专题1.5 平面上的距离（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦平面上的距离这一核心知识点，以直线方程五种形式为基础，通过解方程组求交点坐标衔接，系统梳理两点间、点到直线及两平行线间的距离公式，为后续圆的学习提供关键支撑，构建完整知识支架。 资料特色体现在“知识点诠释+即学即练+典例变式”设计，结合“将军饮马”“光线反射”等现实问题，引导学生用数学眼光抽象模型，通过题型分层培养逻辑推理的数学思维，课中助力教师系统授课，课后帮助学生强化练习查漏补缺。

专题1.5 平面上的距离 教学目标 1.掌握直线方程的五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式）。 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 3.掌握平面上的距离公式并会应用。 教学重难点 1.重点 （1）直线方程的五种形式； （2）两点间的距离公式、点到直线的距离公式与平行线间的距离公式； 2.难点 （1）与距离有关的最值问题； （2）对称问题。 知识点一 两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 【即学即练】．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 知识点二 点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 【即学即练】．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离 【分析】由点到直线的距离公式求解即可． 【详解】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 知识点三 两条平行直线之间的距离公式 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 知识点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 【即学即练】．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 题型01 求平面上两点间的距离 【典例1】．点与之间的距离是5，则y=（    ） A． B． C．或 D．12 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由距离求点的坐标 【分析】由两点间距离公式计算． 【详解】由题意，即，解得或． 故选：C． 【变式1】．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 【变式2】．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知，且，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由距离求点的坐标 【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解. 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 【变式3】．已知点与点间的距离为，则________． 【答案】9或 【难度】0.94 【知识点】由距离求点的坐标 【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可. 【详解】由， 得， 即，解得或． 故答案为：9或. 【变式4】．在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为________． 【答案】或/或 【难度】0.94 【知识点】由距离求点的坐标 【分析】根据两点之间距离公式求解. 【详解】设，则有，解得或. 即或. 故答案为：或. 题型02 求点到直线的距离 【典例2】．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 【变式1】．（24-25高二上·湖南常德·期中）点到直线的距离是__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式计算求解即可. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 题型03 求两条平行线间的距离 【典例3】．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 【变式1】．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行，可得a值，代入两平行线间距离公式，即可得答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 【变式2】．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 【变式3】．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】利用直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. 题型04 对称问题-点关于直线的对称点 【典例4】．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 【变式2】．（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】利用对称点思想列方程组求解坐标. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 题型05 对称问题-直线关于直线对称 【典例5】．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式1】．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 【变式2】．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线关于直线对称的直线的方程是________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、直线关于直线对称问题 【分析】法1，求出直线与的交点坐标，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算得解；法2，利用直线关于特殊直线对称结论求解. 【详解】（方法1）联立，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以关于直线对称的直线为：，即. 故答案为：. 【变式3】．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式4】．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、直线关于直线对称问题 【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可. 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 题型06 光线反射问题 【典例6】．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、已知直线垂直求参数 【分析】先求出关于直线的对称点，再根据反射光线所在直线经过点即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，则对称点为， 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求出关于直线的对称点后可求反射光线所在直线的方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，，则对称点为. 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为. 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求直线交点坐标、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据对称性求出直线与直线的方程，再将这两条直线的方程联立，即可求得点的坐标. 【详解】如下图所示： 则、，直线方程为 ，即， 三角形重心为 ，即， 设，设点关于直线对称点为， 由题意可得，解得，即点， 由光的反射性可知、、、四点共线，且， 直线斜率为，直线方程为， 因为直线过重心，即，整理得， 解得（舍去）或，即点， 所以，直线的方程为， 联立，解得，即点. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）. 【变式3】．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式4】．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求平面两点间的距离 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 题型07 将军饮马求最值 【典例7】．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示：    则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故选:C 【变式1】．（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【详解】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 【变式2】．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 【变式3】．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】确定点关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 【变式4】．（25-26高二上·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 题型08 与平行有关的对称、距离问题 【典例8】．已知点在直线上，且________． (1)在“①直线与直线平行； ②直线与直线垂直； ③直线的倾斜角为，直线的斜率是直线的斜率的2倍．” 三个条件中任选一个，填在横线上，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，若直线与直线的距离为，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由距离求已知直线的平行线、由一般式方程判断直线的平行、由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程 【分析】（1）若选①②根据已知设出直线方程，将点坐标代入方程，即可得出答案；若选③，先根据已知条件，求出直线的斜率，代入点斜式方程，即可得出答案； （2）先判断，然后根据两条平行线之间的距离公式，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】（1）若选①： 依题意，设直线， 将代入可得，， 故直线的方程为； 若选②： 依题意，设直线， 将代入可得，， 故直线的方程为； 若选③： 依题意，直线的斜率， 故直线的斜率. 又点在直线上， 代入点斜式方程， 整理可得. （2）由（1）可得，直线的方程为，斜率为2. 又直线， 且，所以. 直线的方程可化为， 故直线、之间的距离， 整理可得， 解得或． 【变式1】．已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题 【分析】（1）求出关于点的对称点，利用在直线上，即得解； （2）先求解关于直线的对称点的坐标，再求解与的交点N，由两点式得到直线方程 【详解】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 则在直线上，， 即． （2）在直线上取一点， 则关于直线的对称点必在上． 设对称点为， 则解得． 设与的交点为，则由得， 则经过点， 直线的方程为，即． 【变式2】．（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知直线与. (1)若两点分别在直线上运动，求的中点到原点的最短距离； (2)若直线过点，且被直线截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由距离求已知直线的平行线、求平行线间的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）将问题转化为原点到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得结果； （2）根据平行线间距离公式可确定直线与垂直，由此可得直线斜率，利用直线点斜式可整理得到结果. 【详解】（1）设与直线平行且到距离相等的直线上的点为， 则，，即， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离， 所求最短距离为. （2）与之间的距离， 直线与直线垂直，即，又直线过点， 直线方程为：，即. 【变式3】．已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】由距离求已知直线的平行线、直线的斜截式方程及辨析 【分析】（1）首先根据直线上的两点求出斜率，即可得出答案； （2）设出直线的方程，代入点的坐标，求出方程.根据两条平行直线之间的距离公式，列出方程，即可得出答案. 【详解】（1）由条件可知，直线过点和， 所以直线的斜率 所以所求直线的方程为，即 （2）设所求的直线的方程为 则有，得，即直线的方程为 ∵与直线间的距离为， ∴，整理可得. 又，∴ 【变式4】．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）在直角坐标系xOy中，直线l：与x，y轴分别交于点A，B，直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D. (1)求与l平行且距离为2的直线的方程； (2)若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值； (3)若点满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值. 【答案】(1)或 (2)或 (3)或或 【难度】0.4 【知识点】由距离求已知直线的平行线、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据直线平行，设出所求直线的方程，然后根据平行线间的距离公式，即可求解； （2）根据图形，△OCD与△AOB有两种相似情况，分别求解即可； （3）分三种情况利用向量表示直线垂直，以及线段相等列方程组，分别求解即得 【详解】（1）设与l平行的直线方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 即所求的直线方程为或. （2）由l：，令得；令得 ∴ 由条件知CD与x轴垂直，所以，要使两个三角形相似，只需再确定另一组相等的角即可. ①若，则, ∴直线OC的方程为：， 由，解得，所以，此时. ②若，则 ∴直线OC的方程为：， 由，解得，所以，此时. 综上，或. （3）由题知，，点坐标为，则，,. 若为等腰直角三角形，且为直角，则，解得；若为等腰直角三角形，且为直角，则， 即，解得或（舍去） 若为等腰直角三角形，且为直角，则， 即，解得 综上，若满足△MCD为等腰直角三角形，则或或. 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 2．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 5．（25-26高二上·天津西青·期末）与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】取所求直线上任意一点，可求得关于轴的对称点的坐标，将其代入即可求解. 【详解】设与直线关于轴对称的直线为l, 取l上任意一点，则关于轴的对称点为， 所以在直线上，即，亦即. 故选：D. 6．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 二、填空题 6．（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、求直线交点坐标、已知两点求斜率、求点关于直线的对称点 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 7．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 8．直线关于直线的对称直线方程为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】两直线方程联立可求得交点在所求对称直线上；在直线上取一点，求得其关于直线对称的点的坐标，该点也在对称直线上；由直线两点式可整理得到结果. 【详解】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 9．在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立平面直角坐标系，求出点关于轴和直线的对称点，结合光的反射定律列方程求解即得. 【详解】在等腰直角中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，的重心，直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 由光的反射定律知，三点共线，则，即，而， 所以，即. 故答案为： 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 三、解答题 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、求直线交点坐标、求平行线间的距离、由两条直线平行求方程 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 12．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 13．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 14．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】根据点关于直线的对称，进而根据两点距离公式即可求解. 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    15．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由距离求已知直线的平行线、求直线交点坐标、求平行线间的距离、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 平面上的距离 教学目标 1.掌握直线方程的五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式）。 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 3.掌握平面上的距离公式并会应用。 教学重难点 1.重点 （1）直线方程的五种形式； （2）两点间的距离公式、点到直线的距离公式与平行线间的距离公式； 2.难点 （1）与距离有关的最值问题； （2）对称问题。 知识点一 两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 【即学即练】．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 知识点二 点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 【即学即练】．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 知识点三 两条平行直线之间的距离公式 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 知识点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 【即学即练】．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 题型01 求平面上两点间的距离 【典例1】．点与之间的距离是5，则y=（    ） A． B． C．或 D．12 【变式1】．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【变式2】．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知，且，则________． 【变式3】．已知点与点间的距离为，则________． 【变式4】．在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为________． 题型02 求点到直线的距离 【典例2】．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【变式1】．（24-25高二上·湖南常德·期中）点到直线的距离是__________. 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 题型03 求两条平行线间的距离 【典例3】．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式1】．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【变式3】．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 题型04 对称问题-点关于直线的对称点 【典例4】．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【变式1】．（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型05 对称问题-直线关于直线对称 【典例5】．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线关于直线对称的直线的方程是________. 【变式3】．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【变式4】．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 题型06 光线反射问题 【典例6】．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【变式1】．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为_____. 【变式2】．（24-25高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于______． 【变式3】．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 题型07 将军饮马求最值 【典例7】．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 【变式1】．（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【变式3】．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【变式4】．（25-26高二上·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 题型08 与平行有关的对称、距离问题 【典例8】．已知点在直线上，且________． (1)在“①直线与直线平行； ②直线与直线垂直； ③直线的倾斜角为，直线的斜率是直线的斜率的2倍．” 三个条件中任选一个，填在横线上，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，若直线与直线的距离为，求实数m的值． 【变式1】．已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【变式2】．（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知直线与. (1)若两点分别在直线上运动，求的中点到原点的最短距离； (2)若直线过点，且被直线截得的线段长为，求直线的方程. 【变式3】．已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 【变式4】．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）在直角坐标系xOy中，直线l：与x，y轴分别交于点A，B，直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D. (1)求与l平行且距离为2的直线的方程； (2)若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值； (3)若点满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值. 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津西青·期末）与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 7．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 8．直线关于直线的对称直线方程为__________． 9．在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 三、解答题 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 12．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 13．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 14．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为__________． 15．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $