精品解析：广东梅州市梅县区华侨中学2024-2025学年九年级上学期学情自测数学试卷

2024-2025学年度九上开学数学试卷（问卷） 说明：1．考试时间90分钟，满分120分；2．试卷共6页；3．先查阅试卷，有问题举手与监考老师说明 一、选择题：（共10题，每题3分，共30分，把唯一答案填写在括号里） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2. 如图，平分，于点，若，则到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，可得，由此求解即可． 【详解】解：∵到的距离即为，且， 又∵平分， 且，， ∴， ∴到的距离为2． 3. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，先由垂直平分线的性质得，，再证明，故平分，然后运用证明，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，故A选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B选项成立， ∴． 在和中， ∵， ∴．故D选项成立， 没有可证明的条件，故C选项不一定成立， 故选：C． 4. 下列条件不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、B选项，由三角形内角和为可判断C、D选项． 【详解】解：A选项，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； B选项，由，设， 则，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； C选项，由，结合， 则，解得，是直角三角形； D选项，由，设， 则，解得， 此时最大角，不是直角三角形． 5. 如图，五角星旋转一定的度数，就能与它原来的图形重合，则这个旋转的角度最小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形”．根据五角星的特点，用周角除以5即可得到最小的旋转角度，从而得解． 【详解】解：∵， ∴这个旋转的角度最小是． 6. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线互相垂直 C. 有四条对称轴 D. 四条边都相等 【答案】C 【解析】 【分析】要熟练掌握菱形对角线相互垂直平分与正方形对角线相互垂直平分相等的性质，根据各自性质进行比较即可解答． 【详解】A. 正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故本选项错误； B. 正方形和菱形的对角线互相垂直，故本选项错误； C. 正方形有4条对称轴，菱形有2条对称轴，故本选项正确； D. 正方形和菱形都是四条边相等，故本选项错误； 故答案选：C. 【点睛】本题考查了菱形与正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形与正方形的性质. 7. 已知与是同类项，则的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据同类项的定义得到，，然后代入求解平方根即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴，9的平方根是． ∴的平方根是． 8. 电脑公司销售一批计算机，第一个月以3500元/台的价格售出40台，第二个月起降价，以3000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过30万元，则这批计算机最少有多少台？若设这批计算机有x台，则下列不等式表示正确的是( ) A. 3500×40＋3000(x－40)＞30 B. 3500×40＋3000(x－40)≥30 C. 3500×40＋3000(x－40)＞300000 D. 3500×40＋3000(x－40)≥300000 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意设这批计算机有x台，第二个月还有（x﹣40）台，先表示出第一个月销售量，再表示出第二个月销售量，然后用第一个月销售量+第二个月销售量＞30万元即可． 解：∵第一个月以3500元/台的价格售出40台， ∴第一个月销售量=3500×40=140000（元）， 设这批计算机有x台，第二个月还有（x﹣40）台， ∴第二个月销售量=3000×（x﹣40）， ∵销售总量超过30万元， ∴3500×40+3000×（x﹣40）＞300000． 故选C． 9. 一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式的解，再根据不等式组的解判断的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组为， 由①可得，，解得， 由②可得，， ∵不等式组的解集为， ∴． 10. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由折叠的性质可知，DF＝GF，HE＝CE，GH＝DC，∠DFE＝∠GFE． ∵∠GFE＋∠DFE＝180°﹣∠AFG＝120°， ∴∠GFE＝60°． ∵AF∥GE，∠AFG＝60°， ∴∠FGE＝∠AFG＝60°， ∴△GEF为等边三角形， ∴EF＝GE． ∵∠FGE＝60°，∠FGE＋∠HGE＝90°， ∴∠HGE＝30°． 在Rt△GHE中，∠HGE＝30°， ∴GE＝2HE＝CE， ∴GH＝＝HE＝CE． ∵GE＝2BG， ∴BC＝BG＋GE＋EC＝4EC． ∵矩形ABCD的面积为， ∴4EC•EC＝， ∴EC＝1，EF＝GE＝2. 故选：C． 二、填空题：（共6题，每题4分，共24分，把答案填写在题中横线上） 11. 当________时，不等式的解集为． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，即不等式两边同除以同一个负数时，不等号方向改变，由此求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为． ∴， 解得． 12. 如图，线段和关于点O中心对称，若，则的度数为________． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据线段和关于点O成中心对称，可以证明，则，从而可以得到答案． 【详解】解：∵线段和关于点O成中心对称，， ∵AO=CO，BO=DO， 又∵∠AOB=∠COD， ∴（SAS）， ∴， ∴的度数为． 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 13. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设_____________． 【答案】一个三角形中每个角都小于60° 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可． 【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即一个三角形中每个角都小于60°． 故答案为：一个三角形中每个角都小于60°． 【点睛】本题考查了反证法的知识，掌握反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立是解题的关键． 14. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件_____，则四边形AEDF是矩形；若添加条件_____，则四边形AEDF是菱形；若添加条件_____，则四边形AEDF是正方形． 【答案】 ①. ∠BAC＝90° ②. AD平分∠BAC ③. ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一） 【解析】 【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件． 【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形； 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形； ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形． ,∠BAC＝90°， 故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键． 15. 已知关于的方程有增根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程有增根时参数的值．先去分母，将方程化为整式方程，根据方程有增根得到，，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ∵原分式方程有增根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴正半轴上一动点，连接并延长至点D，使，以为边作，连接，则长度的最小值为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】设为，由知，，根据平行四边形的性质求出的坐标，用勾股定理求出，再用的取值求出的最小值． 【详解】解：，，设为， 由知，， 是平行四边形， ， 故, 时，最小， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质求出,坐标． 三、解答题（共66分） 17. 解不等式组，并判断是否为该不等式组的解？ 【答案】；不是该不等式组的解 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法求解，并根据不等式组的解判断即可． 【详解】解：不等式组为， 由①可得，， 即，解得； 由②可得，， ∴不等式组的解为， ∵， ∴不是该不等式组的解． 18. 已知分式：及一组数据，0，1．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个合适的数代入并求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的性质化简分式，再由分式有意义的条件，将代入求解即可． 【详解】解： ， ∵要使原分式有意义，则，且， 解得，且， ∴将代入，原式． 19. 已知． （1）若将向右平移2个单位得到，则点的对应点的坐标是________． （2）的长等于________． （3）若将绕点按顺时针方向旋转后得到，则点对应点的坐标是________． （4）如果小正方形的边长为1，写出的面积是________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据平移方式作答即可； （2）根据勾股定理计算即可； （3）画出旋转后的图形，可知点的坐标； （4）根据割补法计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知， ∴若将向右平移2个单位得到，则点的对应点的坐标是即； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图，由图可知； 【小问4详解】 解：的面积． 20. 已知等腰，． （1）过点作的垂线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写做法）； （2）在（1）条件下，若，，求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧与直线分别交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半画弧，两弧分别交于点，过点作直线交于点，线段即为所求； （2）首先，根据，得，再根据勾股定理求得，最后，由，可得的长． 【小问1详解】 解：以点为圆心，任意长为半径画弧与直线分别交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半画弧，两弧分别交于点，过点作垂线交于点，线段即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 在中，，， ∴． ∵， ∴． 21. 如图，一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）求出当一次函数的函数值大于正比例函数的函数值时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入，可求得n值；把点代入，求的值即可； （2）根据函数的性质，求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点， ， ， ， 解得． 【小问2详解】 解：一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且一次函数的函数值大于正比例函数的函数值， ． 22. 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当________时，四边形是菱形，请证明； （3）若，则当________时，四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）90，见解析 （3）100 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，再根据平行四边形的判定即可证明； （2）根据菱形的判定即可证明； （3）根据平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的判定得到，再根据矩形的判定即可证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是菱形，证明如下： ∵， ∴， 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 23. 某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如图所示： 购进数量/件 购进所需费用/元 A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 （1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】（1）A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元 （2）购进商品件，B商品件时，获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A商品a件，B商品件，利润为m元，根据题意列出不等式组，解之即可得出a的取值范围，根据总利润=单件利润×购进数量，可得出m和a的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元 根据题意得： 解得： 答：A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元． 【小问2详解】 解：设A商品a件，B商品件，利润为m元． 根据题意得： 解得： ∵ ∴m随a的增大而减小 ∴时，m的最大值为12000元． ∴（件） 答：购进商品件，B商品件时，获利最大，最大利润为元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒． （1）用的代数式表示：________，________； （2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； （3）当恰好是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为或 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可求出，，可得出的长度表达式，随后进行分类讨论：当在点右侧时、当与点重合时和当在点左侧时，分别求出的长即可； （2）分类讨论：①当在点右侧时和②当在点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于的等式，解出即可； （3）先将点、、分别用坐标表示，即可得出、、的代数式，再进行分类讨论：①当时、②当时，③当时，列出关于的方程，对方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， 故时，点、停止运动， ， 当点在点右侧时： 此时，， 当点与点重合时： 此时，， 当点在点左侧时： 此时，， 综上，故；． 【小问2详解】 解：∵， 若以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 需满足， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得； 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 同理点，点， ∴，，，且， 当时，即， 化简得， ∵， ∴方程无解，该情况不成立； 当时，即， 解得； 当时，即， 化简得， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）； 综上，的值为或． 【点睛】本题包含坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识点，合理利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九上开学数学试卷（问卷） 说明：1．考试时间90分钟，满分120分；2．试卷共6页；3．先查阅试卷，有问题举手与监考老师说明 一、选择题：（共10题，每题3分，共30分，把唯一答案填写在括号里） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平分，于点，若，则到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 4. 下列条件不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，五角星旋转一定的度数，就能与它原来的图形重合，则这个旋转的角度最小是（ ） A. B. C. D. 6. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线互相垂直 C. 有四条对称轴 D. 四条边都相等 7. 已知与是同类项，则的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 电脑公司销售一批计算机，第一个月以3500元/台的价格售出40台，第二个月起降价，以3000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过30万元，则这批计算机最少有多少台？若设这批计算机有x台，则下列不等式表示正确的是( ) A. 3500×40＋3000(x－40)＞30 B. 3500×40＋3000(x－40)≥30 C. 3500×40＋3000(x－40)＞300000 D. 3500×40＋3000(x－40)≥300000 9. 一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题：（共6题，每题4分，共24分，把答案填写在题中横线上） 11. 当________时，不等式的解集为． 12. 如图，线段和关于点O中心对称，若，则的度数为________． 13. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设_____________． 14. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件_____，则四边形AEDF是矩形；若添加条件_____，则四边形AEDF是菱形；若添加条件_____，则四边形AEDF是正方形． 15. 已知关于的方程有增根，则__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴正半轴上一动点，连接并延长至点D，使，以为边作，连接，则长度的最小值为_____________． 三、解答题（共66分） 17. 解不等式组，并判断是否为该不等式组的解？ 18. 已知分式：及一组数据，0，1．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个合适的数代入并求值． 19. 已知． （1）若将向右平移2个单位得到，则点的对应点的坐标是________． （2）的长等于________． （3）若将绕点按顺时针方向旋转后得到，则点对应点的坐标是________． （4）如果小正方形的边长为1，写出的面积是________． 20. 已知等腰，． （1）过点作的垂线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写做法）； （2）在（1）条件下，若，，求的长． 21. 如图，一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）求出当一次函数的函数值大于正比例函数的函数值时，的取值范围． 22. 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当________时，四边形是菱形，请证明； （3）若，则当________时，四边形是矩形． 23. 某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如图所示： 购进数量/件 购进所需费用/元 A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 （1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒． （1）用的代数式表示：________，________； （2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； （3）当恰好是等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $