1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（教学课件）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在距离问题中的应用，系统讲解点到直线、点到平面及平行线、线面、平行平面距离的向量求法，通过仓库测距、墙角测距等生活情境导入，类比平面距离公式引出空间距离问题，构建“复杂距离转化为点线/点面距离”的知识支架。 其亮点在于以转化、类比思想为核心，通过“建系→求向量→代公式”标准化流程，结合正方体实例和真题训练，培养数学运算、逻辑推理素养。小结梳理知识清单与方法步骤，学生能提升空间观念与解题能力，教师可直接用于教学，提高效率。

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 ·选择性必修第一册· 第1课时 用空间向量研究距离问题 学习目标 1.向量语言表述空间距离，理解运用向量运算求解空间距离的原理，培养数学抽象、逻辑推理素养. 2.能应用空间向量法解决距离问题，培养数学运算素养. 3.理解空间向量解决立体几何中的问题的“三步曲”. 目录 CATALOG 01.点到直线距离 两平行线距离 03.应用新知 02.点到平面距离 线面、平行平面距离 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题第1课时 用空间向量研究距离问题 01 点到直线距离 两平行线距离 导入新知1：仓库测距生活情境 立体仓储货架由直线横梁、平面隔板组成，工人需要测算：货物顶点到横梁最短距离、货物顶点到隔板垂直高度、两条平行钢架间距。传统作图需要作多条垂线构造直角三角形，步骤繁琐。 前面学习的方向向量、法向量、投影能否直接计算最短垂直距离？ 平面内点到直线距离靠投影、勾股，三维空间能否类比得到通用公式？ 追问：多条平行几何体的距离能不能简化成单个点到线/面计算？ 导入新知2： 墙角测距任务 展示教室墙角三维示意图，墙角为空间直角原点，礼物放置定点，提出任务： ① 礼物点到黑板边沿直线最短距离； ② 礼物点到窗户平面垂直高度； 提问：传统几何需要作多条垂线构造直角三角形，步骤繁琐，能否用向量直接计算？ 新课探究 立体几何中有哪些距离问题？ 思考 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两平行平面的距离 新课探究 我们知道距离问题：两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题，重新归纳以上距离问题. 思考 点到直线的距离 两平行线间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两平行平面间的距离 新课探究 给定一条直线l和直线l外一点P，如何利用向量方法求点P到直线l的距离？ A P Q l 探究1 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.设（称为参考向量） 思考1：与有何关系？ 是在直线上的投影向量， 且 思考2：. . 思考3：若点在直线上的位置发生变化，的向量表达式是否改变？ 不会发生改变 新课探究 A P Q l 点到直线的距离公式的向量形式: 给定一条直线l和直线l外一点P， 点P到直线l的距离为： 总结 新课探究 思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 新课探究 (1)建系：建立空间直角坐标系； (2)求单位向量：求直线的单位方向向量； (3)求参考向量：直线上任取一点，求参考向量； (4)求距离：代入点到直线距离公式： 求点到直线的距离具体求法步骤: 方法 A P Q 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求空间中两点间的距离 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点到直线距离的向量求法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求空间中两点间的距离、点到直线距离的向量求法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点到直线距离的向量求法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点到直线距离的向量求法、空间向量的坐标运算 02 点到平面距离 线面、平行平面距离 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题第1课时 用空间向量研究距离问题 新课探究 类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？ Q P l n α A 探究3 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点， 易知，是直线的方向向量，所求距离即为 点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 因此 新课探究 点到平面的距离公式的向量形式: 总结 新课探究 用空间向量求点到平面的距离的步骤: 图1.4-17 第一步 第二步 第三步 第四步 新课探究 图1.4-17 转化 转化 探究4 新课探究 图1.4-17 图1.4-16 点到直线的距离公式和点到平面的距离公式区别在哪里? 为什么会有这样的区别? 思考 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点到平面距离的向量求法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 到平面距离的向量求法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点到平面距离的向量求法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点到平面距离的向量求法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点到平面距离的向量求法、求点面距离 新课探究 空间距离的向量求解小结 点线距、线线距 点面距、线面距、面面距 图1.4-17 图1.4-16 03 应用新知 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题第1课时 用空间向量研究距离问题 应用新知 例1 分析 根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 应用新知 例1 解析 第一步：建系 第二步：求点和方向向量 应用新知 例1 解析 求方向向量单位向量和参考向量 代入点到直线距离公式 应用新知 例1 解析 证平行，线面距离转化为点面距离 应用新知 例1 解析 图1.4-18 求平面法向量 应用新知 例1 图1.4-18 解析 ， 求参考向量 代入公式求距离 方法规律 空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 应用新知 结合例1,回顾用空间向量解决距离问题的过程,你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗? 方法 方法规律 应用新知 方法规律 应用新知 04 题型强化训练 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题第1课时 用空间向量研究距离问题 重要题型专练 题型一 求空间两点间的距离问题 例题 重要题型专练 题型一 求空间两点间的距离问题 解析 重要题型专练 题型一 求空间两点间的距离问题 解析 方法总结 应用新知 重要题型专练 解析 题型二 求空间点到直线的距离问题（含直线到直线距离） 重要题型专练 解析 题型二 求空间点到直线的距离问题（含直线到直线距离） 重要题型专练 解析 题型二 求空间点到直线的距离问题（含直线到直线距离） 方法规律 重要题型专练 重要题型专练 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 例题 重要题型专练 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 解析 重要题型专练 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 解析 x y z 重要题型专练 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 解析 x y z 应用新知 解析 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 应用新知 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 解析 应用新知 解析 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 方法总结 应用新知 05 真题感知 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题第1课时 用空间向量研究距离问题 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题第1课时 用空间向量研究距离问题 课堂小结 作业 教科书第35页练习第1、3题； 教科书第40页习题第6、7题； 教科书第44页习题第13题. 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题第1课时 用空间向量研究距离问题 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 其中，为直线的单位方向向量，. 直线的单位方向向量为，直线上的定点，直线上取一点， 进而根据点到直线的距离公式有：即 为两条平行线l与m间的距离. 1.（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）在空间直角坐标系中，若点 ， ，则 两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】 ，，， 即两点间的距离为. 故选：D. 2.（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】 如图，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，所以点到直线的距离为故选：D 3.（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知 ， ，则点 到直线 的距离为（   ） A．3 B．2 C．5 D． 【详解】由题设由.过点作垂直于于点， 设，所以，； ，所以，即，解得； 所以，； 故选：. 4.（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线l过原点O，且直线l的方向向量 ，则点 到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 【详解】 由，则与向量同向的单位向量为，由直线过原点，则取， 即，， 所以点到直线的距离.故选：B. 5.（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知 ， ，则点 到直线 的距离为（   ） A．3 B．2 C．5 D． 【详解】由题设由.过点作垂直于于点， 设，所以，；， 所以，即，解得；所以，； 故选：. 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 点到平面的距离为： 求平面的法向量; 选择“参考向量”; 确定“参考向量”向法向量的的投影向量; 求投影向量的模长,得到 如何求平行于平面的直线到平面的距离? 两个平行平面之间的距离呢? 在点到直线的距离公式中，投影向量垂直于垂线段; 在点到平面的距离公式中，投影向量与垂线段重合. 这是由给定图形的几何特征所决定的. 6.（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知平面 的法向量 ，且点 ， ，则点 到平面 的距离为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，点到平面的距离为. 故选：A. 7.（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知平面 的一个法向量 ，点 为 上一点，则点 到平面 的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【详解】 由题意得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 8.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点 的平面 的法向量为 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】 因为，，则， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 9.（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点 ， ， ， ，则点 到平面 的距离为（     ） A． B． C． D． 【详解】 易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为.故选：C 10. （25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面 的一个法向量为 ，点 为平面 上一点，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】平面的法向量为，是平面内任意一点， 则平面外点到平面的距离为， 已知，，则， ， ，； ，代入公式得：. ． 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离． 以为原点，，，所在直线分别为轴、 轴、轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离． (1)取，，则，． 所以，点到直线的距离为． 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离． (2) ，，， 因为，所以，所以平面． 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离． 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离． 设平面的法向量为，则， 所以，即，取，则，． 所以，是平面的一个法向量． 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点．（1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 所以点到平面的距离为 ． 即直线到平面的距离． 又因为 点到直线的距离的求法 (1) 求单位向量：在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) 求参考向量：计算直线上点与已知点对应的向量; (3) 求投影向量：计算在直线上上的投影向量; (4) 求距离：由公式求出距离. 求点到平面的距离步骤 (1) 建系：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系； (2) 求参考向量：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； (3) 求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解 方程组，求出法向量； (4) 求距离：代入求点到平面的距离公式计算出答案. 已知长方体中，，点是的中点， 点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）设点是线段上的动点，求线段的最小值． （1）根据图中建立的空间直角坐标系，易知点的坐标分别为 ． （2）由空间两点间的距离公式，可得： ， ． （3）在平面上，依题意可设点的坐标为，其中．则 ． 因为，所以当时，线段取得最小值， 为，即．故的最小值为． 计算两点间的距离的两种方法 (1) 向量求模法(基底法) 利用，通过向量运算求；或求两点间的距离，一般用求解． (2) 距离公式法(坐标法) 若，则，此 法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． （1），，． 设，， 则，， ∴点到直线的距离为． （2），，，． ∴点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，．设， ，，∴直线与的距离为． 点到直线的距离的求法 (1) 在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) 计算直线上点与已知点对应的向量; (3) 计算在直线上上的投影向量; (4) 由公式求出距离. 1、如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结．因为，， 所以为等腰直角三角形，且，． 由知，．由， ，所以，平面；． 如图，以O为原点，建立直角坐标系， 设，，，， ，， ，． 设平面的一个法向量， 则，令，则， 所以，点C到平面的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点．求直线到平面的距离． 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点．求直线到平面的距离． 设平面的法向量为， 又，，， 取，则，，， ，平面，平面， 到面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单法向量，， ∴直线到平面的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点．求直线到平面的距离． 向量法求点到平面的距离的常用方法 向量法：设平面的一个法向量为，是内任意点， 则点到的距离为. 1.（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 在正三棱柱中， 以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，  ，不妨取 则，， 设异面直线与所成角为，则， ∴异面直线与所成角的余弦值为．故选：D． 2.（2026·湖南郴州·模拟预测）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点Q到平面距离为（    ） A． B． C． D．1 依题意，平面过点，其法向量，则，所以点Q到平面距离. 3.（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为，则， 令得，故，其中， 点C到平面的距离.故选：C． 4.（25-26高三上·湖南·阶段检测）若直线的方向向量为，，则空间一点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 由，，则，所以，，而，则点到直线的距离为.故选：D $