第2章 圆与方程(拔高练)-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

进阶 突破 第2章 圆与方程 2.1 圆的方程⊕ 2.2直线与圆的位置关系 1.(25·江苏盐城高二期中)已知点F(m,2 m (m∈R,m>0),以F为圆心，F0(0为坐标 原点)为半径作圆F直线I与圆F交于M, N两点，且与x,y轴的正半轴分别交于A,B 两点，若△OMN为正三角形，则OA+OB的 最小值为 A.63 B.32 C.33 D.62 2.(2025·江西赣州高二月考)已知A,B是圆 0:x2+y2=4上两点，且IAB1=2,直线x= my+4上存在点P使得0A+0B=0P,则m 的取值范围为 ,1u写+） B.(人，)u+) c-991 (5) 3.（多选)(2025·广东佛山高二期中)已知 m>0,n<0,C(x,y)是曲线y=√4x-x2上的 任意一点，若1x-y+ml+lx-y+nl的值与x,y 无关，则 A.m的取值范围为[22-2，+0) B.n的取值范围为(-0，-22-2] C.1x-y+31的最大值为7 D.|x-y+ml+lx-y+nl的最小值为2+2√2 02黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 4. (2025·福建泉州高二期中)在圆幂定理中 一个切割线定理：如图所示，QR为圆0的 切线，R为切点，QCD为圆O的割线，则有 1QR12=1QC1·1QD1.在平面直角坐标系 x0y中，已知点P是圆E:x2+y2-2x=3上任 意一点，过点B(2,0)作BT⊥OP,垂足为T 则IPO1+31PTI的最小值为 5. (2025·江苏常州高二月考)已知圆M的 圆心M在x轴上，半径为1，直线：y=3 2被圆M所截的弦长为3，且圆心M在直 线l的下方. (1)求圆M的方程； (2)若圆M是△ABC的内切圆，设A(0,t), B(0,t+6)(-5≤t≤-2).设AC的斜率 为k1,BC的斜率为k2,用t表示k1,k2; (3)在(2)的条件下，求△ABC的面积S的 最大值和最小值， 2.3圆与圆的位置关系 1.已知圆方程C1f(x,y)=0,点P(x1,y1)在 圆C1上，P2(x2,y2)不在圆C1上且不与圆 心C1重合，则方程f(x,y)-f(x1,y1) f八x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是 ( A.圆C2与圆C1重合 B.圆C2与圆C,圆心不同 C.圆C2过P,且与圆C圆心相同 D.圆C2过P2且与圆C,圆心相同 2.(多选)(2025·江西南昌高三月考)如图，有 一组圆C(k∈N)都内切于点P(-2,0),圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=2,设直线x+y+2=0 与圆C在第二象限的交点为A,若 1AA1I=√2，则下列结论正确的是() A.圆C的圆心都在直线x+y+2=0上 B.圆Cg的方程为(x+52)2+(y-50)2= 5000 C.若k≥8，则圆C与y轴有交点 D.设直线x=-2与圆C在第二象限的交 点为B,则IBB+1I=1 C (第2题)》 (第3题) 3.(2025·江苏无锡高二期中)“晚旁”徽标 是借两个圆设计而成，其状如月（如图阴影 部分).已知圆C1:x2+y2-2ax+4y+1=0,C2: x2+y2-3ax+(4+√3)y+4+23=0,其中0< a<3.A,B为圆C1与圆C2的交点，若弦AB 将圆C,分为长度之比为1：2的两段弧， 则组成“晚旁”的两段弧长之比 为 .(请写出长度较短的弧与长度 较长的孤的长度之比) 4.如图①，在平面直角坐标系中，⊙C的方程 为(x-1)2+y2=4,⊙D的方程为(x+1)2+ y2=16,两圆内切于点A,动圆⊙P与⊙C外 切，与⊙D内切.如图②，过A点作⊙P的 两条切线1,2，若圆心在直线x=m(m≠3) 上的⊙P也同时与l1,2相切，则称⊙P为 ⊙P的一个“反演圆” (1)当m=-3时，求证：⊙P的半径为定值； (2)在(1)的条件下，已知⊙P,⊙Q均与 ⊙C外切，与⊙D内切，且⊙P的圆心 为(-1，弩)，求证：若⊙p,⊙0的反 演圆”⊙P,⊙Q相切，则⊙P,⊙Q也 相切 进阶突破·拔高练03进阶突破·拔高练参考答案 第1章直线与方程 x+7 (2-x)1=-x+1-3+x+71=1a-x|+3 ,易知0≤x≤2，x< 3 1.1直线的斜率与倾斜角中1.2直线的方程 r+7 ,不妨把x看成-个者量，当a≤x时.d(P,Q)=-4a+2r+7,当<a< 解：(1)已知直线11，乙均过点M(1,2).直线L1,乙是一组“M,共轭线 对，且，的斜*为所以5的斜*为4，故方程为)一2=4（一1），化 时dP.Q=-2a+7,当a≥时dP.0=4-2-7.南-次函数 3 为一般式为4x-y-2=0. 的性质知，此时4P.Q)在。宁处取瑞最小值为学7产2.1，且 3 3 (2)设，的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为a,则ma x=2,y=0时取等号， 当x≥0，y≤0时.y=x-2.所以d(P.Q)=1a-x1+19-3和-(x-2)1=1m 3 11- xl+1-3a-x+111=lax+3a 3 ,易知0≤≤2号不防把 三，等号成立的条件是=5，所以直线4的夹角最小值为号 x看成一个常量，当a≤时，d(P,Q)=-4a+11,当x<a< 时， 3 d《P,Q)=-2a+1-2x,当a≥3时，d(PQ)=4a-11.由一次函数的 1.3两条直线的平行与垂直 性质知.此时d(P.Q)在a="-处取到最小值为山≥山2.1， 证明：由点B(6,0)和点P(0,P,知直线BP的斜率为-P 3 3 3 且x=2,y=0时取等号， 由点A(0,a)和点C(c,0),知直线4C的斜率为a 当x≤0，y≥0时，由1x|+1y|=2,得到-x+y=2,所以d(P,Q)=1a-x1+ ,易知-2≤ 因为BE⊥AC,所以 )(8）小-1.即mk 19-a-201=i+1-a-+71=1a-+3a-7号 7- 由点C(c,0)和点P(0,p),知直线CP的斜率为-P ≤0，c行，不访把x看成一个常量，当a≤x时，dP,0)=-4如+7，当 7时.dP,0)=-2u+7-2x,当a≥7时，d(P.0)=4-7,由一次 a< 由点4(0.a)和点B(6.0).知直线B的斜率为。， 3 则直线cF与B的斜率之积为（上）（号）是产-1，所以 函数的性质知，此时4P,Q)在a7处取到最小值为2“≥70 3 > ,且x=0,y=2时取等号 CF⊥AB. 3 当x≤0，y≤0时，由xl+1y|=2,得到-x-y=2,所以d(P,Q)=1a-x1+ 1.4两条直线的交点+1.5平面上的距离 解：(1)因为A(1,1),B(2,n),则d(A,B)=11-21+11-ml=3,解得n= g--21=la1-=io+3-号 -1或n=3 知-2≤x≤0，x< k中”，不妨把x看成一个常量，当a≤x时，d(P,Q)= (2)()因为曲线C是“O-2”曲线(0是原点)，设曲线C上任意一点 P(x,y),则1xl+ly1=2,所以曲线C的方程为1x+y1=2, -4a+2x+11,当x<a< 当x≥0，y≥0时，由lx+lyl=2,得到x+y=2, 时，d(p.Q)=-2a+1,当a≥岁时。 3 当x≥0,3<0时，由x|+1y川=2，得到x-y=2, d(户.Q)=4-2-1,由一次函数的性质知，此时d(P.Q)在a=1处 3 当x<0,y≥0时.由|x+1y=2,得到-x+y=2。 当<0,3<0时.由1x1+1y1=2.得到-x-y=2,所以图象如图①. 因为d(P,N)=13-x1+13-yl,又易知-2≤x≤2，-2≤y≤2，所以 取到最小值为产，”0且=0y-2时取等号.袋上 3 3 d(P,Q)的最小值为1. d(P,N0=13-x1+3-yl=3-x+3-y=6-(x+y). 令x+y=1,则y=-x+H.由图①易知t的最小值为-2，所以d(P,N)的最大 第2章圆与方程 值为8 2.1圆的方程+2.2直线与圆的位置关系 1.D解析：如图.设圆F的方程为(x-)2+(y-b)2=2+2,其中 b=2.a>0,6>0.则r=合 原点O(0,0).F到直线1的距离为d.△OMN为正三角形..1L 3x+y-90 0r,且d==3后+B,则6=a +b=2 2 2 设l:y=-a 6+1(0.即：a+6r-a=0,A（,0,B(0,),由 1-!3a2+b -,得1 3(a2+w2) √02+6 2 (i)如图2，因为点0在直线1：3x+y-9=0上，设0(a,b),P(x,y),则 ,0A+0B=1+ M,302+6).ab。6b2v而=6万，当且仅当 d(P,0)=la-xl+ib-yl, 26 4 因为b=9-3a,当x≥0，y≥0时，y=2-x,所以d(P,Q)=1a-xl+19-3a a=b=√2时等号成立，，0A+0B的最小值为62.故选D. 参考答案黑白题103 弦长为厚，所以y到直线1=子子，即8-6-3=0的距离为 18a-31 82+6 -()=子解得。=-。=1因为心 在直线1的下方，所以a> ,故a=1,所以圆M的方程为(x-1)+ 3 32=1 (第1题) (第2题) (2)由题可得直线AC和直线BC的方程分别为y=k1x+t和y=x+ 2.A解析：由题意可知，圆0：x2+y2=4的圆心为0(0,0)，半径r=2, 如图，设4B中点为M.则Oi+0成=20i,且O+0成=0币，可得0亦= 46,联立=x+, 1一2 2Oi.又因为1AB1=2,可知△04B为边长为2的等边三角形，则 y=k,x+1+6 6, 10W1=3,可得10P1=210M1=23,可知点P的轨迹是以原点0 y=k-ka 为圆心，半径为23的圆， 因为1g1=中6-=6，所以△4C的面现5：宁×点 因为直线x=m+4上存在点P使得O+0成=0币，即直线x=my+4与 18 圆+y2=12有交点，可知偶心到直线的距离d=一4 ≤2月，解 6=k,k m+1 1k,+ 得me(,号][停)小故选入 因为圆M与AC相切，所以圆M到直线AC的距离为1= √+1 3,ACD解析：由曲线y=√4-，得y≥0，则(-2)2+y2=4(y≥0). 2 用理器与28 所以曲线y=√4红-表示以M(2.0)为圆心，半径r=2的半圆(x轴 (3)由(2)得，-= -P1-(+6)2_3(2+6+业.所以s= 及以上部分)，如图 2 2(1+6) t2+6t 设直线l1:x-y+m=0与2：x-y+n=0,由1x-y+m1+1x-y+n1= 18 18 ag,） 1k1-3P+6+1 ,得引x-y+m+x一y+nI表示点C(x,y)到 =6x1+6+1 12+60 直线，和12的距离和的2倍， 因为-5≤1≤-2，所以-2发1+3≤1，所以-8≤(+3)2-8=12+61+1≤ 对于A,B,若1x-y+m+x-y+n的值与x,y无关，则该曲线在两平行 -4,所以-4≤+6+1 1 1 1115 直线41：x-y+m=0与2：x-y+n=0之间， -g,所以=6x（1+25m 当1与该商线相切时.2”=2，解得m=2,2-2,期m的取值范调为 6(） 122-2,+g）. 2.3圆与圆的位置关系 当2经过点(4,0)时，4+=0，解得程=-4，则#的取值范丽为 (-x,-4], 1.D解析：由题意得，圆方程C,:xy)=0,点P,(xy)在圆C,上 故A正确，B错误： 点P2(2)不在圆C上x1)=0(2为)≠0 对于C.由图可知，当点C的坐标为(4.0)时，点C到直线x-y+3=0 由八y)-八x1)-为)=0，得x,y)=八22)≠0，它表示 的距离最大，为“.所以31的是大值为7.放 过P2且与圆C1圆心相同的圆.故选D. 2。ABD解析：圆G,的圆心C,(-3,1),直线PC,的方程为y= C正确： 3--2·(x+2,即x+2=0,由两圆内切连心线必过切点，得圆 1-0 对于D,由图可知，当，与该曲线相切，且2经过点(4,0)时，点 C,的圆心都在直线PC,上，即圆C,的圆心都在直线x+y+2=0上， C(x,y)到直线1和2的距离和最小，此时1：x-y+22-2=0,则点 故A正确： C(,y)到直线1，和5的距离和最小值为4-0+22-2.22+2所 是然1PA=2(k+1),设点A(),则 2 4+=-2, 以1x-y+ml+xy+nl的最小值为2+2反，故D正确 而x<-2,解得x=--3,y=k+1,因 故选ACD, (4下x4+21=2(+1), -43=0 22人半径为%12 此圆G的圆心G(5.）】 2 (k+1),圆G 的方程为（）+（月 (+1) 2 ,则圆Cm的方程为 (x+52)2+(-50)2=5000,故B正确： 8+5 当=8时，圆C的圆心到y轴距离为 2 222 %,即此时倒C,与y轴相离，无交点，故C错误： (第3题 (第4题) 4,6解析：如图.由B(2.0),BT⊥T.可知点T的轨迹为以线段0B 在（告）（智）广中，令2得点的以幸标 2 为直径的圆.其同心为E(1.0),半径为1.过点P作圆E的切线PM. 为k+1.因此BB11=1.故D正确。 切点为M,连接EM.则1PW12=1PE12-1=22-1=3. 故选ABD. 由切制线定理，可得PM12=1PT1·1PO川，枚得1PT1·1P0川=3，故 3.33:8解析：易知倒C1:(x-a)2+(y+2)2=a2+3的圆心为 P0川+3PT1≥2√1P0川·31PTT=6,当且仅当1P01=31PT1=3时 等号成立，即当P(3.0).T(20)时.1P0川+31PT1取得最小值为6.故 C(a,-2),半径1=Va2+3: 答案为6. 5.解：(1)设圆心M(a.0),因为圆M的半径为1，直线1被圆M所截的 选择性必修第一册，SJ黑白题104 号）*轻酒 第3章 圆锥曲线与方程 2 两园方程相碱即可得公共弦AB所在直线方程为一3，-3-25=0. 3.1椭圆 由弦AB将阿G,分为长度之比为1：2的两段弧可知∠AG,B=120°，因 知识点一椭圆的标准方程 此调心G(0,-2)到直线m-5y-3-25=0的距离为宁1，即 1. 解折：因为椭圆方程为号号1，所以。=3.6=5，c 分323.又0ac3,解得2=1政a2=9(合)，即a=1: √0-b=2 又线段PF的中点Q在以原点0为园心，1OF1为半径的同上，所以 此时G(-2 在弦AB方程x-√3y-3-23=0上，所以AB FQ垂直平分线段PF,所以IFFI=IPFI=4. 又因为1PF1+1PF1=6,所以IPF1=2.1QF1=1.在直角三角形FQF 为圆C,的直径， 易知1=2，=3，所以AB截得的网C,的弧长为r2=3π，截得 中，1F1=√I6-=5,于是△PFF的面积为 2×1PF1× 的圆G的弧长为=号 8 10F1=J ×2×√5=V5.故选C. 4 3m1=V5r: 8 此时组成“晚旁“的两段孤长之比为，： 3行 2y2 2.D解析：如图所示，联立 已，故Af 33:8.故答案为33：8 x=c. 4.证明：(1)设P(w,0),此时⊙P的半径为t=1PCI-2= DF:=4. 设椭圆的半长轴为a.则AF1=2a-4,BF,=9-(2a-4)=13-2a. V√(o-)可-2=1号设r=3x-).则P为w与x=m BF3=2a-BF,=2a-(13-2n)=4-13, 的交点。其坐标为P(,背)我过4点的P的切线方程力 AF242 在△Af,3中，sAAE,2a-4a-2 y=k(x-3).∴P到切线的距离d= 1k(0-3)-0 AB2+F-BF_9+4-BF_97-(4a-3)2 -=1- 2+1 3P到切 在△ABF,中，e0sA 2AB·AF2 2×9×4 72 (m-3)yo -16m2+104a-72.-2a2+13a-9 k(m-3) 72 9 x0-3 线y=k(x-3)的距离d= VR+l 所以、2 -2a2+13a-9 ，整理得-a(2a2- (m-3)(-3)-(m-3)0 17a+35)z0.即2a2-17a+35=0.解得n=5 0-3 m-3 1k(x0-3)-yo + 0-3 +I 2 k(x0-3)-0=1- m-31 当a=了时，A=3,F,=6,AF,<BF,不 √+1 3...ds 3 满足题意，故舍去： 当m=-3时，⊙P的半径为定值2 当a=5时，AF,=6.BF,=3,AF1>BF,满足题意，且 =2过B作 (2)当⊙P的调心为(1.号)时，⊙P的半径为 4 BF ,其反演圆 3 BW1AD于从，则A=B=子，所以AW=6,M=2,所以 ⊙P圆心为(-3.4)，半径为2.由题意，与⊙P相切的反演圆⊙0的 DM=2=F,,故M为DF3中点，所以BF)=BD=7. 圆心为(-3.0)或(-3.8).半径为2 故选D. ①当⊙Q的圆心为(-3,0)时，易知⊙0与⊙0重合，其方程为 3.AD解析：设曲线C上任收点P(x,y),依题意，|PF,I+|PF,I+ (x+3)2+y2=4,10p1=10 r@0+ror,散OP,⊙Q相切： 1PF1=42,代人F,(-2.0),F2(2,0)和F,(0,2),可得 √(x+2)24+(x-2)+y++(y-2)7=42. ②当⊙0的圆心为(-3,8)时，A,Q,Q三点共线，140的方程为y= 对于A,在方程中，用-x替代x.方程不变，可得曲线C关于y轴对 子(-3)，设Q(,子（名-3），o0半径为则10c= 4 称.即A正确： 对于B,若1PF,1=22,则1PF,+1PF2I=22<1F,F,1=4,此时曲 72 38 线C不存在，故B错误： (x0-1)2+ 3(-3) /06-+17,1001= 对于C,若四边形PFF,F3的周长为9，因1FF21=4,F2F:I=22. (x0+1)2+ 3-3)=√写号+17，又10c1=24 4 12 /2526 故得1PF,1+1PF31=9-4-22=5-2w2<1F,F31=22,此时曲线C 不存在，故C错误： 「2513 对于D,因IPF,I+1PF,I≤IPF,I+PF,1+1PF,I=4w2,故点P应在 96 3+17=(2+1)2. 1,QD1=4-r1.所以 25,26 作差得4= 糖圆厂：，=1内（含地琴），因曲线C与椭圆厂有唯一的公共 963+17=(4-,). 点F(0,2),此时1F,F1=4,10F,1=2,故当点P为F(0,2)时， （4-)2-2户2-12.即=1-写代人得答 38 △F,PR,的面积最大，为×4x2=4,故D正确 故选AD 17=(2)2=）=9-24+g6,即-4，+3=0，解特 42解折：由于号号1所以a=265,故11=2设 =1或3，又当。=3时点0与点A重合，故舍去，故01，弩) LF,PF2=?,当P为短轴端点时，8最大，此时△F,PF:为等边三角 1-子，1P0=2=,放⊙P,©0相切 形，所以0<8≤牙 参考答案黑白题105