的方程； (2)设AB的中点为，若，求的面积； (3)设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 题型九：综合问题 1．已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. (1)求直线的一般方程； (2)若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 3．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $