专题2.1 圆的方程（九大题型）（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题2.1 圆的方程 题型一 由圆心和半径求圆的方程 题型二 求圆的标准方程 题型三 求圆的一般方程 题型四 二元二次方程表示曲线与圆的关系 题型五 圆的一般方程与标准方程的相互转化 题型六 判断点与圆的位置关系 题型七 根据点与圆的位置关系求参数 题型八 有关圆的弦长、面积的计算 题型九 与圆有关的最值问题 题型一：由圆心和半径，求圆的方程 1．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 题型二：求圆的标准方程 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 3．（25-26高二上·北京平谷·期中）以为圆心，5为半径的圆的标准方程是______. 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 5．（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为________． 6．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知的三个顶点分别为，，． (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程． 7．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知平行四边形的两条边所在直线方程分别为，，且它的对角线交点. (1)求顶点、的坐标； (2)求此平行四边形的面积； (3)求外接圆的标准方程. 题型三：求圆的一般方程 1．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 2．过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 5．（24-25高二上·江苏扬州·期中）某圆拱（圆的一段劣弧）的示意图如图所示，该圆拱的跨度是24m，拱高是4m，在建造时，每隔2m需要一个支柱支撑，则支柱的长度为__________m.    6．（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 题型四：二元二次方程表示曲线与圆的关系 1．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 题型五：圆的一般方程与标准方程的相互转化 1．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．左半圆 B．右半圆 C．下半圆 D．单位圆 2．（25-26高二上·河南郑州·期中）（多选题）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 3．（24-25高二上·江苏徐州·期中）（多选题）已知圆，，则（   ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 题型六：判断点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 4．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 5．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是________． 题型七：根据点与圆的位置关系求参数 1．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 6．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 7．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）若圆经过，，圆心在直线上，则圆的面积为________. 题型八：有关圆的弦长、面积的计算 1．若圆的方程为，则圆的最小周长为（    ） A． B． C． D． 2．曲线围成的图形的面积为（    ） A．8+10π B．16+10π C．5π D．5 3．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 4．（2026·安徽宿州·一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为______. 6．如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________． 题型九：与圆有关的最值问题 1．（25-26高一下·福建泉州·期末）已知复数满足条件，则的最小值为 （    ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（2026·四川凉山·二模）若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 3．已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选题）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 5．（25-26高二上·山东·阶段检测）（多选题）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 6．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数（，）的点M的轨迹是圆.若两定点，，动点M满足，点M的轨迹围成区域的面积为______，△ABM面积的最大值为______. 7．（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 8．（2026高二下·上海·专题练习）已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 9．点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 圆的方程 题型一 由圆心和半径求圆的方程 题型二 求圆的标准方程 题型三 求圆的一般方程 题型四 二元二次方程表示曲线与圆的关系 题型五 圆的一般方程与标准方程的相互转化 题型六 判断点与圆的位置关系 题型七 根据点与圆的位置关系求参数 题型八 有关圆的弦长、面积的计算 题型九 与圆有关的最值问题 题型一：由圆心和半径，求圆的方程 1．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】直接运用圆的标准方程进行求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为6， 所以圆的标准方程为. 故选：B 2．（26-27高二上·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 3．与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 题型二：求圆的标准方程 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 2．（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】利用两点间的距离公式求出半径，然后可得标准方程. 【详解】由题可得圆的半径， 又圆心为，所以圆的方程为. 故答案为： 3．（25-26高二上·北京平谷·期中）以为圆心，5为半径的圆的标准方程是______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据圆心和半径结合圆的标准方程即可得结果. 【详解】以为圆心，5为半径的圆的标准方程是. 故答案为：. 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】利用代入法，通过解方程组进行求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，，且圆心在直线上， 所以有， 因此圆的标准方程为， 故答案为： 5．（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、求圆的一般方程 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得， 故圆的方程为， 故圆的标准方程为. 故答案为： 6．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知的三个顶点分别为，，． (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）方法一：求直线的方程，算点到直线的距离，计算的长度，最后代入面积公式计算即可； 方法二：计算的斜率，判定垂直关系，定直角边长度最后代入直角三角形面积公式计算即可. （2）方法一：设圆的一般方程，代入三点坐标得方程组，求解系数，最后配方转化为标准方程即可； 方法二：判定为直角三角形，确定斜边为外接圆直径，求斜边中点（圆心）和半径，最后写出标准方程即可. 【详解】（1）方法一：根据已知条件，所在直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 又， 故的面积. 方法二：根据已知条件，，， 则有，所以， 所以为直角三角形，为其直角边， 而， ， 故的面积. （2）方法一：设的外接圆方程为. 将，，代入， 得，解得， 所以的外接圆方程为， 其标准方程为. 方法二：由（1）可知为直角三角形，为其斜边， 则的外接圆直径即为， 由已知可得，的中点为，即圆心为， 又半径， 故的外接圆的标准方程为. 7．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知平行四边形的两条边所在直线方程分别为，，且它的对角线交点. (1)求顶点、的坐标； (2)求此平行四边形的面积； (3)求外接圆的标准方程. 【答案】(1)， (2)20 (3) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、直线围成图形的面积问题、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）利用平行四边形的性质、平行直线的关系、两直线交点坐标的求法求解即可. （2）利用平行直线的关系、两点间距离公式、点到直线的距离公式及平行四边形面积公式求解即可. （3）利用平行直线的关系、两直线交点坐标的求法、圆的标准方程求法求解即可. 【详解】（1）联立，解得. 因为为平行四边形对角线交点，所以为中点，设，则，解得. （2）因为四边形为平行四边形，所以，所以. 设，则，解得， 所以. 又点到距离为： （3）因为四边形为平行四边形，所以，设直线方程为， 代入得，解得，所以直线方程为. 联立和得，解得. 设圆的方程为，又三个顶点为，，， 则，解得. 故外接圆的标准方程为 题型三：求圆的一般方程 1．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化、求圆的一般方程 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 2．过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程. 【详解】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 3．已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求圆的一般方程 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 4．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 5．（24-25高二上·江苏扬州·期中）某圆拱（圆的一段劣弧）的示意图如图所示，该圆拱的跨度是24m，拱高是4m，在建造时，每隔2m需要一个支柱支撑，则支柱的长度为__________m.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程 【分析】利用三点坐标求出圆拱所在圆的方程，代入即可得到的长度. 【详解】由题意得，， 设圆拱所在圆的方程为，则 ，解得， ∴设圆拱所在圆的方程为. 将点的横坐标代入上式，解得或（舍），即支柱的长度为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）设圆的一般方程为，将点代入方程，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，求得向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将点代入上式， 可得，即， 解得， 所以圆的方程为. （2）由，可得， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 题型四：二元二次方程表示曲线与圆的关系 1．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 2．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 3．（多选题）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程列式求得，结合选项即可得结果. 【详解】若方程表示圆， 则，解得， 结合选项可知：AB正确，CD错误. 故选：AB. 题型五：圆的一般方程与标准方程的相互转化 1．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．左半圆 B．右半圆 C．下半圆 D．单位圆 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】整理得，再根据圆的方程即可得答案. 【详解】对两边平方整理得， 所以方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及左侧的部分，即左半圆，A选项满足. 故选：A 2．（25-26高二上·河南郑州·期中）（多选题）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】化一般方程为标准方程，再结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高二上·江苏徐州·期中）（多选题）已知圆，，则（   ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】对于A，整理圆的一般式方程力标准方程，求得圆心与半径，利用圆的面积公式，可得答案； 对于B，整理圆的一般式方程力标准方程，求得圆心与半径，令半径大于零建立不等式，可得答案； 对于C，利用两点距离公式，结合反例，可得答案； 对于D，由题意当圆周长最大，半径则最大，确定参数的值，可得答案. 【详解】对于A，由，则，整理可得， 所以此时方程表示以为圆心，以为半径的圆，其面积为，故A正确； 对于B，由，则， 可得，解得，故B正确； 对于C，由圆，则圆心，半径， 点到圆心的距离为， 当时，，此时点在圆上，故C错误； 对于D，当圆的周长最大时，半径取最大，即，，此时圆心，故D错误. 故选：AB. 题型六：判断点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系、韦达定理 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】将点坐标代入圆的方程左侧，判断所得结果与右侧大小，即可得位置关系. 【详解】因为， 当且仅当时取等号，所以点在圆内或圆上． 故选：C 4．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解. 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 5．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是________． 【答案】在圆的外部 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离、判断点与圆的位置关系 【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得. 【详解】由圆的圆心到点的距离为， 知点在圆的外部. 故答案为：在圆的外部. 题型七：根据点与圆的位置关系求参数 1．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、既不充分也不必要条件 【分析】求出点在圆外部满足的充要条件，据此求解即可. 【详解】若点在圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 3．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、点与圆的位置关系求参数 【分析】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 6．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】由点与圆的位置关系可得答案. 【详解】由题知， 解得. 故答案为： 7．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）若圆经过，，圆心在直线上，则圆的面积为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【分析】设圆的方程为，结合条件列出方程组，求出半径即可求解. 【详解】设圆的方程为， 所以，解得， 所以圆的面积为. 故答案为：. 题型八：有关圆的弦长、面积的计算 1．若圆的方程为，则圆的最小周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆的弧长、面积、圆心角等计算、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的方程求出圆的半径的最小值，即可求得答案. 【详解】因为圆的方程为， 故 ，时取等号， 故圆的半径的最小值为 ， 则圆的最小周长为， 故选：D. 2．曲线围成的图形的面积为（    ） A．8+10π B．16+10π C．5π D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的弧长、面积、圆心角等计算 【分析】结合对称性求得正确答案. 【详解】当时，曲线方程为，. 由于在曲线上， 所以曲线关于轴、轴、原点对称， 由此画出曲线的图象如下图所示： 故曲线围成的图形的面积为. 故选：B 3．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【难度】0.78 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围） 【详解】求弦最小值，即求圆心到直线距离的最大值. 因为，所以在圆中， 所以， 因此. 4．（2026·安徽宿州·一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】定点与圆心连线垂直于直线时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小. 【详解】因为圆，圆心，半径， 直线过定点， 则定点到圆心的距离， 故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小， 故最小值为. 故选：D. 5．（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【分析】先根据题目得到区域为一个圆环，进而求圆环的面积即可. 【详解】点集为以为圆心，为半径的圆上的点的集合， 又点在以为圆心，为半径的圆上， 所以平面点集所构成区域为图中阴影， 面积为. 故答案为：. 6．如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【分析】设圆的半径为，将圆的方程化为标准方程，可得.即可得出半径的最大值，以及的取值，代入圆的方程以及根据圆的面积公式，即可得出答案. 【详解】设圆的半径为， 将圆的方程化为标准方程可得，. 因为， 当最大时，圆的面积最大. 所以，当时，半径最大为1， 此时圆的方程为，面积为. 故答案为：；. 题型九：与圆有关的最值问题 1．（25-26高一下·福建泉州·期末）已知复数满足条件，则的最小值为 （    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【详解】    由复数满足条件，即， 得复数表示的点在以为圆心，半径为的圆上． 而的几何意义为原点到圆的点的距离． 的最小值为圆的圆心与原点的连线段的长度减去半径， 圆的圆心与原点的连线段的长度为， 则的最小值为，故选项C正确． 2．（2026·四川凉山·二模）若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由方程研究曲线的性质 【分析】由方程确定曲线的形状，再确定曲线上的点到原点距离最大的点，进而求出最大面积. 【详解】曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称， 当时，曲线方程为，即， 此时曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点）及原点， 因此曲线是上述圆弧及其关于坐标轴、原点对称而得的图形，加上原点， 圆弧到原点距离最大值为，对应的点为， 点关于坐标轴、原点对称点为，点顺次连接得正方形， 并且是符合条件的面积最大的正方形，所以正方形的面积的最大值为4. 3．已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.84 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据圆外一点到圆上的距离的最小值等于这个点到圆心的距离减去半径可得. 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 4．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选题）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 5．（25-26高二上·山东·阶段检测）（多选题）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B正确； 利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C错误； 采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B正确； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离，的最大值为，C错误； 对于D，设，，，， ，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 6．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数（，）的点M的轨迹是圆.若两定点，，动点M满足，点M的轨迹围成区域的面积为______，△ABM面积的最大值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【分析】设动点，由结合两点距离公式可得得动点的轨迹方程为，可得圆心坐标和半径，即可求点M的轨迹围成区域的面积；又，只需，即可得△ABM面积的最大值. 【详解】解：设动点，则，， 由，即， 所以， 所以， 所以动点的轨迹方程为， 所以点的轨迹是圆且圆心，半径为， 点的轨迹区域面积； ，又， 所以， 而，的最大值为． 故答案为：；. 7．（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 【答案】8 【难度】0.52 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由题可知圆即以和，满足的阿氏圆，将问题转化为求即可求解. 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 8．（2026高二下·上海·专题练习）已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.77 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】设原点为，是圆上任意一点，则， 因为圆心坐标为，，在圆内， 所以，，即， 9．点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）（2）（3）（4）根据目标式的几何意义，结合图形，利用圆的性质求解即可. 【详解】（1）点在以为圆心，为半径的半圆上，记， 表示点到点的距离平方减1，如图1． 因为， ，所以． （2）设直线，为直线在轴上的截距，如图2． 圆心到直线的距离为，解得． 当过点时，有，结合图象可知． （3）令，表示过点和的直线斜率， 将点代入，得． 又由，得． 圆心到直线的距离为1，即，即， 化简并整理得． 解得． 由图3可知，取，故． （4）如图4，令，化简得，即． 表示过点和的直线斜率加2， 由得． 令，即， 由得， 化简并整理得，解得． 由图4可知，故． 10．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1)由直线：， 得， 联立，解得， 所以恒过定点， 设直线恒过定点为, 则当时，原点到直线的距离最大，最大距离为. (2) 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）将化为，令即可求出定点，当直线与定点和原点构成直线垂直时，原点到直线的距离最大，得到答案； （2）根据的几何意义为点到的距离，结合与圆的位置关系，结合半径和圆心到得到答案. 【详解】（1）略 （2）点在圆C上，的几何意义为点到的距离， 因为圆C：，即，圆心， 又因为，所以在圆内， 所以到的距离的最大值为， 到的距离的最小值为 所以， 所以的取值范围为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $