专题2.4 圆与方程易错必刷题型专训（60题15个考点）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题2.4 圆与方程易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 由圆心（或半径）求圆的方程】 1．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业）（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 4．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程. 【易错必刷二 求过已知三点的圆的标准方程】 5．（23-24高二上·河南周口·期中）过点，，三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 8．（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【易错必刷三 由标准方程确定圆心和半径】 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）圆的圆心和半径分别是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·广东·开学考试）曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 11．（2022·山东潍坊·二模）若圆与圆的交点为A，B，则 ． 12．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）求过三点P（2，2），M（5，3），N（3，－1）的圆的方程，并求出圆心和半径. 【易错必刷四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 13．（22-23高二上·河南商丘·期中）已知圆的直径为4，则（    ） A． B． C．圆心为 D．圆心为 14．（多选题）（24-25高二上·海南·期中）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．圆关于直线对称 C．若，则圆过坐标原点 D．若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 15．（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）若圆的半径为2，则实数的值为 . 16．（24-25高二·江苏·课后作业）下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心的坐标和半径． (1)； (2)； (3)． 【易错必刷五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 17．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（多选题）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 19．（24-25高二上·北京·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为 . 20．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列二元二次方程是否表示圆，如果是，请求出圆的圆心坐标及半径． (1)； (2)； (3)． 【易错必刷六 求圆的一般方程】 21．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）若直线与两坐标轴交点为，，则过、及原点三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 23．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点外接圆的方程是 24．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆过两点且圆关于直线对称，求的的方程． 【易错必刷七 圆过定点问题】 25．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 27．（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 28．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【易错必刷八 由圆的一般方程确定圆心和半径】 29．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（    ） A． B． C． D． 30．（多选题）（22-23高二上·浙江·阶段练习）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．圆的半径为5 C．点不在圆上 D．圆关于对称 31．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 . 32．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【易错必刷九 圆的对称性的应用】 33．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）若圆关于直线对称，则直线l的斜率是（    ） A．6 B． C． D． 34．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业）以下直线中，将圆平分的是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则 ． 36．（23-24高二·全国·课后作业）如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6，4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的一般方程． 【易错必刷十 定点到圆上点的最值（范围）】 37．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 38．（多选题）（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知，M为圆上的动点，则线段的长可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 39．（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ． 40．（22-23高二上·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上． (1)求实数a的值； (2)若点在圆E上，求的取值范围． 【易错必刷十一 点与圆的位置关系求参数】 41．（22-23高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 42．（22-23高二上·河南郑州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（22-23高二上·浙江金华·期中）点在圆的内部，则a的取值范围是 . 44．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）已知圆，点在圆内部． (1)求的取值范围； (2)若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程． 【易错必刷十二 求直线与圆交点的坐标】 45．（2024·黑龙江大庆·一模）圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（  ） A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5 46．（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高二上·山西太原·期中）已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为 . 48．（2024·四川宜宾·一模）设直线与圆交于两点，为坐标原点，已知点的坐标为． （1）当原点到直线的距离为时，求直线方程； （2）当时，求直线的方程． 【易错必刷十三 过圆上一点的圆的切线方程】 49．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 50．（多选题）（23-24高二上·福建漳州·期中）与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 51．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 52．（24-25高二上·重庆·期末）已知圆，两点和． (1)求过点的圆的切线方程； (2)求以线段为直径的圆的方程． 【易错必刷十四 切线长】 53．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 54．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 55．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点向圆作切线，切点为，则 . 56．（22-23高二上·四川资阳·期末）已知的圆心为坐标原点，上的点到直线l：的距离的最小值为1. (1)求的方程； (2)过点作的两条切线，切点分别为A，B.求四边形OAPB的面积. 【易错必刷十五 相交圆的公共弦方程】 57．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 58．（多选题）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 59．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 60．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与圆. (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 圆与方程易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 由圆心（或半径）求圆的方程】 1．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可． 【详解】由题设，的中点坐标为，且， ∴的中垂线方程为，联立， ∴，可得，即圆心为，而， ∴圆的方程是． 故选：B． 2．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业）（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可知圆心在直线上，设圆心坐标为，由求得或，再根据圆的标准方程即可求解. 【详解】∵圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在直线上． 设圆心坐标为，则由，解得或， ∴圆的标准方程为或． 故选：AD． 3．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 【答案】 【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程． 【详解】由题意，圆C的圆心为， 则半径为， 所以圆C的标准方程是. 故答案为：. 4．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得圆心与半径可求圆的方程； （2）由已知可得AB垂直平分CM，求得，进而求得的中点，可求直线的方程. 【详解】（1）因为圆心C是直线与轴的交点， 所以圆心C的坐标为， 又因为圆C经过，所以圆C的半径为， 所以圆C的方程为. （2）因为四边形CAMB为菱形， 所以AB垂直平分CM， 因为，所以 又因为CM的中点坐标为 所以直线AB的方程为，即. 【易错必刷二 求过已知三点的圆的标准方程】 5．（23-24高二上·河南周口·期中）过点，，三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的方程为，依题意得到方程组，解得即可. 【详解】依题意设圆的方程为， 则，解得，所以圆的方程为， 即. 故选：D 6．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入法，通过解方程组进行求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，，且圆心在直线上， 所以有， 因此圆的标准方程为， 故选：A 7．（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 【答案】 【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题． 先求出、的坐标，可得圆心为直角三角形的斜边的中点，半径为的一半，由此可解． 【详解】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点， ，， 则经过，，三点的圆的圆心为直角三角形的斜边的中点， 半径为的一半，即， 则经过，，三点的圆的标准方程是． 故答案为：． 8．（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为 (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 【易错必刷三 由标准方程确定圆心和半径】 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）圆的圆心和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由标准方程即可直接求解. 【详解】由， 可得：圆心和半径分别是. 故选：C 10．（24-25高三上·广东·开学考试）曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对方程进行化简，得到，进而可知或，其表示的是两个同心圆,进而可求其周长. 【详解】由， 得， 即， 即或， 所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为， 所以曲线C的周长为． 故选：C. 11．（2022·山东潍坊·二模）若圆与圆的交点为A，B，则 ． 【答案】 【分析】根据题目条件画出图象，利用勾股定理得到△AOC是直角三角形，且∠OCA=30°，进一步得出答案. 【详解】由题可知：，， 满足勾股定理： 所以△AOC是直角三角形，且∠OCA=30° ∴ ∴. 故答案为：. 12．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）求过三点P（2，2），M（5，3），N（3，－1）的圆的方程，并求出圆心和半径. 【答案】圆标准方程为，圆心坐标为，半径为 【分析】设圆的一般方程，代入有三点坐标求出参数值，配方后成标准方程后可得圆心坐标和半径． 【详解】设圆方程为， 则，解得， 圆的一般方程为，标准方程为， 圆心坐标为，半径为 【易错必刷四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 13．（22-23高二上·河南商丘·期中）已知圆的直径为4，则（    ） A． B． C．圆心为 D．圆心为 【答案】D 【分析】将圆转化成标准方程，由直径求出，判断选项即可求解. 【详解】根据题意，圆，即， 其圆心为，其半径为， 若其直径为4，则，解可得， 故选：D． 14．（多选题）（24-25高二上·海南·期中）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．圆关于直线对称 C．若，则圆过坐标原点 D．若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 【答案】BCD 【分析】把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，再根据圆的性质判断各选项是否正确. 【详解】圆：， 所以圆心为，圆的半径：，（），故A错误； 因为圆心在直线上，故圆关于直线对称，故B正确； 对C：当时，圆：，所以圆过坐标原点，故C正确； 对D：由且或，故D正确. 故选：BCD 15．（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）若圆的半径为2，则实数的值为 . 【答案】8 【分析】直接将圆的一般方程化为标准形式，由题意可得关于的方程，解方程即可. 【详解】首先将圆的方程配方变形为， 由题意， 解得，即实数的值为8. 故答案为：8. 16．（24-25高二·江苏·课后作业）下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心的坐标和半径． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是圆，圆心坐标为(2，0)，半径为2； (2)不表示圆，表示一个点(2，1)； (3)不表示任何曲线. 【分析】将方程化为的形式即可判断是否为圆，若为圆，根据圆的标准方程直接得出圆心坐标和半径. 【详解】（1）由， 可得， 所以圆心坐标为(2，0)，半径为2； （2）由， 可得， 所以该方程不表示圆，表示一个点(2，1)； （3）由， 可得， 所以该方程不表示任何曲线. 【易错必刷五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 17．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 18．（多选题）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值. 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 19．（24-25高二上·北京·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为 . 【答案】或， 【分析】将其配方，即可根据求解. 【详解】由可得， 故，解得或， 故答案为：或， 20．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列二元二次方程是否表示圆，如果是，请求出圆的圆心坐标及半径． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)表示圆，圆心坐标是，半径是2的圆 (2)答案见解析 (3)方程不表示任何图形． 【分析】利用配方法，结合圆的标准方程进行求解. 【详解】（1）方程可变形为，表示圆心坐标是，半径是2的圆． （2）方程可变形为． 当时，方程表示点； 当时，方程表示圆心坐标是，半径是的圆． （3）方程可变形为，即， 方程不表示任何图形． 【易错必刷六 求圆的一般方程】 21．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）若直线与两坐标轴交点为，，则过、及原点三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 故选：A. 22．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】设圆的方程为，代入坐标得的值，即可得圆的方程，再令，即可求得与轴相交弦长. 【详解】设圆的方程为，代入点，，， 则，解得， 可得，整理得符合题意， 所以圆的方程为， 令，可得，解得，所以． 故选：D. 23．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点外接圆的方程是 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 24．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆过两点且圆关于直线对称，求的的方程． 【答案】 【分析】根据对称性可得圆心在直线上，再由一般方程代入点解方程组可得结果. 【详解】设圆的方程为，则圆心是， 因为圆关于直线对称，则直线经过圆心，即圆心在直线上， 可得，即． 又圆过点，由此可得， 解得， 故的一般方程是． 【易错必刷七 圆过定点问题】 25．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 26．（23-24高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 27．（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 28．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 【易错必刷八 由圆的一般方程确定圆心和半径】 29．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知圆心在直线上，即可得结果. 【详解】方程表示圆心为的圆， 由题意可知：圆心在直线上， 则，即. 故选：A. 30．（多选题）（22-23高二上·浙江·阶段练习）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．圆的半径为5 C．点不在圆上 D．圆关于对称 【答案】BD 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得圆心半径，判断出A错误、 B正确；将点带入圆的方程，满足方程判断点在圆上，故C错误；在直线上，所以圆关于对称. 【详解】可化为：， 所以圆的圆心为，半径为5，故A错误、 B正确； 因为，所以点在圆上，故C错误； 因为圆心为在直线上，所以圆关于对称，故D正确； 故选：BD. 31．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 . 【答案】 【分析】依题意，得直线过圆心，即可求解． 【详解】因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 从而，解得， 则圆的方程为， 故圆的半径为． 故答案为： 32．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1)半径为2，圆心坐标为 (2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解； （2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标，即可求解. 【详解】（1）圆可化为，则圆心为，半径为2； （2）设与直线垂直的直线的方程为 已求出圆的圆心坐标为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为 【易错必刷九 圆的对称性的应用】 33．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）若圆关于直线对称，则直线l的斜率是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得直线经过圆心，求出即可得出斜率. 【详解】由题可得直线经过圆心， 则，解得， 则直线l的斜率是. 故选：C. 34．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业）以下直线中，将圆平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求出圆心，判断直线是否经过圆心即可. 【详解】方程可化为，故圆心坐标为. 若直线平分该圆，则点必在直线上. ，点在直线上，故A正确； ，点不在直线上，故B错误； ，点不在直线上，故C错误； ，，点在直线上，故D正确. 故选：AD. 35．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则 ． 【答案】/ 【分析】直线是圆的对称轴，则直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在此直线上， 所以，解得. 故答案为： 36．（23-24高二·全国·课后作业）如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6，4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的一般方程． 【答案】 【分析】根据对称性设出圆心坐标，由圆心到C的距离等于到点B的距离，列出方程，求出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，化为一般方程. 【详解】根据梯形的对称性可知，圆心在y轴上，设为（0，b）， 易知点C（2，3），B（3，0）． 圆心到C的距离等于到点B的距离， 即， 解得：， 圆的半径为， 所以圆的方程为： 化简即得． 【易错必刷十 定点到圆上点的最值（范围）】 37．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【详解】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 38．（多选题）（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知，M为圆上的动点，则线段的长可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】由圆的标准方程求得圆心和半径，再根据两点的距离公式可求得，由此可得选项. 【详解】解：因为圆的圆心为，半径，又，所以， 因为M为上的动点，所以，即，所以线段的长可能为3，5，7， 故选：ABC. 39．（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 故答案为：. 40．（22-23高二上·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上． (1)求实数a的值； (2)若点在圆E上，求的取值范围． 【答案】(1)或5； (2)[，]． 【分析】(1)利用圆的一般方程，待定系数法求解； (2)根据几何几何意义求解. 【详解】（1）设过A、B、C的圆的方程为 将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程， 得， 解得： 得圆的方程为 将点D的坐标代入上述所得圆的方程， 得解得a＝1或5； （2）点在圆E：上， 其几何意义为圆E上的点到距离的平方减1． 如图： ∴的最小值为＝； 的最大值为． ∴的取值范围是[，]． 【易错必刷十一 点与圆的位置关系求参数】 41．（22-23高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果. 【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程， 则，解得，所以故a的取值范围是. 故选：D 42．（22-23高二上·河南郑州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可 【详解】圆， 则圆，圆心，半径， 点在圆的外部， ，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 43．（22-23高二上·浙江金华·期中）点在圆的内部，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆的内部， ∴，即， 解得：. 故答案为：. 44．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）已知圆，点在圆内部． (1)求的取值范围； (2)若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据点与圆的位置关系的性质进行求解即可； （2）根据互相垂直的直线斜率的关系，结合直线与圆的相交系方程进行求解即可. 【详解】（1）因为点在圆内部， 所以， 解得， 即的取值范围是； （2）当时，， 因为，所以， 因为，所以， 所以直线的方程为，化简得． 的外接圆经过直线与圆的交点， 故设其方程为， 代入点的坐标，可得，解得． 故的外接圆方程为， 即．（标准方程为） 【易错必刷十二 求直线与圆交点的坐标】 45．（2024·黑龙江大庆·一模）圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（  ） A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5 【答案】B 【分析】联立方程求交点，然后数形结合可得. 【详解】解方程组得圆与直线交点为 如图，易知， 所以较短弧长与较长弧长之比为1:3. 故选：B 46．（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线方程与圆的方程联立，求出，利用两点之间的距离公式即可求得结果. 【详解】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 47．（24-25高二上·山西太原·期中）已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】先联立直线与圆的方程求出公共点，再用待定系数法结合圆所过的点即可求解圆的一般方程. 【详解】联立或， 所以直线与圆的公共点为和， 所以圆经过点、和点， 设圆的一般方程为， 则， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 48．（2024·四川宜宾·一模）设直线与圆交于两点，为坐标原点，已知点的坐标为． （1）当原点到直线的距离为时，求直线方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）或； （Ⅱ）或. 【分析】（1）根据题意求得圆的方程，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式，求得的值，求得直线方程；当直线的斜率不存在时，得到直线，即可求解； （2）先求得直线的斜率，根据，得到，联立方程组求得点的坐标，进而求得直线的方程. 【详解】（1）由题意，点在圆上，可得，所以圆的方程为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时直线的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合要求 所以直线的方程为或. （2）由点，可得直线的斜率， 因为，即，所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为， 由，解得点的坐标为或， 结合直线的两点式方程，可得直线的方程为或. 【易错必刷十三 过圆上一点的圆的切线方程】 49．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程. 【详解】圆的圆心，直线的斜率， 因此圆在点P处的切线方程为，即. 故选：D 50．（多选题）（23-24高二上·福建漳州·期中）与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】讨论所求直线过原点和不过原点两种情况，设出对应的直线方程，根据直线与圆相切列出方程求解，即可得出结果. 【详解】圆：化为标准方程为，即圆是圆心为，半径为的圆. 若所求直线过原点，可设所求直线为，因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以； 若所求直线不过原点，因为该直线在两坐标轴上的截距相等，所以可设该直线方程为，因为该直线与圆相切，所以，解得或（舍），所以. 综上，满足条件的直线的方程为，，. 故选：ABD. 51．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 52．（24-25高二上·重庆·期末）已知圆，两点和． (1)求过点的圆的切线方程； (2)求以线段为直径的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断在圆上，求出切线斜率即可求过点P的圆O的切线方程； （2）求出的中点可得圆心坐标，求出的值可得圆的半径，从而可求圆的方程． 【详解】（1）∵点满足， ∴点在圆上，即P是切点，则切线垂直， 的斜率为， 则切线斜率为， 则过点P的圆O的切线方程为； 即． （2）因为和 所以的中点为，， 以为直径的圆的圆心为，半径为1， 以为直径的圆的方程为 【易错必刷十四 切线长】 53．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出⊙C圆心坐标，半径，，求出和，求出四边形的面积. 【详解】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 54．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求得从而切线长为,计算求解即可. 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 55．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 【分析】根据圆切线的性质求切线长即可. 【详解】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 56．（22-23高二上·四川资阳·期末）已知的圆心为坐标原点，上的点到直线l：的距离的最小值为1. (1)求的方程； (2)过点作的两条切线，切点分别为A，B.求四边形OAPB的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用圆上点到直线的距离最小值可求半径，结合圆心可得方程； （2）利用切线的性质可知四边形的面积为，利用直角三角形可求，进而可得答案. 【详解】（1）由题意，的圆心到直线l：的距离， 设的半径为r， 则上的点到直线l距离的最小值为， 由，解得， 所以的方程为. （2）由题可知，，，连结OP， 则四边形OAPB的面积， 又， 则， 所以四边形OAPB的面积.    【易错必刷十五 相交圆的公共弦方程】 57．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 58．（多选题）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 【答案】ABD 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，根据两圆外离条件判断D. 【详解】若r＝1，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A对； 若r＝1，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B对； 若，则，，两式相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错； 两圆心间距离为，因为两圆外离，所以，即，故D对 故选：ABD 59．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】因为两点是两圆公共的交点，即满足两圆方程，联立求解即可求得直线方程. 【详解】由题意可知两点均在两个圆上，即两点均满足两圆的方程， 也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得 ，解得或， 故或， 两种情况下公共弦所在的直线方程均为. 故答案为：. 60．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与圆. (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求两个圆的圆心距结合两圆位置关系即可证明； （2）直接利用两圆方程作差即可得出公共弦方程. 【详解】（1）将圆：化为标准方程为， ，， 圆的圆心坐标为，半径为， ， ， 两圆相交； （2）由圆与圆， 将两圆方程相减，可得， 即两圆公共弦所在直线的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$