1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量研究线线角、线面角、二面角问题，通过前情回顾距离公式及空间向量应用，以“空间向量可解决哪些几何问题”衔接，搭建从距离到夹角的学习支架，引导学生探究向量与几何角的联系。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过对比向量角与几何角范围及公式（如线线角余弦值为方向向量夹角余弦绝对值），培养数学思维；结合正方体、四棱锥等实例（如练习1求异面直线角），用向量运算表达几何关系，发展数学语言。方法总结四步解题法，帮助学生形成结构化思维，提升空间想象与运算能力，教师可高效开展探究式教学。

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2(第二课时) 用空间向量 研究距离、夹角问题 前情回顾 空间直线、平面 的距离 点面距 两点距 点线距 B 单位方向向量 α 前情回顾 空间向量 代数运算 建系 空间向量可以解决了哪些几何问题？ 问题 距离、长度问题 夹角问题 平行、垂直问题 直线 平面 方向向量 法向量 思考：类似空间中点、直线、平面间的距离问题， 直线和平面之间的夹角如何如何用空间向量表示？ 学 习 目 标 1 2 3 能用空间向量表示线线角、线面角、二面角的夹角. 理解立体几何中线线角、线面角、二面角与向量角的区别. 运用向量夹角公式解决立体几何中角度的度量问题. 读教材 阅读课本P36-P38，5分钟后完成下列问题： 1. 立体几何中直线和平面之间的夹角与空间向量角有何关系？ 我们一起来探究“用空间向量研究夹角问题”吧！ 2. 线线角、线面角和平面的夹角的空间向量夹角公式分别是什么？ 新课引入 今天我们一起来探究夹角的问题 思考：空间中直线和平面的夹角有哪些呢？ 空间中的角 线线角 线面角 面面角 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量。下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角。 学习过程 01 03 02 目录 1 空间中的夹角问题 2 题型训练 新知探究1 问题1：你还记得立体几何中研究例哪些夹角吗？ 线线角 线面角 二面角 线线角范围： 线面角范围： 二面角的平面角范围： 角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量， 可以利用空间向量研究夹角问题。 新知探究1 探究1 若直线的方向向量分别为，则直线所成角 与向量夹角<, >有什么区别与联系？ = 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 1.线线角 线线角范围： 向量夹角： 新知探究1 探究2 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 直线与平面所成角与向量夹角<, >有什么区别与联系？ 2.线面角: 线面角范围： 向量夹角： － = = 注意： 线面角的正弦值等于对应向量角余弦值的绝对值。 新知探究1 探究3 平面的法向量为，平面的法向量为，则二面角的平面角与向量夹角<>有什么区别与联系？ 3.面面夹角: 二面角的平面角 平面与平面的夹角： 四个二面角中不大于角。 二面角的大小判断:肉眼观察法 概念 空间中的夹角问题 空间中的夹角问题： 线线角 线面角 两个平面的夹角 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 注意：线面角的正弦值等于对应向量角余弦值的绝对值。 二面角：先计算夹角再根据图分辨锐、钝二面角，添加正负号。 练习巩固 练习1 若两异面直线与 的方向向量分别是 则异面直线与 所成的角为( ) 解: 由题意得 ， 设异面直线 所成的角为 ， 则 ， 因为 ， 所以 故选A. A. B. C. D. A 练习巩固 练习2 在矩形 中， ， ， 平面 ， ， 则直线 与平面 所成角的大小为( @34@ ) A. B. C. D. A 解: 建立如图所示的空间直角坐标系.则 所以 易知平面的一个法向量为 设直线 与平面 所成角为 =， 所以直线 与平面 所成角为 。 练习巩固 练习3 在正方体 中，二面角 的余弦值为　　 .  解:不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量为 ， 则即 取,则 平面 , 平面的一个法向量为 , 则 ,故二面角的余弦值为 . C D A B A1 D1 C1 B1 方法总结 (1)建系：写出对应点的坐标； (2)化为向量问题：求出对应向量（直线求方向向量，平面求法向量）； (3)进行向量运算：选择对应夹角公式进行向量计算； (4)回到图形问题：得出所求夹角 (线线角、线面角、面面角)。 用向量法求立体几何夹角的步骤 线线角： 学习过程 01 03 02 目录 1 空间中的夹角问题 2 题型训练 应用空间向量求夹角问题 题型1 题型探究 例1 如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， 底面 ，且 求与 所成角的余弦值？ 解：建系如图，以为坐标原点 所在直线分别 为轴轴 轴建立空间直角坐标系，则 ， ，所以 故, ， 所以, 即与 所成角的余弦值为 . 应用空间向量求夹角问题 题型1 题型探究 例2 和所在平面垂直，且， ，求：(1)直线与直线所成角的大小？ 解：(1)在平面内过点垂直于的延长线于点 由题意两两垂直，建系如图. 则， 所以， 因为所以 ，即直线与直线所成角为. D B C A x y z O 应用空间向量求夹角问题 题型1 题型探究 例2 和所在平面垂直，且， ，求：(2)直线与平面所成角的大小？ 解：(2)， 所以 直线与平面所成角的正弦值为： . 所以直线与平面所成角. D B C A x y z O 应用空间向量求夹角问题 题型1 题型探究 例2 和所在平面垂直，且， ，求：(3)平面和平面的夹角的余弦值？ 解：(3)， 设平面的法向量为， 则，所以，令，则，， 所以，设平面和平面的夹角为， 则. D B C A x y z O 应用空间向量求夹角问题 题型1 题型探究 例3 如图，在四棱锥<m></m>中，<m></m>底面<m></m>，<m></m>，<m> </m>，<m></m>，<m></m>为线段<m></m>上一点，<</m>，m</m>为m</m>的中点， 求直线<</m>与平面 <m></m> 所成角的正弦值？ 解：取 <m></m> 的中点 <m></m> ，连接 <m></m> .由 <m></m> 得 <m></m> ， 从而 <m></m> ，且 <m></m> . 以 <m></m> 为坐标原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的方向分别为 <m></m> 轴， <m></m> 轴， <m></m> 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 <m></m> . 由题意知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 应用空间向量求夹角问题 题型1 题型探究 例3 如图，在四棱锥<m></m>中，<m></m>底面<m></m>，<m></m>，<m> </m>，<m></m>，<m></m>为线段<m></m>上一点，<</m>，m</m>为m</m>的中点， 求直线<</m>与平面 <m></m> 所成角的正弦值？ 解：(续) 设 <m> 为平面 <m></m> 的法向量，则令 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， 则 </m> .所以<m>zeze则</m> ， 所以直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的正弦值为 <m></m> . 应用空间向量求夹角问题 题型1 题型探究 例4 已知在长方体中 ， 求平面与平面 夹角的正切值？ 解：以为坐标原点，直线分别为 轴轴 轴建立空间直角坐标系， 则 ， 可得 ， 易知平面的一个法向量为 ， 设平面的法向量为， 则 ， 令则 ，， C D A B A1 D1 C1 B1 应用空间向量求夹角问题 题型1 题型探究 例4 已知在长方体中 ， 求平面与平面 夹角的正切值？ 解：(续) 设平面与平面的夹角为 , 则 , 可得 , 所以平面与平面 的夹角的正切值 . C D A B A1 D1 C1 B1 课堂小结 用空间向量 研究夹角问题 直线与直线所成角 直线与平面所成角 平面与平面所成角 二面角的大小判断:肉眼观察法 感谢聆听! $