第2章 圆与方程（高效培优单元自测·强化卷）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学第二章“圆与方程”，以文化情境（如太极图）和分层问题设计，覆盖直线方程、圆的位置关系等核心知识，适配单元复习，助力数学思维与应用能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|直线方向向量、两圆位置关系|第3题以太极图考查圆上动点最值，体现文化传承与几何直观| |多选题|3/18|圆的方程、直线平行判定|第11题综合两圆公切线与公共弦长，考查推理能力| |填空题|3/18|切线方程、对称问题|第13题直线上动点距离最值，强化空间观念| |解答题|5/74|圆的标准方程、直线与圆相交|第16题三问递进（方程表示圆、外切、弦长），培养模型观念与运算能力|

第二章 圆与方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、求直线的方向向量（平面中） 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 2．设为实数，若直线与直线平行，则（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行列式求值即可. 【详解】因为两直线平行，所以， 所以. 故选：A 3．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的实际应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 4．已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、利用数量积求参数 【分析】将“”转化成，得到点的坐标与实数的关系，即. 根据的几何意义求得其取值范围，可得到的取值范围. 【详解】设点，则，. 若满足，则，即，即，所以. 令，则表示点到坐标原点的距离. 如图，当线段过圆心时，最大，最大值为. 所以的取值范围是. 故选：D.    5．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】切线长 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 6．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、两圆的公共弦长、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用点到直线的距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，圆，即， 所以其圆心和半径分别是； 圆的圆心和半径分别是. 则中点为. 点不在直线上，即直线不过的中点， 即不关于直线对称，故A错误； 对于B，圆与圆的公共点的坐标均满足两圆方程， 因此两圆相减可得其公共弦所在直线方程为， 即， 到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C正确； 对于D，如图，设关于直线对称点为， 则，解得，即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D错误. 7．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 8．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求点到直线的距离、圆的公切线条数 【分析】根据两圆的位置关系得出，再将问题转化为求圆环内的点到直线的距离的取值范围. 【详解】由题意可知，，，且两圆相交， 则，则， 因为点到直线的距离为， 则圆与圆中间的圆环内的点到直线的距离，即， 则，故的取值范围为. 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设. 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得 所以或 解得或 所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为， 由题可知，故直线方程为，D正确． 故选：ACD 10．下列说法正确的有（   ） A．直线的斜率为3 B．过点，的直线方程为 C．圆的圆心为，半径为1 D．若，则直线与直线平行 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率、直线一般式方程与其他形式之间的互化、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】对A，直接变形即可判断；对B，求出斜率，再写出点斜式方程即可；对C，转化为标准圆方程即可判断；对D，直接代入计算即可判断. 【详解】对A，直线的斜截式方程为，所以直线的斜率为3，故A正确． 对B，因为点，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，一般式方程为，故B正确． 对C，圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径为1，故C错误； 对D，当时，直线的方程为， 直线的方程为，可化为，所以，故D正确. 故选：ABD． 11．已知圆与圆，圆心分别为，则下列结论正确的是（   ） A．过点作圆的切线只有1条，则 B．若圆与圆有且只有2条公切线，则或 C．当时，两圆的公共弦长为 D．当时，两圆的一条公切线方程为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】对于A，分析可知圆心的圆心在圆上，将圆心的坐标代入圆的方程，求出的值，可判断A选项；对于B，分析可知，两圆相交，根据圆与圆的位置关系求出的取值范围，可判断B选项；对于C，求出两圆的公共弦长，可判断C选项；对于D，求出两圆圆心到直线的距离，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若过点作圆的切线只有条，则在圆上， 则有，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 解得或，B错； 对于C选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，C错； 圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 所以当时，直线是两圆的一条公切线，D对. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 13．在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 14．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求空间中两点间的距离、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知的顶点，边AB上的高线CH所在的方程为，角的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线BC的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）求出直线AB的方程，与直线联立即可求出点. （2）求点关于直线的对称点，则直线即为直线，利用两点式可得方程. 【详解】（1）由题意，，所以， 直线AB的方程为：，即. 联立直线AB与直线的方程，. 所以点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为， 则，所以点， 因为直线就是直线， 所以直线的方程为：，即. 16．已知关于的方程. (1)若方程表示圆，求m的取值范围； (2)若圆与圆外切，求的值； (3)若圆与直线相交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. （3）由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 17．已知圆C的圆心为，且圆C经过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； (3)求过点且与圆C相切的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）利用待定系数法可求得圆的方程； （2）利用圆中的弦长公式求解即可； （3）分过点的直线斜率是否存在两种情况讨论，存在时，设过与圆相切的直线方程为，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为圆C的圆心为，所以设圆的标准方程为：， 又圆C经过点，所以，解得， 所以圆C的标准方程为； （2）圆心到直线的距离， 弦长； （3）因为，所以在圆外； 当过点的直线斜率存在时，设过与圆相切的直线方程为， 即， 因为直线与圆相切，所以，整理得， 两边平方得，解得， 所以切线方程为或； 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，过圆心显然与圆不相切； 综上所述：过点且与圆C相切的直线方程为或．    18．已知圆的圆心在上，点，在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）设圆心坐标，求的中点坐标，由垂径定理得到，即可求得圆心坐标，然后求得半径，即可写出圆的方程； （2）当斜率不存在时，写出直线方程，联立方程组求得，验证此时直线是否满足题意；当斜率存在时，设直线方程，得到圆心到直线的距离，由垂径定理求得斜率，即可得直线方程. 【详解】（1）圆心在直线上，设圆的圆心为，的中点为. 因为，，所以的中点的坐标为. 因为，所以，即，解得， 所以圆心的坐标为，所以半径， 故圆的标准方程为. （2）①当直线的斜率不存在时，因为直线过，所以直线的方程为. 将代入，得， 解得或，所以，成立. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 因为，所以，解得， 所以方程为，即. 综上，直线的方程为或. 19．已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【详解】（1）首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆与方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．设为实数，若直线与直线平行，则（   ） A． B．2 C． D．0 3．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 6．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 7．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（   ） A．直线的斜率为3 B．过点，的直线方程为 C．圆的圆心为，半径为1 D．若，则直线与直线平行 11．已知圆与圆，圆心分别为，则下列结论正确的是（   ） A．过点作圆的切线只有1条，则 B．若圆与圆有且只有2条公切线，则或 C．当时，两圆的公共弦长为 D．当时，两圆的一条公切线方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 13．在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 14．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知的顶点，边AB上的高线CH所在的方程为，角的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线BC的方程. 16．已知关于的方程. (1)若方程表示圆，求m的取值范围； (2)若圆与圆外切，求的值； (3)若圆与直线相交于两点，且，求的值. 17．已知圆C的圆心为，且圆C经过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； (3)求过点且与圆C相切的直线方程． 18．已知圆的圆心在上，点，在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 19．已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $