第2章 圆与方程（高效培优单元自测·提升卷）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学“圆与方程”单元提升卷，通过多样化题型梯度设计，覆盖直线与圆位置关系、轨迹方程等核心知识，注重数学思维与应用意识考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|直线垂直、弦长最短、对称圆方程|基础概念辨析，考查几何直观与抽象能力| |多选题|3/18|距离最值、直线过定点、轨迹图形判断|多维度分析，培养推理意识与批判性思维| |填空题|3/18|圆相交、直线与曲线交点、阿波罗尼斯圆|情境化设计，体现模型观念与创新意识| |解答题|5/74|切线方程、轨迹方程推导、弦长计算|综合应用，发展运算能力与问题解决能力|

第二章 圆与方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．若直线与互相垂直，则实数（    ） A． B．或0 C．或0 D．0 2．当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A．－1 B． C．1 D． 3．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 10．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 D．圆与圆恰有两条公切线 11．已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为.则下列说法正确的是（    ） A．是一条直线 B．的最小值为 C．当时，围成的图形面积的最大值为 D．，且与无公切线 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．已知圆O：与圆相交于M，N两点，点P的坐标为．若圆经过M，N，P三点，则的方程为________． 13．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知圆C：和定点，直线l：（）. (1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 16．中，是边上的点，，且． (1)若，求面积的最大值； (2)若内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由． 17．已知圆. (1)过点作圆的切线，求切线的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 18．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 19．已知圆的半径为，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为，直线：与圆交于，两点． (1)求圆的标准方程． (2)弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长． (3)直线过点，且，直线与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆与方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．若直线与互相垂直，则实数（    ） A． B．或0 C．或0 D．0 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，即，解得或. 故选：C. 2．当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A．－1 B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、直线过定点问题 【分析】先判断直线l经过定点M，且点M在圆C内，当直线l垂直于CM时，圆被直线截得的弦长最短，计算即得. 【详解】由得，圆心坐标，半径为8， 直线的方程化为， 由，解得， 所以直线l过的定点，且，所以点M在圆C内， 要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线l， 所以， 故选：C 3．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、求点关于直线的对称点 【分析】求圆C的圆心关于直线对称点即可求得所求圆圆心，进而得解. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 设圆心关于直线对称点坐标为， 由题意得，解得，即对称圆的圆心为， 所以圆C关于直线对称的圆的方程为. 故选：B 4．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆 【分析】由，知动点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出的取值范围，进而找到的最小值. 【详解】 解：，点的轨迹是以为直径的圆， 又点在圆上，故点是圆与圆的交点， 因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即， 解得：． 的最小值为4． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查圆与圆位置关系的应用，解题的关键通过化归与转化思想，确定点的轨迹是以为直径的圆与圆有交点，从而可求出，考查了学生化归与转化思想，数形结合的解题思想及运算求解能力，属于中档题. 5．若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.51 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 6．已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆 【分析】由题意得点C在以为直径的圆上，记为圆D，求出圆D的圆心和半径，分析可得直线l与圆D有公共点，根据直线与圆的位置关系，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，所以点C在以为直径的圆上，记为圆D． 因为，，所以圆心，圆D的半径， 因为点C在直线l上，所以直线l与圆D有公共点， 所以圆心D到直线l的距离，即， 化简得，解得，即实数k的取值范围是． 故选：B 7．已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、直线与圆的位置关系求距离的最值、直线过定点问题 【分析】由题意可得直线恒过定点，求得圆心到直线的距离的最大值可求的最大值． 【详解】由，得圆心，半径， 由直线，即，得直线恒过定点此点在圆内，. 又越小，则圆心到直线的距离越大， 如图，圆心到直线的最大距离为， 而， 所以圆心到直线的距离的最大值为， 此时， 所以， 所以的最大值为． 故选：D.      8．已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】根据方程，得到阿波罗尼斯圆的圆心的坐标及半径的值，再利用阿氏圆的常用公式，快速求出的值，即可得解. 【详解】设阿波罗尼斯圆的圆心为，半径为， 因为阿波罗尼斯圆方程为，所以. 因为，，所以， 代入阿氏圆的常用公式，可得，又，解得. 又由阿氏圆的常用公式，可得. 所以． 故选：B 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC 10．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 D．圆与圆恰有两条公切线 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数、判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题 【分析】A选项，变形后得到方程组，求出所过定点；B选项，点在圆外，故直线与圆可能没有交点，1个交点或两个交点；C选项，时，点到直线的距离，，圆上恰有三个点到直线的距离等于1；D选项，判断出两圆相交，D正确. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，直线，由，解得， 直线过定点，A正确； 对于B，，点在圆外， 故直线与圆可能没有交点，1个交点或两个交点， 比如时，， 圆心到直线的距离， 此时直线与圆无交点，B错误； 对于C，当时，直线，点到直线的距离，， 则圆上恰有三个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆的圆心，半径， ，两圆相交，有2条公切线，D正确． 故选：ACD 11．已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为.则下列说法正确的是（    ） A．是一条直线 B．的最小值为 C．当时，围成的图形面积的最大值为 D．，且与无公切线 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】判断圆与圆的位置关系、求平面轨迹方程 【分析】根据题意当时，是的中垂线判断A；当时，设，化简得，曲线为是一个圆，计算即为圆上点到轴的距离的最小值，判断B；根据的半径随着的增大而减小，时，围成图形面积的最大判断C；计算与圆心之间的距离和半径差的绝对值，并比较大小得到与内含，判断D正确. 【详解】对于A，当时，，是的中垂线，即为轴，所以A正确； 对于B，由上分析可知点所构成的曲线为轴.当时，设， 则，化简得， 当时，为，所以即为圆上的点到轴的距离， 即的最小值为，B错误； 对于C，由上分析可知的半径为随着的增大而减小， 所以时，围成的图形面积的最大值为，故C正确； 对于D，有上分析可知与圆心之间的距离为， 与半径差的绝对值为， 所以 ， 因为在上单调增，所以， 即成立， 所以与内含，所以与无公切线，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．已知圆O：与圆相交于M，N两点，点P的坐标为．若圆经过M，N，P三点，则的方程为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程、求两圆的交点坐标 【分析】联立方程求M，N两点的坐标，法一：根据几何性质可得圆心C2在x轴上，设结合圆的定义运算求解；法二：设圆，代入点，列方程求解. 【详解】联立方程，解得或， 故M，N两点的坐标为． 法一：可得关于轴对称，即线段的中垂线为轴，故所求的圆的圆心C2在x轴上， 设，点P的坐标为， ∵，即，求得m＝5， 故要求的圆的圆心，半径为， 故要求的圆的方程为． 法二：设圆，且点P的坐标为， 代入点，可得，解得， 故要求的圆的方程为，即． 故答案为：. 13．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【详解】直线过点，， 联立方程 则 ， 即，故， 根据图象的交点，可得， 故. 故答案为：. 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据数量关系可得，即，又，进而由可得答案. 【详解】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知圆C：和定点，直线l：（）. (1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长. （2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）圆C：，圆心，半径， 当时，直线l的方程为， 所以圆心C到直线l的距离， 故弦长为.    （2）设，则， 由，，得. 化简得， 所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆. 又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点， 所以， 解得， 所以m的取值范围是.    16．中，是边上的点，，且． (1)若，求面积的最大值； (2)若内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由面积公式可得： ， ， 因为，故， 由可得即， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 则，整理得到：， 即点A的轨迹是以圆心，为半径的圆， 故的边上的高的最大值为，故其面积的最大值为. （2）因为，故，又，故， 故为直角三角形，且， 假设内存在点，使得， 法一：如图，设， 则，故， 在中，由正弦定理可得，即， 故，故， 因为为锐角，故， 故存在且． 法二：如图，设，则，故， 同理，故， 而，故， 在中，由余弦定理可得：， 整理得到：， 所以， 整理得到：，解得或， 但为锐角，故，故， 故存在且． 17．已知圆. (1)过点作圆的切线，求切线的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或. (2)直线与圆相交，弦长为 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线被圆截得的弦长. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，则直线的方程为，即， 由题意得，解得，此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. （2）圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 18．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【详解】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 19．已知圆的半径为，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为，直线：与圆交于，两点． (1)求圆的标准方程． (2)弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长． (3)直线过点，且，直线与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)弦长没有最大值；当垂直于时轴，弦长最小，此时的方程为， (3) 【难度】0.4 【知识点】坐标法的应用——点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由圆心（或半径）求圆的方程、已知直线垂直求参数 【分析】（1）由题意可得，圆心在x轴上，再由当时，，可得圆心，即可求解. （2）设直线的斜率为，直线恒过定点，且在圆内，由题意可得，斜率存在，再由弦为圆的直径时，弦最长，直线轴时，弦最短求解即可. （3）通过讨论斜率是否存在，通过，所以，所以，由点到直线距离以及圆的性质求解即可. 【详解】（1）因为圆的半径，且被x轴截得的弦长为4，所以圆心在x轴上 又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心 所以圆的标准方程为. （2）由直线的方程知，若直线的斜率为，则； 直线恒过定点，且此定点在圆内， 当弦为圆的直径时，弦最长，即的值最大，此时直线为x轴，斜率， 又因为，所以弦不存在最大值， 当直线轴时，即时，弦最短，此时直线的方程为，因为圆心到直线的距离为，所以最短弦长. （3）由（2）知，直线恒过点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线的方程为， 由（2）知，，弦是圆的直径，所以， 所以四边形的面积， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 则直线的方程为，因为圆心到直线的距离， 所以， 同理得， 所以四边形的面积为， 令，则，，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 由，解得，即，因为，所以四边形面积的最大值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $