专项突破03 与圆有关的轨迹问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

√26，如图，所以21PA1+1PB1的最小值为√26.故答案为√26. 11.(1)解：由(-2)2+(2)2=6，得点(-2,2)在调0上，则过点(-2， 厅)的圆0半径所在直线斜率为受.因比所求切线斜率为厅，方 程为y-2=√2(x+2),即y=2x+3w (2)①解：显然直线AB的斜率存在且不为0，设方程为y=k(x-6) 而圆0半径为6，则△0BC的面积Sa0ac=210B110C1· sin∠B0C=3sin∠B0C≤3，当且仅当∠B0C=90°时取等号，此时圆 仑0到直线的距离d:浮.6：厅，因此6 =5,解 R+1 11 得k=±TⅡ.直线AB:y=±(x-6),即x士√11y-6=0,所以 △OBC的面积最大值为3，此时直线AB的方程为x±√Ty-6=0 ②证明：设直线BC方程为y=x+m,B(1,为），C(x2,2),由 {,消去y得+1)2+2mx+m2-6=0,则+=-2孤 x2+y2=6, 2+1 m2-6 y1红1+m x11- P+直线奶的斜率为如6-6，直线AC的斜 率kAC= 6饮题自，6e行气行0，整理得2与 红+ 1+m,任2+m （m-60)(1t)-12m=0,即有21(m2-6)2m（m-612m=0.化 2+1 2+1 简得m=-1,经验证(2+1)x2+2mx+m2-6=0的4>0，因此直线 BC:y=(x-1)恒过定点(1,0)，所以直线BC经过定点. 12.(1)解：根据题意，4(4,0)，B(0,4).设Q(x,y),P(1),则Ad= (x-4,y）,Q=(x1x,1y）,由于A0=20币，所以(x-4,y）=2(x1 3 方y）,得 2 3 将其代人2+y2=16,得2+y28x16 33 =2x 0故点Q的铁连方程为P-子a (2)解：根据垂径定理可得d=√4-7=3. ①当斜率不存在时，直线m的方程为x=3,直线m截圆0轨迹所 得弦长为=2√P-正=2万，符合题意： ②当斜率存在时，设直线m:y-4=k(x-3),圆心到直线m的距离为 de14-3张1 R+1 3,解得k=云综合①@可知直线m的方程为7： -24y+75=0或x=3. (③)证明：设P(),则号+=16，直线AP方程是y,-4( 4),令x=0,得y= 一④，直线P方程是) 4y1 y1-4 x+4,令y=0,得x 万4，所以1AN1·1BM1= -4红1 4.4 年·4一， (+y1-4)21 |x号+y+2红1折-8x1-8y1+16 16 =16 (1-4)(1-4) x1y1-4x1-4y1+16 16 16+2x1-81-81+16 =32,即为定值 x1y1-41-4y1+16 y=-x-1, 13.解：(1)由题知，直线0P方程为y3,则由 1解得 y=3, 选择性必修第一册·SJ 3 即P()小点P为线段四的中点。1 1 0- 2 PC,即k·knc=-lX =-1,∴a=-2 a+2 (2)由a=-2,则圆心C(-2,0),C到直线y=-x-1的距离为d 方wm2( 12 =2.又：0到直线y=-x-1的 1 1 距离为2，MN边上的高为2心S△wow=2X2 x=2 (3)如图，由圆C与x轴交于A,B两 点，得A(-3,0),B(-1,0),不妨设直 线QA的方程为y=k(x+3),其中k≠ Q/M 0,在直线QA的方程中，令x=-4,可得 R(-4,-k),Q41QB,则直线QB的 方程为y=本(x+1),在直线QB的方 程中，令-4，可得y-2即点5(-4，是 ],则线段5的中点为 F(,盛)周的半径平方为 2+312 2本以线段5为直径的 3-k212 圆的方程为(x+4)2+(2欢】 +3 2 ,即(x+4)2+y2- 3- 1(x+4)2-3=0, ky3=0,由y=0. 解得 x=-4+5,因此当点Q变化 -3<x<-1, (y=0, 时，以s为直径的圆恒过圆C内的定点(-4+3,0). 14.解：(1)设P(xy),则有1PA1=√星+(4)，1PB1= √+(y-1)产，又因为1PA1=21PB1,即有√爱+(y-4)下= 2√2+(y-1)下，整理得x2+y2=4,所以曲线E的方程为x2+2=4. (2)因为∠C0D=120°，10D1=10C1=2. 如图①，取CD的中点E,连接OE,则OE⊥CD且OE平分CD. 又因为∠0CD=30°，所以1OE1=1,即圆心0到直线1的距离为1， 由点到直线的距离公式可得141 =1,解得k=±√15，所以直线1 √1+k 的斜率为±√15. (3)因为k=1,所以直线：y=x-4,设Q(m,m-4),由题意可知 Q,M,O,N四点在以OQ为直径的圆上，所以此圆的方程为 (号（受） -,即x2+y2-mx-(m-4)y= 4 0,由打四my0可得+(m-4)y=4,即m(x+y）- 4y4=0,即直线MN的方程为m(x+y)-4y-4=0,所以直线MN过 定点5(1，-1)，点T在圆F:(x-4)2+(y-3)2=1上如图②，所以当 T为SF的延长线与圆F的交点时，点T到直线MW的距离有最大 值，此时17S1=1SF1+1.又因为1SF1=√(4-1)+(3+1)2=5，所以 1TS1=6.即点T到直线MN距离的最大值为6 3456￥ 专项突破03与圆有关的轨迹问题 1.C解析：设C(x,y),由题意知，14B1=√(3-4)2+(5-2)=0， 白题122 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有1CAI=IAB1= √0，即点C的轨迹是以A为圆心，√10为半径的圆， 又点A,B,C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点 B(3,5)及点B关于点A对称的点(5，-1)， 所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5)，(5，-1) 两点).故选C 2.C解析：设平面直角坐标系中，0为坐标原点.因为OA⊥OB,所以D 为直角三角形A0B的斜边AB的中点，故0D=AB=1,即D在以0 为园心，1为半径的园上运动 又点A,B在x轴和y轴的正半轴上运动，故D为第一象限内的点， 因此点D的轨迹方程为x2+y2=1(x>0,y>0).故选C. 3.A解析：因为圆x2+(y1)2=1,所以圆心S(0,1),半径r=1,由勾 股定理得1PS2=1PA12+2=2,所以1PS1=反，所以P的轨迹为以 S(0,1)为圆心，IPS1=√2为半径的圆，所以点P的轨迹方程是x2+ (y-1)2=2.故选A. 4.C解析：设BC的中点P的坐标是(x,y),BC是圆x2+y2=25的 动弦，1BC1=6,且圆心0(0,0)，1P01=√25-9=4，即√+y7= 4,化简得x2+y2=16,BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16.故选C. 5.x2y2=28解析：设点C(x,y),如图，连接AB,PC交于M,由矩形 P4C8可知M为PC的中点，（告是，子），PW=NB,连接0B,Om, 在直角三角形OMB中，OM1⊥MB,则OB2=OM2+BMP=OM2+MP2,即 16(倍2）+（子）八(22）°+（任）”整理得-8 所以顶点C的轨迹方程是x2+y2=28,故答案为x2+y2=28 (第5题) (第6题) 6.解：如图，连接PC并延长到Q,使PQ=3PC,连接NC,MQ, 有=号成，得PW=3PN,则△PG△PO,放0=3NC, 因为点N在园C上，所以NC=2.则MQ=6,故点M在以Q为圆心，6 为半径的圆上.又PQ=3PC,即P=3P元，P(0,2).C(1,2),得 Q(3,2),故点M的轨迹方程为(x-3)2+(y2)2=36,图形是以点 (3,2)为圆心，6为半径的园. 7.D解析：因为点M1(-3,0)和点M2(3,0),动点M(x,y),所以 1MM11=√(x+3)2+y2,1MM21=√(x-3)2+y2 又因为其满足IMM1↓=21MM21,所以√(x+3)+y= 2√(x-3)2+行，整理得x2+y2-10x+9=0,所以点M的轨迹方程为 x2+y2-10x+9=0.故选D. 8.x2+y2+x+y-1=0解析：如图，由题意可得 AB1⊥CD,连接AC,则AC=2,则4=AB2+ (合CD）广=AB+08,由圆(e+12+ (y+1)2=4可知A(-1,-1),设B(x,y),则 (x+1)2+(y+1)2+*2+y2=4,化简得x2+y2+x+ y1=0,即点B的轨迹方程为x2+y2+x+y-1 0,放答案为x2+y2+x+y-1=0. 9.x2+y2-2x-4=03-5解析：设P(x,y),则p=(-1-*,y),P市 (3-x,y),所以P·P=(-1-x)(3-x)+y2=1,整理可得x2+ y2-2x-4=0,由x2+y2-2x-4=0可得(x-1)2+y2=5,所以圆心为 (1,0).半径r=5,圆心(1,0)到直线3x+4y+12=0的距离为 d1151 =3,由圆的性质可得点P到直线3x+4y+12=0的距离 /32+42 参考答案 的最小值为d-=3-5.故答案为x2+y2-2x-4=0:3-5. 10.B解析：设P(x,y),AB中点D(0yo),由O1+0市=0成，得O= 1 20成.故=24·从面 2 ly=2yo. 记M(0,1),由垂径定理可得 1 yo=2, 0D1MD,即点D在以0M为直径的圆上，即x2+y2-y=0,将 0o)代人24-y=0,得2+-=0，化简得r (y-1)2=1.故选B. 11.(x-2)2+y2=4(0<x≤4)解析：如图，设M(4,t),tER,N(x,y), 依题意可知0<≤4，直线0M:y=,点N在0W上，故y=, 由10M·10N1=16,得V6*7·VF+=16,将1=代人得 6.r可4字.F甲26壁 √16+ 理得x2+y2-4x=0,(x-2)2+y2=4(0<x≤4).故答案为(x-2)2+y2= 4(0<x≤4) x=4 (第11题) (第12题) 2(-子）-高o(保特春#写底2点号sa也可m 解析：设M,）,P(0.o).Q(2.0,直线P0:y=(-2). 由QA⊥PA,QB⊥PB得P,A,Q,B四点共圆，PQ为直径，则圆的方程为 x2+y2-2x-y=0,与圆Q:x2y2-4x+3=0作差得AB:2x--3=0 a -2a2+6 联立PQ与AB方程 2x-2解得 2+4 反解得 2x-ay-3=0, ya2+4 a2-6-4 -2' a=-2y （倍化得子 *+3 x-2” 2a2+6 2 =2- a2+4 +42,故点M的轨迹 方程为(-子）广+<2故答案为(-）广 （2)(限制条件写成2点号≤2之可以） 13.BC解析：P(x,y)→2√+(2)=√+(y3)了→x2+ 对于A,号，号R,所以直线与调相离，不存在点户 对于B,4=5-2，<名=R,所以直线与圆相交，存在点P户： 5 53 对于C,1G,G1:号子1R+R,所以两圆外切，存在点户 对于D.-2(-2=16GG1-万4-号=1风-民 所以两圆内含，不存在点P 故选BC. 黑白题123 14.A解析：设点P(,y),则可=(-2-，y),P市=(2-x,y),所以 .P=(-2-x)(2-x)+y2=5,期x2+y2=9,所以点P的轨迹方程 为x2+y2=9,圆心为(0,0)，半径为3，由此可知园(x-a-1)2+ (y-3a+2)2■4与x2+y2■9有公共点.又圆(x-a-1)2+ (y-3a+2)2=4的园心为(a+1,3a-2),半径为2，所以1≤ √(a+1)2+(3a-2)了≤5，解得-1≤a≤2，即a的取值范围是 [-1,2].故选A 15.B解折：圆0：2=4的半径为2，由对称性得∠AP0=石，故 0P=2A0=4,故点P在圆x2+y2=16上，点P在圆M上，所以x2+ y2=16与圆M:(x-a)2+(y-1)2=1有公共点，所以4-1≤ √0+1≤4+1，解得ae[-26,-2w2]U[2w2,26].放选B. 16.解：(1)圆0：x2+y2=16,圆心0(0,0).半径r=4, :直线：x-√3y+t=0(>0)与圆0相交于A,B两点，且AB= 2w7,圆心0到直线1的距离d=√16-7=3 尔(-5可之，少0，郁得1=6直线1的方程为 又d= √3y+6=0. (2)设M(m,n),N(x,y),则D成=(x-2,y),D成=(-6,0)，Di= (m-2,n). “成=a成号成y子，即n=子 又点N在线段MF上，F,F共线，(m-4)y=n(x-4). m=22 ~点M是圆0上任意一点，.m2+m2=16, (32) (子）广=16，即（子）°炉-g点N在以r(行0)为园 心，半径为的圆上 11 圆心R到直线：x-√3y+6=0的距离d √2+(-3) 3 点N到直线l:x-√3y+6=0距离的最小值为1. 17.解：(1)圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以C(2,0),半径为2 2-0 因为1平行于极，又-一)1，故直线1的斜率为1，设直线 1的方程为y=x+m,则圆心C到直线1的距离为d-m+2!=1=2, 2 解得m=-2±22，所以直线1的方程为y=x-2+2√2或y=x-2-2W2. (2)存在假设圆上存在点P,设P(x,y),则(x-2)2+y2=4,又PA2+ PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y2)2=12,即x2+(y1)2=4因 为2-2</(2-0)+(0-1)<2+2，则圆(x-2)2+y2=4与圆x2+ (y-1)2=4相交，所以点P的个数为2. (3)设点Q(1,0),-1≤1≤2，N(x,y),由于点M是线段Q的中点， 则加（货子）又M,N都在半径为r的圆B上，所以 (x1)2+(y2)2=2, -22+6-4)2=(2只.由 方程组有解，即以(1,2)为圆心，r为半径的圆与以(2-t,4)为圆 心，2r为半径的圆有公共点，所以(2-)2≤(t-1)2+4≤(2r+r)2 对te[-1,2]恒成立.又4≤(t-1)2+4≤8.所以2≤4且9r2≥8，解 得2 3r≤2又Q在圆B外，所以(-1)2+4>2恒成立，所以2< 选择性必修第一册·SJ 4,即0<2，所以圆B的半径r的取值范围为 专项突破04 圆锥曲线中的最值与 取值范围问题 1.解：(1)依题意，设P(0,8) P 5 由抛物线的定义得1PF=+号2P,解得=2本.因为P(,8) 在抛物线C:y2=2x(p>0)上，所以82=2p,所以82=2p·2p,解得 p=4.故抛物线C的方程为y2=8x. (2)由题意可知F(2,0),直线AB的斜率存在，且不为0. 设直线AB的方程为x=my+2(m0),A(x,),B(22) 联立m+2,整理得子-8mg-16=0,则+，=8m,从面场 y2=8x, m(y1+)+4=8m2+4因为P是弦AB的中点，所以P(4m2+2,4m), 同理可得Q 2,4 4 则PQ= (- 4m4 422m石42m=8,当且仅当 且2己，即m=1时特号成立，故Q的最小值为8 2.解：(1)由题意知e=√2，且a=√+c2=√3，可得6=√a2-e2=1,故 稀两C的方程为号少=1，其~准圆°方程为+=4 (2②)由题意，可设B(am,),Dm,-m(-5m<5),则有号r 1,又4点坐标为(2,0)，所以4成=(m-2,n),i=(m-2,-n), 所u店.-(m-2-=-4加+4-(1-学）-子-4a+3 (月 又-ac6,所号()}广e0,74.所店取 值范围是[0,7+4万). 2a=2 3.解：(1)由题设 c=5,可得02=1，b2=2,则rx2-子=1 a c2=a2+b2 (2)如图，设圆0与直线1的切点为P(0少0)，则号+y6=2,当%≠ 0,即切线斜率存在时，设切线方程为y-0=k(x-0),即一y+ 力-c。=0,由相切得'0- =2,整理得(2-)2+240yk+2- √1+k 后-0，将后+y后=2代入得2+240k+后=0，即(yk+)2=0,解 得=兰，则切线1y%=（(g0),即0y=2, Yo 由2y=2,可得(3编6-4)2-43+8-26=0，又切线与双曲线 (0x+y0y=2, 交于A,B两点，则0<号<2,3号-4≠0，此时4=16号-4(3x6- 4z0 4)(8-2)>0,设A(x1,为)，B(x2+2),则x1+ 341= 8-2x6 ,所以IAB1=.1+ 3x-4 、ya √(x1+2)-412= 8-2 -4 3x2-4 4/(-2)(36-8)4/8-3x ,又双曲线「的新近线方程为y= lyo113x3-4| 13-40 黑白题124心专项突破03 与圆有关的轨迹问 题组几何法求轨迹问题 1.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶 点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5), 则底边另一个端点C的轨迹方程是() A.(x-4)2+(y-2)2=10 B.(x+4)2+(y-2)2=10 C.(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5)， (5,-1)两点)》 D.(x+4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5)， (5,-1)两点) 2.点A,B分别在x轴和y轴的正半轴上运 动，且AB=2,则AB的中点D的轨迹方程是 A.x2+y2=1 B.x2+y2=4 C.x2+y2=1(x>0,y>0) D.x2+y2=4(x>0,y>0) 3.已知A是圆x2+(y-1)2=1上的动点，PA是 圆的切线，IPA1=1,则点P的轨迹方程是 A.x2+(y-1)2=2 B.x2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=4 4.已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且IBC1= 6,则BC的中点的轨迹方程是 () A.x2+y2=1 B.x2+y2=9 C.x2+y2=16 D.x2+y2=4 5.(2025·湖南衡阳高二月考)如图，已知圆 0:x2+y2=16,A,B是圆0上两个动点，点 P(2,0),则矩形PACB的顶点C的轨迹方 程是 题 6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,点P(0,2) 若M是圆外的一个动点，连接PM与圆C 交于点N,且满足点N为线段PM的三等 分点（靠近，点P),求动点M的轨迹方程，并 说明它是什么图形 题组马代数法求轨迹问题 7.已知点M1(-3,0)和点M2(3,0),动点 M(x,y)满足IMM1I=2IMM2I,则点M的 轨迹方程为 () A.x2+y2+18x+9=0B.x2+y2+6x+9=0 C.x2+y2+6x-9=0D.x2+y2-10x+9=0 8.已知CD为圆A:(x+1)2+(y+1)2=4的一 条弦，且以CD为直径的圆始终经过原点 O,则CD中点B的轨迹方程为 9.已知平面内两点A(-1,0),B(3,0),动点P 满足PA·P店=1，则点P的轨迹方程 为 ,点P到直线3x+4y+12= 0的距离的最小值为 题组国相关点法求轨迹问题 10.已知过点(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交 于A,B两点，若0A+0=0,则点P的轨 迹方程是 A.+b)= 1B.x2+(y-1)2=1 C.+-2)=2D.2+(y-1)2=2 进阶突破·专项练05 11.已知点M是直线x=4上的动点，点N在 线段OM上(O是坐标原点)，且满足 1OM1·1ON1=16,则动点N的轨迹方 程为 12.(2025·安微合肥高二期中)已知圆Q: (x-2)2+y2=1,P是y轴上的动点，直线 PA,PB分别与圆Q相切于点A,B.若M为 AB中点，则点M的轨迹方程为 题组四轨迹问题中的存在性与任意性 13.(多选)(2025·江苏南京师大附中高二期 中)已知M(0,2),N(0,3),在下列方程表 示的曲线上，存在点P满足2IMPI=INPI 的有 A.3x-7=0 B.4x+3y-2=0 C.x2+y2=1 D.x2+y2-2x+2y-14=0 14.(2025·江苏镇江高二月考)已知A(-2,0), B(2,0),若圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4 上存在点P满足PA·PB=5,则a的取值 范围是 A.[-1,2] B.[-2,1] C.[-2,3] D.[-3,2] 15.(2025·广东深圳高二期中)已知圆0： x2+y2=4,圆M:(x-a)2+(y-1)2=1,若圆 M上存在点P,过点P作圆O的两条切 线，切点分别为A,B,使得LAPB=写，则 实数a的取值范围是 A.[-26,26] B.[-2W6,-2w2]U[2w2,26] C.[-√2,2] D.[-√6，-√2]U[2,6] O6黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 6.(2025·辽宁沈阳高二月考)已知圆0： x2+y2=16,直线l:x-√3y+t=0(t>0)与圆 0相交于A,B两点，且AB=27. (1)求直线l的方程； (2)已知点D(2,0),E(-4,0),F(4,0), 点M是圆O上任意一点，点N在线段 MF上，且存在常数入∈R使得DN= AD心+DM,求点N到直线1距离的 最小值. 7.在平面直角坐标系x0y中，已知圆C:x2+ y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2) (1)若直线1平行于AB,与圆C相切，求 直线1的方程 (2)在圆C上是否存在点P,使得PA+ PB=12成立？若存在，求点P的个 数：若不存在，说明理由 (3)对于线段AC上的任意一点Q,若在以 点B为圆心的圆上都存在不同的两 点M,N,使得点M是线段QN的中 点，求圆B的半径r的取值范围.