1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第一册.

**基本信息** 聚焦空间向量求距离与夹角，以题型分层设计构建"基础巩固-综合应用-迁移创新"路径，强化空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础型|异面直线夹角、点到平面/直线距离等单一知识点|以正方体、直棱柱为模型，通过选择填空题巩固向量公式直接应用，培养几何直观| |提升型|已知角求参数、平行平面距离等综合知识|结合空间坐标系与方程思想，如已知线线角求参数值，发展推理能力与数学思维| |综合型|复杂几何体中距离夹角综合问题|融入四棱锥、三棱柱等情境，需建立数学模型解决多步问题，体现数学语言表达与应用意识|

分层作业 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时） 目 录 1 题型01 异面直线夹角的向量求法 1 题型02点到平面距离的向量求法 4 题型03点到直线距离的向量求法 5 题型04已知线线角求其他量 6 题型05平行平面距离的向量求法 8 题型06求空间中两点间的距离 10 题型07线面角的向量求法 12 13 17 20 题型01 异面直线夹角的向量求法题型01 1.（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·河南周口·阶段检测）如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·四川达州·阶段检测）如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（　　） A． B． C． D． 题型02点到平面距离的向量求法题型02 4.（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 题型03点到直线距离的向量求法题型03 7.（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 8.（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 9.（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 题型04已知线线角求其他量题型04 10.（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 11.（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ） A．1 B． C． D．0 12.（23-24高二下·全国·单元测试）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 题型05平行平面距离的向量求法题型05 13.25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 14.（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 15.（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型06求空间中两点间的距离题型06 16.（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，则的面积为（    ） A． B． C．5 D． 17.（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 18.（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 题型07线面角的向量求法题型07 19.（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 20.（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 21.（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 1.（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知平面α的一个法向量，点在α内，则点到α的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 2.（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知平面α的一个法向量，点在α内，则点到α的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 3.（25-26高二上·云南·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（ ） A． B． C．1 D． 5.（25-26高二上·浙江·期中）已知，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（ ） A． B． C．1 D． 1.（24-25高二下·贵州六盘水·阶段检测）（多选题）在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 2.（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 3.（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 1.（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时） 目 录 1 题型01 异面直线夹角的向量求法 1 题型02点到平面距离的向量求法 4 题型03点到直线距离的向量求法 5 题型04已知线线角求其他量 6 题型05平行平面距离的向量求法 8 题型06求空间中两点间的距离 10 题型07线面角的向量求法 12 13 17 20 题型01 异面直线夹角的向量求法题型01 1.（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 2.（25-26高三上·河南周口·阶段检测）如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，所以，． 设异面直线AG与EF所成的角为， 则． 故选：C． 3.（25-26高二上·四川达州·阶段检测）如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， 所以. 故选：C 题型02点到平面距离的向量求法题型02 4.（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 5.（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 6.（25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 题型03点到直线距离的向量求法题型03 7.（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 8.（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 9.（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 题型04已知线线角求其他量题型04 10.（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 11.（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】因为直线的方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角为， 所以，解得 . 故选：C 12.（23-24高二下·全国·单元测试）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 题型05平行平面距离的向量求法题型05 13.25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 14.（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 15.（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 题型06求空间中两点间的距离题型06 16.（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，则的面积为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 点到的距离为， 则. 故选：D 17.（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点关于x轴的对称点为， 所以． 18.（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以的坐标为， 从而． 题型07线面角的向量求法题型07 19.（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法 【详解】设直线与平面所成角为， 则. 20.（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 21.（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是分别以点为端点的三条相等线段，且两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，    设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，令得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 故选：D 1.（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知平面α的一个法向量，点在α内，则点到α的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】由题意得， 又知平面α的一个法向量，则点B到平面α的距离为. 2.（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知平面α的一个法向量，点在α内，则点到α的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】由题意得， 又知平面α的一个法向量，则点B到平面α的距离为. 3.（25-26高二上·云南·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，再运用公式即可求出. 【详解】以点为原点,为轴建系，如图所示： 则，所以，, 所以的单位向量为， 所以点到直线的距离为， 故选：A. 4.（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离的向量公式求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 则与向量同向的单位向量为， 所以点B到直线的距离为. 故选：C. 5.（25-26高二上·浙江·期中）已知，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】由点坐标得到空间向量坐标，由向量数量积得到，即可求得点到直线的距离. 【详解】直线的方向向量， ， ∵，∴， 到直线的距离为. 故选：D. 6.（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离的向量公式求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 则与向量同向的单位向量为， 所以点B到直线的距离为. 故选：C. 1.（24-25高二下·贵州六盘水·阶段检测）（多选题）在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 2.（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】线面角的向量求法 【分析】由线面角的向量公式，求得直线与平面所成角的正弦值，可得答案. 【详解】设直线与平面所成角为，则， 解得. 故选：A. 3.（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD. 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以， 又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则. 故选：C. 4.（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 1.（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，. 因为平面过点且与垂直，所以就是平面的法向量， 设与平面所成角为， 所以. 所以. 故选：D. 2.（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD. 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以， 又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $