2026年九年级数学秋季开学学情自测卷01（广州专用，新教材人教版七八+一元二次方程）

**基本信息** 2026年广州九年级数学开学自测卷，聚焦七、八年级知识及九年级一元二次方程，通过“方胜”图案（文化传承）、村庄取水（现实应用）等情境，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、直角三角形、四边形性质|第8题以传统“方胜”图案考平移距离，体现几何直观| |填空题|6/18|二次根式意义、方程根与系数关系|第16题中点四边形矩形条件，考查空间观念| |解答题|9/72|方程证明、几何作图、函数应用、折叠探究|25题折叠问题梯度设计（感知-探究-延伸），23题服装厂利润模型，发展推理能力与模型意识|

2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D B B C A D B B 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分． 11． 12．, 13． -1 14． 15． 4 16． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．(1)解：原式 ． （2分） （2）解：原式． （4分） 18．（1）解：∵，， ∴，， ∴原式 ； （2分） （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ． （4分） 19．（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2分） （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； （4分） 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. （6分） 20．（1）证明：． ， ∴无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （3分） （2）解：由根与系数的关系得，． ． ， 解得：，， 即m的值为或． （6分） 21．(1)如图，和点即为所求． （3分） (2)证明：四边形为平行四边形， ∴， ． （4分） 为的平分线， ， ， ． （6分） ， ， 四边形为平行四边形． （7分） ， 四边形为菱形． （8分） 22．解:（1）是，理由如下： （1分） ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， （4分） ∴， ∴是为从村庄到河边的最近路． （5分） （2）设，则 ，， 在中，根据勾股定理有， ，即， （7分） 解得：， （8分） ∴， ∴， ∴新路比原路少． （10分） 23．解：（1）由题意可知：y=50x+45（80－x）=5x+3600 即（元）与（套）的函数关系式为y=5x+3600； （3分） （2）由题意可知： 解得： （5分） 故可生产型号的时装40套、生产型号的时装80－40=40套或生产型号的时装41套、生产型号的时装80－41=39套或生产型号的时装42套、生产型号的时装80－42=38套或生产型号的时装43套、生产型号的时装80－43=37套或生产型号的时装44套、生产型号的时装80－44=36套，共5种生产方案 答：共有5种生产方案． （7分） （3）∵一次函数y=5x+3600中，，5＞0 ∴y随x的增大而增大 ∴当x=44时，y取最大值，ymax=44×5+3600=3820 即当生产型号的时装44套、生产型号的时装36套时，该厂所获利润最大，最大利润为3820元． 答: 当生产型号的时装44套、生产型号的时装36套时，该厂所获利润最大，最大利润为3820元．（10分） 24． 回顾旧知，类比求解： ，5，5；学会转化， （4分） 学会转化，解决问题： 解：（1） ， 解得：， （8分） 经检验，是原方程的解； （2） 解得：， 经检验，是原方程的解． （12分） 25．解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为8； （3分） （2）四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， （5分） 解得：， 即的长为； （7分） （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， （8分） 分两种情况： ①如图3，当点在长方形内部时，   点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （10分） ②如图4，当点在长方形外部时，    由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． （12分） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 破。 5. 正确填涂 789 6789 6789 6789 123456789 123456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 选择题（每小题3分，共30分) 1[A][B][CI][D] 5[A][B][C]D] 9[A[B][C][D] 2[A][B][C]D] 6JA][B]IC][D] 10 JA][BIIC][D] 效洞 3[A][B][C]D] 7[A]B][CD] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题， 每题3分，共18分. 11. 12 14 15. 16 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20 题每小题6分，第21题8分，第2223题每小题10分，第24~25题每 警 小题12分。 17.(4分) 妇 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(4分) 19.(6分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) B 22.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 【回顾旧知，类比求解】一， 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 （广州专用，新教材人教版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七、八年级全部内容+九年级上册一元二次方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4cm， 5cm， 6cm B．1cm， 1cm，cm C．6cm， 8cm， 11cm D．5cm， 12cm， 23cm 3．下列结论正确的是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 4．将方程的左边配成完全平方后，得到的方程是（       ） A． B． C． D． 5．如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ）    A． B． C． D． 6．下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．直线经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形面积为 D．直线与轴交点的坐标是 7．已知与是一次函数．若，那么如图所示的4个图可能正确的是（    ） A．B． C． D． 8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H．连接，若，则菱形的面积为（    ）    A．8 B．16 C．24 D．3 10．如图，如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若要使二次根式有意义，则的取值范围是_____． 12．关于x的一元二次方程的解为________． 13．实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为________． 14．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是________． 15．如图，直角中，，E、D、F分别为、、上的中点，已知，则______． 16．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．计算：(1) (2)． 18．已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 19．一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 20．已知关于x的方程 (1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为p，q，满足，求m的值． 21．已知如图，中． (1)尺规作图：作的平分线交于点，在上取点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形． 22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米？ 23．已知某服装厂现有种布料70米，种布料52米，现计划用这两种布料生产、两种型号的时装共80套.已知做一套型号的时装需用A种布料1.1米，种布料0.4米，可获利50元；做一套型号的时装需用种布料0.6米，种布料0.9米，可获利45元.设生产型号的时装套数为，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为元. （1）求（元）与（套）的函数关系式. （2）有几种生产方案？ （3）如何生产使该厂所获利润最大？最大利润是多？ 24．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 25．几何与探究 【初步感知】（1）如图1，在中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】（2）如图2，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 （广州专用，新教材人教版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七、八年级全部内容+九年级上册一元二次方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4cm， 5cm， 6cm B．1cm， 1cm，cm C．6cm， 8cm， 11cm D．5cm， 12cm， 23cm 3．下列结论正确的是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 4．将方程的左边配成完全平方后，得到的方程是（       ） A． B． C． D． 5．如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ）    A． B． C． D． 6．下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．直线经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形面积为 D．直线与轴交点的坐标是 7．已知与是一次函数．若，那么如图所示的4个图可能正确的是（    ） A．B． C． D． 8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H．连接，若，则菱形的面积为（    ）    A．8 B．16 C．24 D．3 10．如图，如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若要使二次根式有意义，则的取值范围是_____． 12．关于x的一元二次方程的解为________． 13．实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为________． 14．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是________． 15．如图，直角中，，E、D、F分别为、、上的中点，已知，则______． 16．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．计算：(1) (2)． 18．已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 19．一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 20．已知关于x的方程 (1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为p，q，满足，求m的值． 21．已知如图，中． (1)尺规作图：作的平分线交于点，在上取点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形． 22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米？ 23．已知某服装厂现有种布料70米，种布料52米，现计划用这两种布料生产、两种型号的时装共80套.已知做一套型号的时装需用A种布料1.1米，种布料0.4米，可获利50元；做一套型号的时装需用种布料0.6米，种布料0.9米，可获利45元.设生产型号的时装套数为，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为元. （1）求（元）与（套）的函数关系式. （2）有几种生产方案？ （3）如何生产使该厂所获利润最大？最大利润是多？ 24．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 25．几何与探究 【初步感知】（1）如图1，在中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】（2）如图2，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．    试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: : 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 ·: (广州专用，新教材人教版) : (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：七、八年级全部内容+九年级上册一元二次方程 : : 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 : 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1.下列式子中，是最简二次根式的是() : : A.V25 B.√17 C.√0.49 2. : 下列各组线段中，能构成直角三角形的是() A.4cm, 5cm,6cm B.1cm, 1cm,√/2cm : C.6cm, 8cm, 11cm D.5cm,12cm, 23cm 3.下列结论正确的是() . : A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C.两条对角线相等的平行四边形是正方形 桨 : : D.有一个角是直角的菱形是正方形 : : 4.将方程x2+4x+5=0的左边配成完全平方后，得到的方程是() A.(x+2)2=5B.(x+2)2=-1 C.(x+2)}2=-9 D.(x+2)2=1 : 5.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A表示2，AC=3,BC=1,若以点A为圆心，AB为半 径画弧交数轴于点M,则点M表示的数为() 女 的 B : -3 -2 0 : : : A .-√10 B.2-√10 c.10-2 D.3-10 试题第1页（共6页） : : 6学科网·上好课 6.下列关于一次函数y=-2x+4的图象性质说法中，不正确的是() A.y随x的增大而减小 B.直线经过第一、二、四象限 C.与两坐标轴围成的三角形面积为8D.直线与x轴交点的坐标是(2,0) 7.已知y=ax+b与y=bx+a是一次函数.若b>a,那么如图所示的4个图可能正确的是() 8.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边 长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D',形成一个“方胜"图案，则点D, B'之间的距离为() B A.2cm B.√2cm c.(W2-1)cm D.(2√2-1)cm 9.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H.连接OH,若OA=4,OH=2, 则菱形ABCD的面积为() A.8 B.16 C.24 D.3 10.如图，如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2BC,DE平分∠ADC,对角线AC、BD 相交于点O,连接OE,下列结论中正确的有() ①∠BDC=30°；②AD=2OE;③DE=BC;④OD=AD D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 试题第2页（共6页） 可学科网·上好课 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.若要使二次根式 1 有意义，则x的取值范围是 V2x-7 12.关于x的一元二次方程x(x-3)=0的解为 13.实数m,n是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，则多项式n-m-n的值为 14.如图，函数y=x+4和y=-3x+b的图象交于点A,则根据图象可得，关于x,y的二元一次方程组 x-y+4=0 的解是 3x+y-b=0 y=x+4 6- A 2 y=-3x+b 15.如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，E、D、F分别为BC、AB、AC上的中点，己知DF=4,则AE= D E 16.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH,还要添加 条件，才能保证四边形FGH 是矩形. D B G 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第 21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 1.计第：200-[固)+-同-5 -2 2(25-7)(2W5+7)-(5-3. 试题第3页（共6页） 18.己知：x=√2+1，y=√2-1. O (1)求x2-y2的值： (2)求x2-3y+y2的值. 19.一次函数y=x-a+1(a为常数，且a≠0) 卡 (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点(-1,3)，求a的值： (2)当-2≤x≤4时，函数有最大值10，请求出α的值 张 20.已知关于x的方程x2+2x+m2-4=0 (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为p,q,满足P9=P+9,求的值. 游 拼 21.己知如图，口ABCD中. B (1)尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点F,在BC上取点E,使得BE=BA(不写作法，保留作图痕迹)， (2)在(1)的条件下，连接EF,证明：四边形ABEF是菱形. 时 22.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某 世 : 种原因，由C到A的路现在己经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B O 在同一条直线上)，并新修一条路cH,测得CB=2千米，CH=1.6千米，B=1.2千米. 烯 H B (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明： (2)求新路CH比原路CA少多少千米？ 试题第4页（共6页） 23.已知某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装 共80套.己知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的 时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元.设生产M型号的时装套数为x,用这批布料生产 两种型号的时装所获得的总利润为y元. .: (1)求y(元)与x(套)的函数关系式. : : (2)有几种生产方案？ (3)如何生产使该厂所获利润最大？最大利润是多？ .: 24.类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法， 【回顾旧知，类比求解】 解方程：√x-1=2 % ·: 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ,解这个方程，得x=」 经检验，x= 尽 是原方程的解 : : .: 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： : ○ (1)Vx+2-3=0: : (2)V9x2+7x-3x=1. 斟 25.几何与探究 【初步感知】(1)如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=16,将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折 .: 痕和AC交于点E,EC=6,求BC的长： : 【深入探究】(2)如图2，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC'交AD于E,若AB=10, O BC=16,求AE的长： : 【拓展延伸】(3)如图3，在矩形ABCD中，AB=10,BC=16,点E为射线AD上一个动点，把△ABE沿 直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，求AE的长. ·: 试题第5页（共6页） : 6学科网·上好课 B D D B B 图1 图2 图3 试题第6页（共6页） 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 （广州专用，新教材人教版） 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项即可． 【详解】解：A、，被开方数25含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、的被开方数17不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义； C、，被开方数0.49含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式． 2．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4cm， 5cm， 6cm B．1cm， 1cm，cm C．6cm， 8cm， 11cm D．5cm， 12cm， 23cm 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴这样的三角形不存在， 故D不符合题意； 3．下列结论正确的是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，根据矩形，菱形，正方形的判定逐一判断即可，熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、两条对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项不符合题意； B、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项不符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，说法正确，故选项符合题意； 4．将方程的左边配成完全平方后，得到的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数的一半的平方，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解本题的关键. 5．如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先由勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：设点M表示的数为m， ， 由勾股定理得：， 由题意得：， ， 6．下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．直线经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形面积为 D．直线与轴交点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，根据一次函数的性质可判断A和B，求出图象与坐标轴的交点坐标可判断D，求出三角形的面积可判断C． 【详解】解：，， 随的增大而减小，直线经过第一、二、四象限，故A、B正确，不符合题意； 当时，；当时，， 直线与与轴交点的坐标是，D正确，不符合题意； 与两坐标轴围成的三角形面积为，故C错误，符合题意． 7．已知与是一次函数．若，那么如图所示的4个图可能正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，解得，故两直线的交点为， B选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项B不符合题意； 而选项C中交点横坐标是负数，故选项C不符合题意； 选项D中交点横坐标是负数，选项D不符合题意； A选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项A可能正确，符合题意． 8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H．连接，若，则菱形的面积为（    ）    A．8 B．16 C．24 D．3 【答案】B 【分析】由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键． 10．如图，如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，，，进而推出是等边三角形，再证明，得出，即可判断①正确；根据，，可判断②正确；根据，，可判断③正确；根据，，，可判断④不正确． 【详解】解：在平行四边形中，， ，，，， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，，， ，故④不正确； 正确的有3个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若要使二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义则分母，二次根式有意义则被开方数为非负数．根据使二次根式有意义的条件可得，使分式有意义的条件可得，故，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 12．关于x的一元二次方程的解为________． 【答案】， 【分析】考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 13．实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【详解】二元一次方程组，可变形为， 从图象中可以看出，函数和的图象交于点， 所以方程组的解是． 故答案为： 15．如图，直角中，，E、D、F分别为、、上的中点，已知，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解决此题的关键． 【详解】∵D、F分别为、上的中点，， ∴， 在中，，E为上的中点， ∴， 故答案为：4． 16．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．计算：(1) (2)． (1)解：原式 ． （2）解：原式． 18．已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； 由已知可得，，再利用完全平方公式将原式变形为，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴原式 ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ． 19．一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 20．已知关于x的方程 (1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为p，q，满足，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2)或 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：． ， ∴无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得，． ． ， 解得：，， 即m的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是理解根的判别式和根与系数的关系的公式，正确列出不等式和方程求解． 21．已知如图，中． (1)尺规作图：作的平分线交于点，在上取点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形． 【答案】(1) 如图，和点即为所求． (2) 证明：四边形为平行四边形， ∴， ． 为的平分线， ， ， ． ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． 22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米？ 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米． 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）是，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是为从村庄到河边的最近路． （2）设，则 ，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少． 23．已知某服装厂现有种布料70米，种布料52米，现计划用这两种布料生产、两种型号的时装共80套.已知做一套型号的时装需用A种布料1.1米，种布料0.4米，可获利50元；做一套型号的时装需用种布料0.6米，种布料0.9米，可获利45元.设生产型号的时装套数为，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为元. （1）求（元）与（套）的函数关系式. （2）有几种生产方案？ （3）如何生产使该厂所获利润最大？最大利润是多？ 【答案】（1）y=5x+3600；（2）共有5种生产方案；（3）当生产型号的时装44套、生产型号的时装36套时，该厂所获利润最大，最大利润为3820元. 【分析】（1）根据题意，根据总利润=型号的总利润＋型号的总利润，即可求出（元）与（套）的函数关系式； （2）根据A、B两种布料的总长列出不等式，即可求出x的取值范围，从而求出各个方案； （3）一次函数的增减性，求最值即可． 【详解】解：（1）由题意可知：y=50x+45（80－x）=5x+3600 即（元）与（套）的函数关系式为y=5x+3600； （2）由题意可知： 解得： 故可生产型号的时装40套、生产型号的时装80－40=40套或生产型号的时装41套、生产型号的时装80－41=39套或生产型号的时装42套、生产型号的时装80－42=38套或生产型号的时装43套、生产型号的时装80－43=37套或生产型号的时装44套、生产型号的时装80－44=36套，共5种生产方案 答：共有5种生产方案． （3）∵一次函数y=5x+3600中，，5＞0 ∴y随x的增大而增大 ∴当x=44时，y取最大值，ymax=44×5+3600=3820 即当生产型号的时装44套、生产型号的时装36套时，该厂所获利润最大，最大利润为3820元． 答: 当生产型号的时装44套、生产型号的时装36套时，该厂所获利润最大，最大利润为3820元． 24．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】回顾旧知，类比求解：，5，5；学会转化，解决问题：（1）；（2） 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． 回顾旧知，类比求解：根据题意可直接进行求解； 学会转化，解决问题： （1）先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； （2）先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，进而问题可求解． 【详解】回顾旧知，类比求解： 解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 学会转化，解决问题： 解：（1） ， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2） 解得：， 经检验，是原方程的解． 25．几何与探究 【初步感知】（1）如图1，在中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】（2）如图2，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．    【答案】（1）的长为8；（2）的长为；（3）的长为5或20． 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为8； （2）四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图3，当点在长方形内部时，   点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图4，当点在长方形外部时，    由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分． 11．_________ 12．_________ 13．_________ 14．_________ 15．_________ 16．_________ 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（4分） 19．（6分） 20． （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 【回顾旧知，类比求解】______，______，______； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $