1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量研究距离问题，涵盖两点距、点线距、点面距等核心知识点。通过前情回顾平面与空间向量运算、几何元素关系及平行垂直问题，搭建学习支架，衔接新旧知识脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象距离类型，用数学思维推导公式（如点线距结合勾股定理与投影向量），通过数学语言精确表达。采用读教材自主探究、分层题型训练，小结系统归纳公式，助力学生提升空间观念和运算能力，为教师提供清晰教学流程与丰富例题。

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2(第一课时) 用空间向量 研究距离、夹角问题 前情回顾 平面向量 空间向量 代数运算 推广 建系 空间向量可以解决了哪些几何问题？ 问题 距离、长度问题 夹角问题 平行、垂直问题 直线 平面 方向向量 法向量 位置关系 位置关系 立体几何 空间向量 学 习 目 标 1 2 3 了解立体几何中点、直线和平面间的距离及其归类. 理解点到直线、点到平面间距离的公式及其推导. 运用空间向量法解决立体几何中距离的相关问题. 读教材 阅读课本P33-P35，5分钟后完成下列问题： 1. 点、直线和平面之间有哪些距离？这些距离可以归为几类？ 我们一起来探究“用空间向量研究距离问题”吧！ 2. 总结用空间向量求点到直线、点到平面的距离的步骤？ 新课引入 今天探究距离的问题 思考：空间中点、直线和平面的距离有哪些呢？可以归为哪几类？ 点到平面的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 点到直线的距离 距离 两异面直线间的距离 两点间的距离 学习过程 01 03 02 目录 1 空间中的距离问题 2 题型训练 新知探究1 问题1 你还记得空间中两点间的距离公式吗？ 设， 为空间中任意两点，则 空间两点间的距离 空间中其它距离， 例如AD 空间向量的模 ? 勾股定理？ 投影向量？ 垂直 1.两点距 新知探究1 探究1 已知直线的单位方向向量为是直线上的定点直线外一点， 设，如何利用这些条件求点到直线的距离？ (1)如图，直线外一点到直线的距离是？ (2) 如何求？ 由 与有何关系？ 是在直线上的投影向量，则 在中，由勾股定理，得 2.点线距 方法总结 (1)建立空间直角坐标系，写出题设中三个点的坐标； (2)求题设中直线的单位方向向量（终点坐标－起点坐标）； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)利用点线距公式求点到直线的距离： 用向量法求点到直线的距离的步骤 B A 注意：两条平行直线之间的距离(要先证平行点线距 新知探究1 (1)如图，平面外一点到平面的距离是？ (2) 如何求？ 点到平面的距离就是 在直线上投影向量的长度. 3.点面距 探究2 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点， 过点作平面的垂线，交平面与点，如何利用这些条件 求点到平面的距离？ 方法总结 用向量法求点到平面的距离的步骤 注意：线面距、面面距之间的距离(要先证平行点面距 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系，写出题设中点的坐标； (2)写向量：写出相关向量(，内两个不共线向量)的坐标； (3)求平面法向量坐标： (4)利用点面距公式求点到平面的距离： α 新知探究1 问题2 如何求下列三种距离？ l 两平行平面的距离 直线与平行平面的距离 两平行直线的距离 l 点面距 点面距 点线距 在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离。 在直线上取定一点，则该点到平面的距离即为直线与平行平面之间的距离。 在平面上取定一点，则该点到平面β的距离即为两平行平面之间的距离。 概念 空间中的距离问题 空间中的距离问题： 两点距 点线距 点面距 单位方向向量 α B 概念辨析 思考 如何求两条异面直线之间的距离？ 异面直线的距离 直线到平行平面的距离 点面距 方法二： (1)在直线，上任意取点，，得到， (2)求出与，都垂直的向量(法向量)， (3)运用公式得d= 方法一：找出其公垂线，求公垂线段的长度. 练习巩固 练习1 在棱长为1的正方体中， 点到平面的距离等于______； 直线到平面的距离等于_______； 平面到平面的距离等于_______. 解: 直线 平面 B A A1 B1 C1 D1 C D 1 1 1 练习巩固 练习2 已知直线过点它的一个单位方向向量为 则点到直线 的距离为_______. 解:因为所以 又直线 的一个单位方向向量为 所以点到直线 的距离： 2 练习巩固 练习3 已知向量为平面 的一个法向量，点在内， 则点到平面 的距离为_______. 解:因为所以 所以点到平面 的距离为 . 练习巩固 练习4 已知平面平面的一个法向量为平面 内一点C的坐标 为直线上的点的坐标为则直线到平面 的距离为 _ __ . 解：因为平面 所以直线到平面的距离可转化为点 到平面的距离， 易知,所以点到平面的距离为 ， 即直线到平面的距离为 . 练习巩固 练习5 如图，在长方体中有，， 求点到直线的距离？ 解：如图，建立如图所示的空间直角坐标系A-，则 ， 取，，则 所以点到直线的距离为 学习过程 01 03 02 目录 1 空间中的距离问题 2 题型训练 应用空间向量求距离 题型1 题型探究 例1 如图，在棱长为1的正方体中为线段的点， 为线段的中点，求点到直线的距离？ 解：建系如图，则，，， 取 ， 则. 所以点到直线的距离为 x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 应用空间向量求距离 题型1 题型探究 例2 如图，在棱长为1的正方体中为线段的点， 为线段的中点，求直线到平面的距离？ 解：建系如图，则，，，， 则 因为， 所以，即平面. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 应用空间向量求距离 题型1 题型探究 例2 如图，在棱长为1的正方体中为线段的点， 为线段的中点，求直线到平面的距离？ 解：(续) 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 所以点到平面的距离为，即直线到平面的距离为. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 应用空间向量求距离 题型1 题型探究 例3 如图，已知正方形的边长为，平面，且， 分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(1)如图建立空间直角坐标系，则，，， ∴，，. 设平面的法向量为 则所以即 令则. 所以点到平面的距离. 应用空间向量求距离 题型1 题型探究 例3 如图，已知正方形的边长为，平面，且， 分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(2)由于分别为的中点，所以， 所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由于，又由(1)知平面的法向量为. 所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 空间向量求异面直线的距离 题型2 题型探究 例4 在棱长为1的正方体中，，分别为棱， 的中点，求异面直线与之间的距离？ 解：建系如图，则，，， ∴， 设，满足 即取得， 所以异面直线. A D C B A1 D1 C1 B1 M N 空间向量求异面直线的距离 题型2 题型探究 例5 棱长为1的正方体，求异面直线之间的距离？ 解：建系如图，则，，， ∴， 设，满足 即取得， 所以异面直线. C D A B A1 D1 C1 B1 课堂小结 空间直线、平面 的距离 点面距 两点距 点线距 B 单位方向向量 α 感谢聆听! $