1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究空间距离问题，核心内容包括两点距离、点到直线及点到平面的向量公式，平行类距离的转化方法，以及坐标法解题流程。通过类比平面距离知识，回顾立体几何初步内容，搭建平面到空间的学习支架，引导学生建立知识联系。 导学案以探究活动为主线，通过师生互动、小组讨论突破距离的投影本质等难点，渗透转化、类比思想，培养数学思维与直观想象。标准化解题步骤与分层例题习题结合，帮助学生规范运算，提升逻辑推理与数学运算核心素养，适合课堂教学与自主学习。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（导学案） 1. 类比平面点到直线距离，理解两点距离点到直线点到平面距离的投影几何本质，熟记三类核心距离向量公式； 1. 掌握两平行线线面两平行平面距离的转化方法，能将平行距离统一转化为点线/点面距离求解； 1. 熟练运用坐标法完成距离计算，规范“建系→求向量→代公式”标准化解题流程； 1. 体会转化数形结合类比三大数学思想，提升数学运算直观想象逻辑推理核心素养； 1. 区分点线点面距离公式，规避绝对值单位向量法向量等高频计算易错点。 重点 1. 空间两点距离点到直线点到平面的向量距离公式； 2. 平行类距离（平行线线面平行平面）的转化思路； 3. 坐标法求各类距离完整解题步骤。 难点 1. 理解距离是垂直投影长度，分清点线点面投影的几何差异； 2. 点到直线距离中单位方向向量的计算； 3. 不规则几何体合理建系快速求解平面法向量。 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　空间距离及向量求法 距离的分类 向量求法 点到直线的距离　 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，设＝a，则＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝ 点到平面的距离　 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝ [想一想]　如何求两条平行直线a，b之间的距离？ 提示：如图，两条平行直线a，b之间的距离可以看成直线b上一点B到直线a的距离，则d＝ ，其中A∈a，B∈b，a是直线a的方向向量． 探究1：两点间距离（向量模长本质） 思考：立体几何中有哪些距离问题？ 学生：回顾必修第二册中学习的立体几何初步，得出答案. 教师：邀请一位同学分享， 分享不全，全班一起补充，并展示标准答案. 预设： 思考：我们知道距离问题：两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题，重新归纳以上距离问题. 师生：小组讨论，尝试着进行分组归类，教师巡视并引导. 预设： 探究2：点到直线的距离（投影+勾股推导） 探究1：给定一条直线l和直线l外一点P，如何利用向量方法求点P到直线l的距离？ 师生：用向量法解决几何问题，首先要明确图形的几何特征、到底要解决什么问题，再用向量的语言描述这些特征和问题.这里，有直线和直线外一点两个几何要素.直线由一个点和一个方向唯一确定，这就是直线的几何特征. 如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P直线l外一点.设（称为参考向量） 思考1：与有何关系？ 学生：回顾到投影向量的定义，可以得出：是在直线l上的投影向量，且 思考2：______________. __________________. 学生：构造直角三角形，结合勾股定理即可得出答案 预设：， 思考3：若点A在直线l上的位置发生变化，|PQ|的向量表达式是否改变？ 预设：不会发生改变 总结：点到直线的距离公式的向量形式: 如图，给定一条直线l和直线l外一点P，点P到直线l的距离为： 其中，为直线的单位方向向量，. 探究3：两平行线距离转化 思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 师生：教师先引导学生将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 预设：直线的单位方向向量为，直线上的定点，直线上取一点，则进而求得在直线上的投影向量的表达式,进而在中,由勾股定理得点到直线的距离公式 小结：两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 【设计意图】让学生感悟转化思想,化未知为已知.为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,在思想方法上作铺垫. 方法：求点P到直线l的距离具体求法步骤: (1)建系：建立空间直角坐标系； (2)求单位向量：求直线的单位方向向量； (3)求参考向量：直线上任取一点，求参考向量； (4)求距离：代入点到直线距离公式： 探究4：点到平面的距离（法向量投影）类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？ 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点， 易知，是直线的方向向量，所求距离即为 点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 因此 总结：点到平面的距离公式的向量形式: 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 点到平面的距离为： 方法：用空间向量求点到平面的距离的步骤: 第一步,确定平面的法向量; 第二步,选择“参考向量”; 第三步,确定“参考向量”向法向量的的投影向量; 第四步,求投影向量的模长,得到 探究4：如何求平行于平面的直线到平面的距离? 两个平行平面之间的距离呢? 师生：通过学生回答,把问题转化为求平面外一点到平面的距离,由此得到求距离问题的统一公式. 小结：直线与平面之间的距离、两平行平面间的距离转化为点到平面的距离. 【设计意图】师生共析,将平行于平面的直线到平面的距离和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,得到统一的向量表达式,进一步体会转化的思想. 探究5：平行类距离统一转化 思考：点到直线的距离公式和点到平面的距离公式区别在哪里?为什么会有这样的区别? 师生：在点到直线的距离公式中，投影向量垂直于垂线段;在点到平面的距离公式中，投影向量与垂线段重合.这是由给定图形的几何特征所决定的. 【设计意图】类比点到直线距离的研究过程,合作探究,得到点到平面的距离公式,让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中,平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观,又提供了代数定量刻画.在这个过程中,向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利. 练7：设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 同理可得，平面的法向量, 因为，所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 所以点到平面的距离 ． 例4 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则（第一步：建系） ，，，，，， 所以，，， ，，．（第二步：求点和方向向量） （1）取，，则，． （求方向向量单位向量和参考向量） 所以，点到直线的距离为．（代入点到直线距离公式） （2）因为，所以，所以平面．所以点到平面的距离即为直线到平面的距离．（证平行，线面距离转化为点面距离） 设平面的法向量为，则， 所以，即，取，则，． 所以，是平面的一个法向量．（求平面法向量） 又因为，（求参考向量） 所以点到平面的距离为．（代入公式求距离） 即直线到平面的距离． 【设计意图】通过典型例题,使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法,体会向量方法在解决距离问题中的作用,渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程. 结合例1,回顾用空间向量解决距离问题的过程,你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗? （一）空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 师生：学生先讨论回答,师生共同归纳,得到“三步曲”. 【设计意图】结合例1,以及以前的一些用空间向量解决立体几何的问题,梳理出“三步曲”,体会向量方法是解决立体几何问题的普适性方法. （二）点到直线的距离的求法 (1) 求单位向量：在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) 求参考向量：计算直线上点与已知点对应的向量; (3) 求投影向量：计算在直线上上的投影向量; (4) 求距离：由公式求出距离. （三）求点到平面的距离步骤 · 建系：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系； · 求参考向量：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； · 求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量； · 求距离：代入求点到平面的距离公式计算出答案. 1.（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量夹角余弦的坐标表示、求异面直线所成的角 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 2.（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 3.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 4.（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】由题意计算直线方向向量的单位向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】由，则与向量同向的单位向量为， 由直线过原点，则取，即，， 所以点到直线的距离. 故选：B. 5.（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】在正三棱柱中， 以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，   ，不妨取 则， ， 设异面直线与所成角为， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（导学案） 1. 类比平面点到直线距离，理解两点距离点到直线点到平面距离的投影几何本质，熟记三类核心距离向量公式； 1. 掌握两平行线线面两平行平面距离的转化方法，能将平行距离统一转化为点线/点面距离求解； 1. 熟练运用坐标法完成距离计算，规范“建系→求向量→代公式”标准化解题流程； 1. 体会转化数形结合类比三大数学思想，提升数学运算直观想象逻辑推理核心素养； 1. 区分点线点面距离公式，规避绝对值单位向量法向量等高频计算易错点。 重点 1. 空间两点距离点到直线点到平面的向量距离公式； 2. 平行类距离（平行线线面平行平面）的转化思路； 3. 坐标法求各类距离完整解题步骤。 难点 1. 理解距离是垂直投影长度，分清点线点面投影的几何差异； 2. 点到直线距离中单位方向向量的计算； 3. 不规则几何体合理建系快速求解平面法向量。 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　空间距离及向量求法 距离的分类 向量求法 点到直线的距离　 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，设＝a，则＝ ， 点P到直线l的距离PQ＝ ＝ 点到平面的距离　 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝ ＝ ＝ [想一想]　如何求两条平行直线a，b之间的距离？ 提示：如图，两条平行直线a，b之间的距离可以看成直线b上一点B到直线a的距离，则d＝ ，其中A∈a，B∈b，a是直线a的方向向量． 探究1：两点间距离（向量模长本质） 思考：立体几何中有哪些距离问题？ 学生：回顾必修第二册中学习的立体几何初步，得出答案. 教师：邀请一位同学分享， 分享不全，全班一起补充，并展示标准答案. 预设： 思考：我们知道距离问题：两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题，重新归纳以上距离问题. 师生：小组讨论，尝试着进行分组归类，教师巡视并引导. 预设： 探究2：点到直线的距离（投影+勾股推导） 探究1：给定一条直线l和直线l外一点P，如何利用向量方法求点P到直线l的距离？ 师生：用向量法解决几何问题，首先要明确图形的几何特征、到底要解决什么问题，再用向量的语言描述这些特征和问题.这里，有直线和直线外一点两个几何要素.直线由一个点和一个方向唯一确定，这就是直线的几何特征. 如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P直线l外一点.设（称为参考向量） 思考1：与有何关系？ 学生：回顾到投影向量的定义，可以得出：是在直线l上的投影向量，且 思考2：______________. __________________. 学生：构造直角三角形，结合勾股定理即可得出答案 预设：， 思考3：若点A在直线l上的位置发生变化，|PQ|的向量表达式是否改变？ 预设：不会发生改变 总结：点到直线的距离公式的向量形式: 如图，给定一条直线l和直线l外一点P，点P到直线l的距离为： 其中，为直线的单位方向向量，. 探究3：两平行线距离转化 思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 师生：教师先引导学生将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 预设：直线的单位方向向量为，直线上的定点，直线上取一点，则进而求得在直线上的投影向量的表达式,进而在中,由勾股定理得点到直线的距离公式 小结：两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 【设计意图】让学生感悟转化思想,化未知为已知.为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,在思想方法上作铺垫. 方法：求点P到直线l的距离具体求法步骤: (1)建系：建立空间直角坐标系； (2)求单位向量：求直线的单位方向向量； (3)求参考向量：直线上任取一点，求参考向量； (4)求距离：代入点到直线距离公式： 探究4：点到平面的距离（法向量投影）类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？ 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点， 易知，是直线的方向向量，所求距离即为 点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 因此 总结：点到平面的距离公式的向量形式: 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 点到平面的距离为： 方法：用空间向量求点到平面的距离的步骤: 第一步,确定平面的法向量; 第二步,选择“参考向量”; 第三步,确定“参考向量”向法向量的的投影向量; 第四步,求投影向量的模长,得到 探究4：如何求平行于平面的直线到平面的距离? 两个平行平面之间的距离呢? 师生：通过学生回答,把问题转化为求平面外一点到平面的距离,由此得到求距离问题的统一公式. 小结：直线与平面之间的距离、两平行平面间的距离转化为点到平面的距离. 【设计意图】师生共析,将平行于平面的直线到平面的距离和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,得到统一的向量表达式,进一步体会转化的思想. 探究5：平行类距离统一转化 思考：点到直线的距离公式和点到平面的距离公式区别在哪里?为什么会有这样的区别? 师生：在点到直线的距离公式中，投影向量垂直于垂线段;在点到平面的距离公式中，投影向量与垂线段重合.这是由给定图形的几何特征所决定的. 【设计意图】类比点到直线距离的研究过程,合作探究,得到点到平面的距离公式,让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中,平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观,又提供了代数定量刻画.在这个过程中,向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利. 练7：设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 例4 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 【设计意图】通过典型例题,使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法,体会向量方法在解决距离问题中的作用,渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程. 结合例1,回顾用空间向量解决距离问题的过程,你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗? （一）空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 师生：学生先讨论回答,师生共同归纳,得到“三步曲”. 【设计意图】结合例1,以及以前的一些用空间向量解决立体几何的问题,梳理出“三步曲”,体会向量方法是解决立体几何问题的普适性方法. （二）点到直线的距离的求法 (1) 求单位向量：在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) 求参考向量：计算直线上点与已知点对应的向量; (3) 求投影向量：计算在直线上上的投影向量; (4) 求距离：由公式求出距离. （三）求点到平面的距离步骤 · 建系：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系； · 求参考向量：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； · 求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量； · 求距离：代入求点到平面的距离公式计算出答案. 1.（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 5.（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $