1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（教学课件）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量研究空间角度问题，涵盖异面直线所成角、线面角、两平面夹角的向量公式推导及坐标法、基底法应用。课堂导入通过地球倾斜角度、桥梁施工等现实情境，引导学生从实际问题抽象数学模型，衔接空间向量基本定理与坐标表示，搭建学习支架。 其亮点在于以现实情境培养“数学眼光”，通过公式底层逻辑推导发展“数学思维”，用对比表格梳理三类角公式、范围、易错点强化“数学语言”。包含正四面体、直三棱柱等典型例题，规范解题步骤，助学生形成“几何度量→向量运算”思路，提升空间观念与运算能力，也为教师提供系统题型训练与教学资源。

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量 研究距离、角度问题 ·选择性必修第一册· 第2课时 用空间向量研究空间角度问题 学习目标 1.推导异面直线所成角、线面角、两平面夹角向量公式。 2.清晰辨析异面角取绝对值余弦、线面角用正弦、两平面夹角取绝对值余弦的底层逻辑。 3.熟练运用坐标法、基底法两类方法求解空间角，规范完成建系、求向量、代入运算全流程。 4.能结合几何体图形判断二面角为锐角或钝角，正确选取余弦正负，规范书写综合大题解题步骤。 5.梳理三类空间角对比表格，区分公式、范围、易错点，构建完整空间度量知识体系。 6.体会向量法无需辅助线的优势，形成“几何度量→向量运算”固定解题思路。 目录 CATALOG 01.异面直线所成角 03.应用新知 02.两平面的夹角 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 1.4.2用空间向量研究距离、角度问题 第2课时 用空间向量研究空间角度问题 01 异面直线所成角 导入新知1：地球倾斜角度情境 面称为“黄道面”。科学家计算出两个角度体现了地球的倾斜程度： ① 黄道面与地球赤道面交角为23°26'。 ② 地轴与黄道面所成的夹角为66°34'。 提问1：这两个角度分别对应立体几何中的哪类夹角问题？黄道面与赤道面的交角属于面面夹角，地轴与黄道面的夹角属于线面角，它们之间有何内在联系？ 提问2：科学家是如何精准计算出这两个角度大小的呢？能否借助我们所学的空间向量工具进行计算得出角度大小？ 追问：生活中还有哪些涉及空间夹角的实际问题？桥梁施工中拉索与桥面的夹角、建筑设计中屋顶坡面与水平面的夹角、机械零件中两个面的夹角；这些角度问题能否统一用向量方法解决？ 导入新知2：桥梁施工中的空间夹角测量情境 某斜拉桥施工过程中，主塔与桥面形成一定倾角，两侧拉索与桥面、主塔分别形成不同夹角。工程师需要精确计算拉索与桥面的夹角（线面角）、两侧拉索之间的夹角（线线角）、相邻桥面板之间的夹角（面面角），以确保桥梁结构稳定。 提问1：若将桥面视为平面、拉索视为直线、主塔视为另一条直线，这些夹角恰好对应立体几何中的哪三类角度问题？ 提问2：能否用方向向量、法向量描述拉索方向和桥面方向，将工程角度计算转化为向量运算？ 追问：平面向量依靠(x, y)描述，空间向量依靠(x, y, z)描述，三类角度的向量解法能否统一为“求向量夹角”一个模式？ 新课探究 立体几何中有哪些夹角问题呢？ 思考 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角（两平面的夹角） 新课探究 如何利用两直线的方向向量求两直线所成的角？ 探究1 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，异面直线所成的角为 思考1：两方向向量的夹角与有何关系？ 结论：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角. 新课探究 两直线的方向向量求两直线所成的角： 归纳 思考2：与有何关系？ 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，则 . 新课探究 坐标法求异面直线所成角的基本步骤： 方法 第一步 建系求点：建立空间直角坐标系及求相关点的坐标 第二步 求方向向量：求两直线的方向向量的坐标 第三步 向量运算：利用坐标求两个方向向量的数量积和各自的模长 第四步 翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 新课探究 图1.4-19 基底法求异面直线所成的角 新课探究 解析 图1.4-19 ① 设角：将夹角问题转化为向量问题 ② 基底表示：用基底表示方向向量 解析 新课探究 图1.4-19 ③ 向量运算：得出结果 ④ 下结论:将运算结果“翻译” 新课探究 基底法求异面直线所成角的基本步骤： 方法 第一步 设角：将夹角问题转化为向量问题 第二步 基底表示：选基底，用基底表示方向向量 第三步 向量运算：求两个方向向量的数量积和各自的模长 第四步 翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 新课探究 都是利用空间向量工具求异面直线所成角，且基本步骤相同： 几何问题 向量问题 向量运算 几何翻译 思考 坐标法与基底法求异面直线所成角有何共同特点？ 课后思考 利用坐标法完成例7的解答，并分析坐标法和基底法解该题的优劣性？ 借助坐标法，还是基底法解题的选择上有什么心得体会？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 异面直线夹角的向量求法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 异面直线夹角的向量求法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 异面直线夹角的向量求法、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 异面直线夹角的向量求法 02 两平面的夹角 1.4.2用空间向量研究距离、角度问题 第2课时 用空间向量研究空间角度问题 应用新知 例8 分析 图1.4-22 坐标法求两平面的夹角 应用新知 例8 图1.4-22 解析 ① 设角：将夹角问题转化为向量问题 应用新知 例8 解析 图1.4-22 ② 求法向量：分别求两个平面的法向量 应用新知 例8 解析 图1.4-22 ③ 向量运算：代入公式运算得结果 应用新知 例8 解析 图1.4-22 ④ 下结论:将运算结果“翻译” 新课探究 坐标法求两平面的夹角的基本步骤： 方法 第一步 设角：将夹角问题转化为向量问题 第二步 建系求法向量：分别求两个平面的法向量的坐标 第三步 向量运算：以上两个法向量坐标代入公式运算得结果 第四步 翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 应用新知 例9 图1.4-23 分析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知面面角求其他量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知线线角求其他量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知面面角求其他量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知线面角求其他量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求面面角的的余弦值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求面面角的的余弦值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求面面角的的余弦值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求面面角的的余弦值 03 应用新知 1.4.2用空间向量研究距离、角度问题 第2课时 用空间向量研究空间角度问题 应用新知 例9 图1.4-23 解析 图1.4-24 应用新知 例9 图1.4-24 解析 应用新知 例10 图1.4-25 分析 本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． 应用新知 例10 解析 图1.4-25 图1.4-26 建系 求点 应用新知 例10 图1.4-26 证明 坐标法证线线平行 结合线面平行判定定理下结论 应用新知 例10 图1.4-26 证明 坐标法证线线垂直 结合线面垂直判定定理下结论 应用新知 例10 图1.4-26 解析 结合平面角定义得出所求角 待定系数法求点F坐标 应用新知 例10 图1.4-26 解析 向量运算得结果 新课探究 如何利用直线方向向量与平面法向量求直线与平面所成的角？ 探究2 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为 思考1：两向量的夹角与有何关系？ 思考2：与有何关系？ 又 新课探究 直线方向向量与平面法向量求线面角： 归纳 如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 新课探究 定义 如下图，平面与平面相交，形成____个二面角， 我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 四 思考 两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角的大小有何关系？ 相等 或 互补 新课探究 探究3 如何利用两平面的法向量求平面与平面的夹角？ 已知平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为 思考1：两法向量的夹角与有何关系？ 新课探究 两平面的法向量求平面与平面的夹角： 归纳 思考2：与有何关系？ 又 已知平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为，则 新课探究 设二面角的平面角为，平面的法向量为，平面的法向量为，则与有何关系？ 思考 当不大于时，为平面与平面的夹角，余弦值大于0 当大于时，为平面与平面的夹角的补角，余弦值小于0 新课探究 空间夹角的向量求解小结 范围 图形 公式 异面直线 所成角 直线与平 面所成角 平面与平 面的夹角 04 题型强化训练 1.4.2用空间向量研究距离、角度问题 第2课时 用空间向量研究空间角度问题 重要题型专练 题型一 异面直线所成角的求解 例题 法一：坐标法 重要题型专练 题型一 异面直线所成角的求解 法二：基底法 重要题型专练 题型一 异面直线所成角的求解 法三：几何法 方法总结 重要题型专练 求异面直线所成的角的两种方法 重要题型专练 题型二 空间直线与平面所成角的求解 例题 法一：坐标法 重要题型专练 题型二 空间直线与平面所成角的求解 例题 法二：几何法 方法总结 应用新知 求空间直线与平面所成角的方法 几何法 向量法 重要题型专练 解析 例题 题型三 平面与平面的夹角（二面角）的求解 重要题型专练 解析 例题 题型三 平面与平面的夹角（二面角）的求解 重要题型专练 解析 例题 题型三 平面与平面的夹角（二面角）的求解 方法总结 应用新知 向量法求二面角的步骤 05 真题感知 1.4.2用空间向量研究距离、角度问题 第2课时 用空间向量研究空间角度问题 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 1.4.2用空间向量研究距离、角度问题 第2课时 用空间向量研究空间角度问题 课堂小结 作业 教科书第41页练习第1题； 教科书第43-44页习题1.4第9、10、14题. 1.4.2用空间向量研究距离、角度问题 第2课时 用空间向量研究空间角度问题 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 问题1：如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中， 分别为的中点，求直线和夹角的余弦值． 分析：求直线和夹角的余弦值，可以转化为求向量 与夹角的余弦值．为此需要把向量，用 适当的基底表示出来，为此,选择为基底并表 示向量，进而求得向量，夹角的余弦值． 例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中， 分别为的中点，求直线和夹角的余弦值． 设向量与的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于． 如图1.4-19，以作为基底， 则，． 所以， 所以直线和夹角的余弦值为. 问题1：如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中， 分别为的中点，求直线和夹角的余弦值． ． 又和均为等边三角形，所以． （25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，正方体 的棱长为1， 若点M为AB的中点， ，则 与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．则， 故与MN所成角的余弦值为．故选：A. 2.（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是 ， ，则这两条异面直线所成的角 满足（   ） A． B． C． D． 【详解】 由两条异面直线的方向向量分别是，， 得，. 故选：A 3.（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体 中， 是 的中点，则 与 所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，，所以与所成角的余弦值是.故选：C. 4.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则 和 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则, 设和所成角为，， 即和所成角的余弦值为. 因为平面与平面的夹角可以转化为平面 与平面的法向量的夹角，所以只需要求 出这两个平面的法向量的夹角即可． 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 以为原点，，，所在直线为轴、轴、 轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系． 设平面与平面的夹角为，平面的法向量为，平面的法向量为，则, 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 因为平面，所以平面的一个法向量为 ， 根据所建立的空间直角坐标系，可知，， ．所以，． 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 设，则，所以， 令，则，则， 则． 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 所以． 即平面与平面的夹角的余弦值为． 因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量． 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根 绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳 子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重 力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 5.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量 ，且 平面 平面 ，若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，则实数 的值为（    ） A． 或 B． 或1 C． 或2 D． 【详解】因为所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1．故选：B 6.（24-25高二上·广东·期末）已知直线 的一个方向向量为 ，直线 的一个方向向量为 ，若直线 、 所成的角等于 ，则 （   ） A． B． C． D． 【详解】 由题意可得， 解得.故选：B. 7.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量 ，且 平面 平面 ，若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，则实数 的值为（    ） A． 或 B． 或1 C． 或2 D． 【详解】 因为所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 8.（2023·四川甘孜·一模）在长方体 中， 分别是为 和 的中点， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令， 则，所以，又面的法向量为，由与平面所成的角为，则，所以，可得，则， 所以该长方体的体积为.故选：C 9.（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体 中，若 ，则平面 与平面 夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，，由，得，则，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，所以平面与平面夹角的余弦值.故选：D 10.（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体 中，若 ，则平面 与平面 夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【详解】 在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，，由，得，则， 设平面的法向量，则， 令，得，设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根 绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳 子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重 力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 如图1.4-24， 设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为．因为，所以在上的投影向量为． 所以8根绳子拉力的合力． 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根 绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳 子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重 力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 又因为降落伞匀速下落， 所以． 所以，所以． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设． （1）证明： 连接，交于点， 连接． 依题意得，，． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 因为底面是正方形，所以点是它的中心， 所以点的坐标为，且，， 所以，即． 而平面， 且平面， 因此平面． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． （2）证明：依题意得，，又， 故，所以． 由已知，且，所以平面． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． （3）已知，由（2）可知， 故是平面与平面的夹角． 设点的坐标为，则． 因为，所以， 即，，， 设，则， 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 所以，点的坐标为．又点的坐标为， 所以． 所以，即平面与平面的夹角大小为． 所以． 在直三棱柱中，，，分别是， 的中点，，求异面直线与所成角的余弦值. 建立如图（1）所示的空间直角坐标．设， 则，，，， ，， ． 设与所成角为，． 取为基底，如图（2）， 设，，，， 则， ， ． 设与所成角为，． 如图（3），取中点，连接，，， 设． ，分别为，的中点， ，，， ．四边形为平行四边形，， 或其补角为异面直线与所成的角． 在中，， ，， ． 设与所成角为，则． (1)几何法:解决此类问题,关键是通过平移法求解.过某一点作平行线,将 异面直线所成的角转化为平面角,最后通过解三角形求解.主要以“作,证,算” 来求异面直线所成的角.同时,要注意异面直线所成角的范围. (2)向量法:将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角. 若求出的两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角, 即. 易错提醒:由于两异面直线所成的角的范围是,而两向量夹角 的范围是,故应有,求解时要特别注意. 已知，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为， 求直线与平面所成角的余弦值 解：把，，放在正方体中，如图所示，与， 与，与的夹角均为， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，，，， ，，， 设直线与平面所成角为， 则，． 设平面的法向量，， 设，则，， ，． 已知，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为， 求直线与平面所成角的余弦值 同理可证，因为， 所以，所以，故， 所以点在的平分线上，， 设，则，，故， 所以直线与平面所成角的余弦值是. 过上一点作平面，过点作，， 则就是直线与平面所成的角， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 作角：在直线上找一特殊点，过点作平面的垂线，连接斜足与垂足 证角：证明作出的角为线面角 求角：利用直角三角形的边角关系求出线面角 建系：依据集合条件建立适当的坐标系； 确定向量：找直线的一个方向向量，平面的一个法向量； 计算角度：，结合角的范围确定大小. 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值． ∵正三棱柱的所有棱长均为2，取的中点， 则，平面， 取的中点，连接， ，，两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 设平面的法向量为， 则，取，则，，， 设平面的法向量为， ，取，则，，． 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值． ． 设平面与平面的夹角为，则． 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值． 1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线 时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。 2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标. 3、求：求出两个面的法向量. 4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值； 5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值. 1.（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 设，以为原点，为轴，为轴，建立如下图所示空间直角坐标系，则， 设点，，，， 即，同理，即设，则，，，解得，直线与平面夹角的正弦值等于 点到平面的距离与的比值，即．故选：B． 2.（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，， 由，得，则，设平面的法向量， 则，令，得，设平面的法向量， 则，令，得，所以平面与平面夹角的余弦值.故选：D 3. （24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则， 所以，因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，令，则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则，因为为锐角，所以，所以，所以平面与平面的夹角的正切值为.故选：A 4.（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，令，则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则，因为为锐角， 所以，所以，所以平面与平面的夹角的正切值为.故选：A $