1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时）（导学案）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究空间直线、平面位置关系，涵盖点的位置向量、直线向量参数方程、平面基底式与法向量式表示及平行关系判定。通过探究1-4的师生讨论与小组合作，从点到直线再到平面逐步构建向量表示，形成层层递进的学习支架，衔接前后知识。 以探究活动驱动学生主动抽象空间向量概念，结合例题及多地期中期末试题强化直观想象与数学运算，思维导图辅助几何图形与向量语言转化，培养逻辑推理与应用意识，有效提升数学抽象、直观想象等核心素养，助力学生掌握空间向量工具。

1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时）（导学案） 1. 理解空间点的位置向量概念，能借助基点写出空间任意点的位置向量； 1. 掌握空间直线的向量参数方程，会求直线的方向向量，理解方向向量的性质； 1. 掌握平面的两种向量表达形式（基底式、法向量式），理解平面法向量定义与核心性质； 1. 掌握待定系数法求解平面法向量的标准步骤； 1. 能利用方向向量、法向量判定线线、线面、面面平行关系，建立“几何图形⇌向量语言”转化思维； 1. 提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养。 重点： 1. 空间点的位置向量定义； 2. 空间直线向量参数方程、直线方向向量的求解与应用； 3. 平面的两种向量表示（平面基底式、法向量式）； 4. 平面法向量的求解方法； 5. 利用向量判定空间平行关系。 难点： 1. 理解法向量垂直平面内所有向量的几何本质； 2. 法向量求解方程组的合理赋值技巧，规避零向量错误； 3. 区分直线方向向量与平面法向量的定义、作用、求解逻辑； 4. 将空间几何图形转化为向量语言的思维转换。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示． 我们把向量 称为点P的位置向量． 知识点二　空间中直线的向量表示 (1)如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ ，即＝ ． (2)如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t， 使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t ．② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)空间任意直线由直线上一点及 量唯一确定． [说明]　与平面向量一样，在空间中，设M是线段AB的中点，则＝(＋)，这就是线段AB中点的向量表达式． 知识点三　空间中平面的向量表示 (1)如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝ ． (2)如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝ ．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． (3)空间中任意平面由 及 唯一确定． (4)如图，直线l⊥α.取直线l的方向向量a，称 为 的法向量．给定一个点A和一个向量a，过点A，且以向量a为 的平面完全确定，可以表示为集合 }． [提醒]　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 知识点四　空间中平行关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔ ⇔ 线面平行 若l1⊄α，则l1∥α⇔ ⇔ 面面平行 α∥β⇔ ⇔ [提醒]　(1)用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合． (2)证明线面平行时，必须说明直线不在平面内． (3)证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 思考：在应用空间向量之前，需要解决一个关键性的问题： 点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素 教师：这是本节课需要探究学习的主要内容 探究1：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：如图1.4-1,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量． 探究2： 空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l ．你能将空间中确定直线 l 的这组条件转化为向量表示吗? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：用向量表示直线,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点． 如图1.4-2,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得,即． 进一步地,如图1.4-3,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使 ① 将代入①式,得．② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 探究3：两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：我们知道,平面可以由内两条相交直线确定．如图1.4-4,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得 ． 这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点．这种表示在解决几何问题时有重要作用． 进一步地,如图1.4-5,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 探究4：给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：我们知道,给定空间一点A和一条直线,则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的．由此得到启发,我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面． 如图1.4-6,直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector）．给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合． 思考：如果另有一条直线,在直线上任取向量,与有什么关系? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设： 例1：如图1.4-7,在长方体中,,,,是的中点．以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面的法向量； （2）求平面的法向量． 1.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·全国·单元测试）已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时）（导学案） 1. 理解空间点的位置向量概念，能借助基点写出空间任意点的位置向量； 1. 掌握空间直线的向量参数方程，会求直线的方向向量，理解方向向量的性质； 1. 掌握平面的两种向量表达形式（基底式、法向量式），理解平面法向量定义与核心性质； 1. 掌握待定系数法求解平面法向量的标准步骤； 1. 能利用方向向量、法向量判定线线、线面、面面平行关系，建立“几何图形⇌向量语言”转化思维； 1. 提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养。 重点： 1. 空间点的位置向量定义； 2. 空间直线向量参数方程、直线方向向量的求解与应用； 3. 平面的两种向量表示（平面基底式、法向量式）； 4. 平面法向量的求解方法； 5. 利用向量判定空间平行关系。 难点： 1. 理解法向量垂直平面内所有向量的几何本质； 2. 法向量求解方程组的合理赋值技巧，规避零向量错误； 3. 区分直线方向向量与平面法向量的定义、作用、求解逻辑； 4. 将空间几何图形转化为向量语言的思维转换。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 知识点二　空间中直线的向量表示 (1)如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t．② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． [说明]　与平面向量一样，在空间中，设M是线段AB的中点，则＝(＋)，这就是线段AB中点的向量表达式． 知识点三　空间中平面的向量表示 (1)如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． (2)如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． (3)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． (4)如图，直线l⊥α.取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． [提醒]　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 知识点四　空间中平行关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面平行 若l1⊄α，则l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 [提醒]　(1)用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合． (2)证明线面平行时，必须说明直线不在平面内． (3)证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 思考：在应用空间向量之前，需要解决一个关键性的问题： 点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素 教师：这是本节课需要探究学习的主要内容 探究1：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：如图1.4-1,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量． 探究2： 空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l ．你能将空间中确定直线 l 的这组条件转化为向量表示吗? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：用向量表示直线,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点． 如图1.4-2,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得,即． 进一步地,如图1.4-3,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使 ① 将代入①式,得．② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 探究3：两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：我们知道,平面可以由内两条相交直线确定．如图1.4-4,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得 ． 这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点．这种表示在解决几何问题时有重要作用． 进一步地,如图1.4-5,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 探究4：给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：我们知道,给定空间一点A和一条直线,则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的．由此得到启发,我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面． 如图1.4-6,直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector）．给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合． 思考：如果另有一条直线,在直线上任取向量,与有什么关系? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设： 设计意图：通过问题引导学生将视野拓展到空间，得出空间中平面的多种向量表示方法，在获得新的表示方法的过程中，建立相关知识的联系，为后续用向量方法解决立体几何问题打下基础. 例1：如图1.4-7,在长方体中,,,,是的中点．以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面的法向量； （2）求平面的法向量． 解析：（1）因为轴垂直于平面,所以是平面的一个法向量． 教师：线面垂直法——找（证）线面垂直的直线 （2）因为,,,是的中点,所以,,的坐标分别为,,．因此,． ① 建系求点、求平面内两个向量坐标 设是平面的法向量, ② 设法向量坐标 则,． 所以，所以 ③ 列方程组 取,则,． ④ 赋非零值 于是是平面的一个法向量 ⑤ 下结论 待定系数法 牛刀小试： 练4：（多选）如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是__________ 解析：法一：易知，平面，所以可以作为平面的一个法向量. 又，所以，即是平面的一个法向量 答案不唯一，与（1,1,1）共线的向量均可以 法二：，，，，， 设是平面的一个法向量，则，， 所以， 令，得，， 即是平面的一个法向量 方法总结：（1）求平面法向量的方法与步骤 (1)建系求点坐标、平面内的两条相交直线的方向向量坐标，如； (2)设平面的法向量为； (3)列方程组； (4)赋非零值，设定一个坐标为常数(常数不能为0) (5)下结论：得到平面的一个法向量. （2）求平面法向量的常见类型 (1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量; (2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量; (3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量. 1.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标运算、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据法向量的概念进行验证即可. 【详解】因为为平面的法向量，所以且. 因为：； ； . 所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 2.（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示、求直线的方向向量（空间中）、用空间基底表示向量 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 3.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标运算、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据法向量的概念进行验证即可. 【详解】因为为平面的法向量，所以且. 因为：； ； . 所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 4.（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 5.（24-25高二上·全国·单元测试）已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面的法向量 【分析】由已知可得，可求得，进而利用线面垂直可求得，的值. 【详解】因为，，， 所以，解得，所以. 因为，且平面， 所以， 解得，， 所以. 故选：D. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $