1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第一册.

**基本信息** 聚焦空间向量求距离与夹角，以题型分层设计构建"基础巩固-综合应用-迁移创新"路径，强化空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础型|异面直线夹角、点到平面/直线距离等单一知识点|以正方体、直棱柱为模型，通过选择填空题巩固向量公式直接应用，培养几何直观| |提升型|已知角求参数、平行平面距离等综合知识|结合空间坐标系与方程思想，如已知线线角求参数值，发展推理能力与数学思维| |综合型|复杂几何体中距离夹角综合问题|融入四棱锥、三棱柱等情境，需建立数学模型解决多步问题，体现数学语言表达与应用意识|

分层作业 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时） 目 录 1 题型01 异面直线夹角的向量求法 1 题型02点到平面距离的向量求法 4 题型03点到直线距离的向量求法 5 题型04已知线线角求其他量 6 题型05平行平面距离的向量求法 8 题型06求空间中两点间的距离 10 题型07线面角的向量求法 12 13 17 20 题型01 异面直线夹角的向量求法题型01 1.（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 2.（25-26高三上·河南周口·阶段检测）如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，所以，． 设异面直线AG与EF所成的角为， 则． 故选：C． 3.（25-26高二上·四川达州·阶段检测）如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， 所以. 故选：C 题型02点到平面距离的向量求法题型02 4.（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 5.（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 6.（25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 题型03点到直线距离的向量求法题型03 7.（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 8.（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 9.（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 题型04已知线线角求其他量题型04 10.（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 11.（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】因为直线的方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角为， 所以，解得 . 故选：C 12.（23-24高二下·全国·单元测试）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 题型05平行平面距离的向量求法题型05 13.25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 14.（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 15.（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 题型06求空间中两点间的距离题型06 16.（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，则的面积为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 点到的距离为， 则. 故选：D 17.（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点关于x轴的对称点为， 所以． 18.（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以的坐标为， 从而． 题型07线面角的向量求法题型07 19.（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法 【详解】设直线与平面所成角为， 则. 20.（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 21.（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是分别以点为端点的三条相等线段，且两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，    设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，令得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 故选：D 1.（24-25高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 2.（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图：建立空间直角坐标系，则，， ，， 直线与所成角的余弦值为.    故选：B 3.（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图：建立空间直角坐标系，则，， ，， 直线与所成角的余弦值为.    故选：B 4.（25-26高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则点P到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点在平面内，点在平面外，则， 则点P到平面的距离为. 故选：D. 5.（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得直线BC的单位方向向量为， 且， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 故选：A 6.（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，直线的方向向量， 所以， 因为， 所以点到直线的距离为， 故选：A 1.（24-25高二下·贵州六盘水·阶段检测）（多选题）在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 2.（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】线面角的向量求法 【分析】由线面角的向量公式，求得直线与平面所成角的正弦值，可得答案. 【详解】设直线与平面所成角为，则， 解得. 故选：A. 3.（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD. 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以， 又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则. 故选：C. 4.（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 1.（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，. 因为平面过点且与垂直，所以就是平面的法向量， 设与平面所成角为， 所以. 所以. 故选：D. 2.（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD. 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以， 又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 目录 ● A组 巩固过关 题型01异面直线夹角的向量求法. 题型02点到平面距离的向量求法. 题型03点到直线距离的向量求法 题型04已知线线角求其他量.… 题型05平行平面距离的向量求法.…。 题型06求空间中两点间的距离.… 题型07线面角的向量求法. B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 1/10 上好每一堂课 (第1课时) .1 ….1 .4 .5 .6 8 10 12 .13 .17 .20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01异面直线夹角的向量求法 BCD-ABCD中，M、N AB BB 1.(25-26高二上安徽合肥期末)如图，在正方体 分别为棱和的中 点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是() D M B D V3 V10 A.2 B.2 C.5 ABCD-ABCD 2.(25-26高三上河南周口·阶段检测)如图，在正方体 中，E,F,G分别是线段BD, AB CD 的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是() D F B D B 2W15 5 25 2v5 A.15 B.5 C.15 D. 5 2/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高二上·四川达州阶段检测)如图，在正四棱柱 ABCD-ABCD ABCD 中， 是边长为2的正方形， AA=4,E BC 侧棱 是线段的中点，则 os∠DAE=() B 1 A. 3 B.3 c. D. 3 3 颗型02 题型02点到平面距离的向量求法 4.(25-26高二下·福建漳州期中)在空间直角坐标系中，O是平面ABC外一点，平面ABC的一个法向量 为=(L2,2）,△ABC的面积为3，且9 O1=(3,12),则三棱锥0-4BC的体积为（） 3 A,1 B. C.2 D.3 5.(25-26高二下江苏苏州期末)在空间直角坐标系02中，已知 40,00)B(2.10）.C(0.l2),则 点P(020) 到平面ABC, 的距离为() √3 6 2W5 2v6 A.3 B.3 C.3 D.3 6(2526高二下湖北期中)已知点134,5)是平面“内一点，平面“的一个法向量为”=(2-13)，则点 B(1,0,2) 到平面“的距离为() 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4V14 3V14 9W14 314 A. 7 B 7 C.14 D.14 题型03 题型03点到直线距离的向量求法 7.(25-26高二上广东广州期末)在空间直角坐标系中，已知点 A(0,2,2)B(2,2,2)C(0,0,1 ,则点A 到直线BC的距离为() 25 峪 A.3 B.3 C.3 D.1 8(25-26高二上：内蒙古呼和浩特期末)在空间直角坐标系中，直线'经过点0(00,0)， 且其方向向量 n=(1,0,1 ,则点“ M(0,1,1) 到直线的距离为() 6 A.3 B.6 C.3 D.2 9.(25-26高二上河南郑州期末)在空间直角坐标系中，已 00,0.0),42,2),B(02,2),则点B到直线 OA的距离是() 2W2 2W5 3W2 35 A.3 B 3 C.2 D.2 颗型04 题型04已知线线角求其他量 10.(24-25高二上广东期末)己知直线的一个方向向量为”=(-2,0，直线的一个方向向量为 n=(0,11),若直线、所成的角等于60，则x=() 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40 B.2 c.2 D 11.(2425高二上·陕西西安阶段检测)已知直线的方向向量为 =(1,0,m) ,直线的方向向量为 b=(0,1,m) ,若与的夹角为60，则m等于() A.1 B.-1 C.±1 D.0 12.(23-24高二下·全国·单元测试)直三棱柱 BC-ABG中，底面△MC 是以A为直角的腰长为2的等腰 √2 直角三角形，侧棱长为2，D为B,B上的点，若直线AC与直线DC所成角的余弦值为6，则BD长为 () A.1 B.2 2 C.2 D.2 颗型05 题型05平行平面距离的向量求法 13.2526高二上辽宁大连期中)两平行平面“，P分别经过坐标原点0和点 A(1,2,7) ,且两平面的一个法 万=（-1,0,1) 向量 则两平面间的距离是() A.√2 B.3√2 C.3 D.2 ABCD-ABCD ABC ADC 14.(22-23高一全国课后作业)在边长为1的正方体 中.平面 与平面之间的 距离为() 4. B.1 3 c号 D. ABCD-ABCD BDC 15.(23-24高二上全国课后作业)正方体 的棱长为1，则平 AB,D与平面 的距离 为() 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √2 5 A.2 B.5 C.3 D. 3 题型06 题型06求空间中两点间的距离 16(25-26高=上新语阶段检测)已知A18C的三个顶点分别是43,2)，B(3-1.0),C-12,0),则 △ABC的面积为() A55 B.2V5 C.5 D.5V2 17(25-26高二上四川南充阶段检)已知点1(2-关于x销的对称点为A,则48=() A.2V5 B.2V6 c.4 D.3V2 18.(25-26高二下·辽宁·开学考试)如图，在直三棱柱 8C-4BC中，1C=CG=CB=44C1CB, ,且 D为B的中点 C正=3B, 则DE的长为() C E B D A.25 C.2v6 D.5 题型07 题型07线面角的向量求法 19.(25-26高二下江苏南京期中)若向量a=(0,5.0）是直线l的方向向量，向量i=(亿2，是平面a的法 向量，则直线与平面所成角的正弦值为() 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2W2 2 A.3 B.3 C.3 D.3 20.(25-26高二上·天津·期末)若直线的一个方向向量为 =(1,0,-5 ,平面a的一个法向量为 元=(02，. 则I与所成角的大小为() B.3 .5π π2元 A.6 C.6或6 D.3或3 21.(24-25高二上·湖南常德期中)PA,PB,PC是分别以点P为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直 线的夹角均为0，那么直线PC与平面ABC所成角的余弦值是() V2 3 6 A B.2 C.3 D 3 B组 能力进阶 1.(24-25高一上重庆·期末)《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 4 阳马.在阳马P-ABCD中，若PA1平面ABCD,且PA=AB=2,异面直线PD与AC所成角的余弦值为5， 则AD=() 6 A.5 B.4 C.2 D.3 2.(25-26高二上：陕西商洛·阶段检测)在直三棱柱 8C-4BG中，∠4CB=90,1C=BC=M-3 ,点 p在线段AC上，且CP=3CA,则直线BC与4P所成角的余弦值为《) 7/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3V13 3√26 3V13 3W26 A.13 B.26 C.13 D.26 3.(25-26高二上·陕西商洛·阶段检测)在直三棱柱 8C-ABC中，∠AC8=90,1C=8C=M-3, ,点 p在线段AC上，且CP-C4,则直线RC与4P所成角的余弦值为() 3W13 3√26 3V13 3V26 A.13 B.26 C.13 D.26 4(25-26高二上天津和平期末)已知平面a的一个法向量为”=(21-)，点41,2)在平面a内，点 P(3,21)在平面a外，则点P到平面“的距离为（） 6 26 5v6 A.6 B.3 C.6 D.6 5(25-26高=上四川宜宾期末)已知4(12），8L1,0),CQ,02),则点4到直线BC的距离为() 2v5 2W5 V A.3 B.3, C.2 D.√2 6(25-26高=上湖北阶段检测)在空间直角坐标系中，直线'经过点P12-）,且其方向向量=L2, 则点21,0-2八到直线'的距离为() A.30 6 B.6 c D.2 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● C组 思维拔高 1.(24-25高二下·贵州六盘水阶段检测)（多选题）在三棱锥P-ABC中， P(1,1,0),A(2,0,1),B(0,2,1),C(0,0,0 ,则() A,PB到=5 B.向量CA与CB夹角的余弦值为5 C.向 量i=(,1-2)是平面4BC的一个法向量 √2 D.PB与平面ABC所成角的正弦值为3 2(2526高二上河南南阳阶段检测)若直线1的一个方向向量为=，v2,-,平面@的个法向量为 i=(00,3),则'与“所成的角为（） A.6 B.3 Q行政号 π5π D.6或6 3.(2023·吉林通化二模)已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，AD=2,DC=4,∠BAD=60°， PD⊥ 30° 平面ABCD,直线PD与平面AC所成角为，则 D=() 4v7 6W7 A.2√2 B.5 C.7 D.7 4(25-26高二下江苏苏州期中)直三棱柱ABC-ABG,∠BCA=90°，M,N分别是AB,CC的中点， 9/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=CA=CC=2,则BM与AW所成的角为() A.4 B.2 c.3 2π D. 拓展 链接高考 1.(2026重庆模拟预测)己知正方体 BCD-A8C6,注点4且与4C垂直的平面为”，则1C与平面 “所成角的余弦值为() 5 V6 2v2 A.3 B.3 C.3 D.3 2.(2023·吉林通化二模)已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，AD=2,DC=4,∠BAD=60°， PDL平面4BCD,直线PD与平百AC所成角为30，则PD-(） 4v7 67 A.22 B.5 C.7 D.万 10/10