1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时）（教学设计） 数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“空间中点、直线和平面的向量表示”核心内容，通过商场立体电梯定位、家装吊顶安装等生活情境导入，承接空间直角坐标系与向量坐标运算知识，搭建从平面到空间的向量表达学习支架。 资料以“几何问题向量化”为主线，采用探究式教学引导学生自主推导直线参数方程、平面法向量求解流程，结合三维动画演示法向量垂直关系、标准化五步解题模板突破难点，培养直观想象与逻辑推理素养，助力学生建立空间观念，为教师提供分层教学资源与清晰教学路径。

1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 教学设计 教学内容 本节课承接1.3.1空间直角坐标系、空间向量坐标运算，核心内容分为四大模块： 1. 空间点的位置向量：以任意基点，用唯一表示空间任意点，建立点与向量一一对应关系； 1. 空间直线的向量表示：定点+直线方向向量，推导直线向量参数方程，掌握两点求方向向量的坐标方法； 1. 空间平面两种向量表达：①定点+平面内两个不共线向量（依托平面向量基本定理）；②定点+平面法向量（核心重难点）； 1. 平面法向量定义、几何性质、待定系数求解流程；建立方向向量、法向量与线面平行、垂直的内在关联，为后续空间位置关系证明、空间角与距离求解提供通用代数工具。 内容解析 本节是空间向量应用体系的开篇课时，承接1.1空间向量及其运算、1.2空间向量基本定理、1.3空间向量坐标运算，开启用向量方法系统解决立体几何问题的全新篇章，是"向量工具论"的集中体现。 （1）知识关联：学生已掌握空间向量基本定理（三维分解）、空间直角坐标系（坐标表示）、向量坐标运算（加减、数乘、数量积），能进行向量的代数计算；本节课将这些运算能力"翻译"为对空间基本图形（点、线、面）的向量描述——方向向量是直线延伸趋势的代数化、法向量是平面垂直方向的代数化——从而把立体几何的定性分析转化为向量的定量运算。 （2）学习意义：本节课是"几何问题向量化"的起点。学生首次系统学习如何将空间中点、直线、平面这些基本图形用向量语言表达，建立起"几何图形⇄向量表示"的双向转化能力。方向向量和法向量的概念是后续证明平行（方向向量共线、法向量共线）、垂直（方向向量与法向量共线、两法向量垂直）的理论基础；法向量的求解方法（待定系数法）是解决线面角、二面角、点到平面距离等问题的核心工具。本课时承载数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算四大核心素养。 教学目标 1. 课堂随机提问能准确说出位置向量定义，给定原点与点坐标，直接写出。 2. 独立推导直线参数式，已知直线两点坐标，快速算出方向向量，清楚方向向量有无穷多且全部共线。 3. 能完整口述平面两种向量表示；独立完成法向量求解五步：找点→求平面两向量→设法向量→列数量积为0方程组→赋值求解。 4. 长方体、正方体模型中，无计算错误求出方向向量、平面法向量；利用法向量点积为0判断平面内点。 5. 自主绘制方向向量、法向量对比表格，清晰说明二者几何作用、求解差异。 6. 能口述立体几何向量化完整思路，明白向量是统一解决平行、垂直、夹角的通用工具。 目标解析 1. 课堂随机提问能准确说出位置向量定义，给定原点与点坐标，直接写出。 2. 独立推导直线参数式，已知直线两点坐标，快速算出方向向量，清楚方向向量有无穷多且全部共线。 3. 能完整口述平面两种向量表示；独立完成法向量求解五步：找点→求平面两向量→设法向量→列数量积为0方程组→赋值求解。 4. 长方体、正方体模型中，无计算错误求出方向向量、平面法向量；利用法向量点积为0判断平面内点。 5. 自主绘制方向向量、法向量对比表格，清晰说明二者几何作用、求解差异。 6. 能口述立体几何向量化完整思路，明白向量是统一解决平行、垂直、夹角的通用工具。 达成上述目标的标志是： 1. 位置向量、直线参数式基础填空正确率≥95%； 1. 两点求方向向量无坐标颠倒、符号错误； 1. 法向量求解方程组列式规范，赋值步骤完整； 1. 几何体基础题型运算失误极少； 1. 能独立区分方向向量与法向量核心差异； 1. 完整说出空间图形转化为向量的思考步骤。 前置基础 学生已熟练掌握空间直角坐标系中点、向量坐标写法；掌握向量加减、数量积坐标公式；会用坐标判定向量平行、垂直；熟悉正方体、长方体等正交立体图形，具备基础空间识图能力。 学生优势 1. 坐标运算基础扎实，法向量求解仅需联立简单方程组，计算门槛低； 1. 长方体模型三轴正交，直线、平面向量直观，便于观察方向向量与垂直法向量； 1. 平面直线参数方程有初中解析几何铺垫，可类比迁移空间直线表达式。 学生不足 1. 空间抽象能力薄弱，难以理解法向量垂直平面内所有直线的几何本质； 1. 容易混淆直线方向向量、平面法向量的作用与求解步骤； 1. 求解法向量时，解方程组不会合理赋值，出现零向量错误； 1. 书写直线参数方程时常遗漏参数，向量等式逻辑不严谨； 1. 分不清平面基底式、法向量式两种表达的适用场景。 教学重点：空间点的位置向量；直线参数方程与方向向量；平面两种向量表示；平面法向量求解方法。 教学难点：法向量垂直平面内所有向量的几何理解；法向量方程组求解赋值技巧；区分方向向量、法向量；空间图形转化为向量语言的思维转换。 难点解决策略 1. 三维几何动画演示：平面旋转、法向量始终垂直平面内任意线段，直观展示垂直关系； 1. 对比表格专项区分方向向量、法向量定义、求法、用途； 1. 标准化法向量五步解题模板，板书固定流程，配套分步练习； 1. 分层例题：正方体简单平面→普通三棱锥平面，循序渐进训练； 1. 课堂填空默写直线、平面向量表达式，规范书写格式。 知识点一　空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 知识点二　空间中直线的向量表示 (1)如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t．② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． [说明]　与平面向量一样，在空间中，设M是线段AB的中点，则＝(＋)，这就是线段AB中点的向量表达式． 知识点三　空间中平面的向量表示 (1)如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． (2)如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． (3)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． (4)如图，直线l⊥α.取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． [提醒]　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 知识点四　空间中平行关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面平行 若l1⊄α，则l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 [提醒]　(1)用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合． (2)证明线面平行时，必须说明直线不在平面内． (3)证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 课堂导入1：商场立体电梯空间定位情境 引入情境 大型综合商场分为地下车库、1-5层购物区、6-8层影院餐饮区，每层为独立平面。顾客从负一楼车库入口想去7楼影院，传统平面地图只能标注平面左右方位，无法精准定位；商场智能电梯搭载三维定位系统，输入起点、终点坐标就能沿空间直线直达目标楼层。 提问1：只告诉电梯系统“向上移动24米”，电梯能准确停到7楼影院门口吗？为什么？ （引导学生思考：三维空间里仅给出距离，存在无数个空间点位，缺少空间基准点与方向，无法唯一锁定目标点） 提问2：完整指令“以车库入口O为起点，沿空间直线向上偏北24米抵达7楼影院P点”，系统就能精准停靠。这里基点O、线段OP分别对应空间几何里的什么要素？ 追问：生活里还有哪些需要基点+空间向量描述位置的场景？快递无人机送货、塔吊吊运建材、卫星定位；如果去掉基点，只用长度和方向，还能唯一确定空间中的点吗？顺势引出本节课核心：用位置向量刻画空间任意一点。 课堂导入2：家装吊顶平面安装情境 引入情境 装修师傅安装客厅吊顶平面，有两种施工方案：方案一，先固定吊顶一角A，再拉出两条不同走向的龙骨确定整片吊顶平面；方案二，垂直吊顶钉一根固定立杆，立杆垂直吊顶所有龙骨，只要固定角点与立杆朝向，吊顶平面位置就完全固定。 提问1：只用吊顶上单个角点A，能确定整片吊顶平面吗？再增加一根龙骨直线，能唯一确定平面吗？为什么？ （引导学生思考：单个点无法确定平面，一个定点搭配两条不共线直线，才能锁定平面，对应平面内两个不共线向量表示平面） 提问2：师傅垂直吊顶的立杆，和吊顶内部所有龙骨、板材边线是什么位置关系？更换一根同朝向、同垂直的立杆，吊顶平面会不会发生改变？ 追问：装修立杆这种垂直平面所有线条的向量，对应本节课什么概念？一条直线靠方向向量确定，一块平面靠法向量确定，二者作用有什么区别？顺势引出本节课直线方向向量、平面两种向量表达、法向量核心知识点。 思考：在应用空间向量之前，需要解决一个关键性的问题： 点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素 教师：这是本节课需要探究学习的主要内容 探究1：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：如图1.4-1,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量． 探究2： 空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l ．你能将空间中确定直线 l 的这组条件转化为向量表示吗? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：用向量表示直线,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点． 如图1.4-2,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得,即． 进一步地,如图1.4-3,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使 ① 将代入①式,得．② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 探究3：两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：我们知道,平面可以由内两条相交直线确定．如图1.4-4,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得 ． 这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点．这种表示在解决几何问题时有重要作用． 进一步地,如图1.4-5,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 探究4：给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：我们知道,给定空间一点A和一条直线,则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的．由此得到启发,我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面． 如图1.4-6,直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector）．给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合． 思考：如果另有一条直线,在直线上任取向量,与有什么关系? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设： 设计意图：通过问题引导学生将视野拓展到空间，得出空间中平面的多种向量表示方法，在获得新的表示方法的过程中，建立相关知识的联系，为后续用向量方法解决立体几何问题打下基础. 例1：如图1.4-7,在长方体中,,,,是的中点．以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面的法向量； （2）求平面的法向量． 解析：（1）因为轴垂直于平面,所以是平面的一个法向量． 教师：线面垂直法——找（证）线面垂直的直线 （2）因为,,,是的中点,所以,,的坐标分别为,,．因此,． ① 建系求点、求平面内两个向量坐标 设是平面的法向量, ② 设法向量坐标 则,． 所以，所以 ③ 列方程组 取,则,． ④ 赋非零值 于是是平面的一个法向量 ⑤ 下结论 待定系数法 题型一：求直线方向向量、利用直线的方向向量求参 例1.已知，若直线的一个方向向量为，则___. 解析： 根据题意，,，若直线的一个方向向量为， 则设，即， 则，解得. 故答案为：． 例2.已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（    ） A．或1 B． C． D．1 解析： 因为向量都是直线l的方向向量； 所以向量共线， 则，解得. 故选：B 例3. 解析： 题型二：求平面法向量、利用法向量求参 例1.已知，则平面ABC的一个法向量可以为（    ） A． B． C． D． 解析：由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 所以， 所以， 取，则，即. 于是是平面ABC的一个法向量，故选A 解析： 例3. 已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（     ） A． B． C． D． 解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 1.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知两条不重合的直线、，两个互不重合的平面、，给出下列命题： ①若，，且，则； ②若，，且，则； ③若，，，则； ④若，，且，则． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】面面关系有关命题的判断、平面法向量的概念及辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】①由,的法向量垂直，则可以得出，②若，也满足条件，③由条件也可能．④由条件也可能,相交． 【详解】①由于，，且，可知,的法向量垂直，则可以得出，因此①正确． ②若，且，则可满足，，故满足已知条件的,不一定平行，因此②不正确． ③若，又，，于是，也满足条件，故③不正确． ④若，又，，则可能有，故④不正确．综上可知只有①正确． 故选：B． 2.（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示、求直线的方向向量（空间中）、用空间基底表示向量 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 3.（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量 【分析】由法向量定义求出一个法向量，与它平行的向量即可． 【详解】设法向量为， 由已知， 则，取，则， 只有B选项中向量与平行，可表示为， 故选：B． 4.（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量平行的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据可得，再根据空间向量的平行公式求解即可. 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 5.（24-25高二上·新疆巴州·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 6.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标运算、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据法向量的概念进行验证即可. 【详解】因为为平面的法向量，所以且. 因为：； ； . 所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 7.（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 8.（24-25高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量 【分析】由平面法向量与平面内向量垂直，即且，设，求得关系后判断. 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 9.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 10.（24-25高二上·海南·期中）已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据求参数的值. 【详解】由. 故选：B 1.（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 2.（2025·山东泰安·一模）已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、直线方向向量的概念及辨析（空间中）、线面关系有关命题的判断 【分析】由线面垂直的判定定理，及充分必要性的定义判断. 【详解】由线面垂直的判定定理可得，直线要垂直于平面内相交的两条直线才能得到， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3.（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 4.（24-25高二上·全国·单元测试）已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面的法向量 【分析】由已知可得，可求得，进而利用线面垂直可求得，的值. 【详解】因为，，， 所以，解得，所以. 因为，且平面， 所以， 解得，， 所以. 故选：D. 1.知识框架梳理 1. 点：位置向量； 1. 直线：参数式，方向向量（两点相减）； 1. 平面两种表达： · ① 基底式：定点+两不共线向量； · ② 法向量式：； 1. 法向量标准求解五步流程； 1. 方向向量、法向量区别与用途。 2.数学思想 数形转化（立体图形→向量代数）、类比迁移（平面解析几何→空间向量）。 3.高频易错题总结 1. 求向量时起点终点颠倒，坐标符号错误； 1. 法向量求解赋值取0，得到零向量无效； 1. 混淆方向向量、法向量几何功能； 1. 直线参数方程漏写参数； 1. 误以为一个平面仅有一个法向量。 作业布置 1. 基础巩固作业：教材29页练习1，41页习题1、2；完成方向向量、法向量基础计算； 1. 拓展提升作业：自主绘制方向向量与法向量对比表格；三棱锥三点求平面法向量1道综合题； 1. 预习作业：预习1.4.1第2课时，思考如何用方向向量、法向量证明线面平行、垂直。 1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示 1. 空间中点的向量表示： 2. 空间中直线的向量表示： 3. 空间中平面的向量表示： 4. 平面法向量的求法： 5. 例题区：（学生板演区域） 本节课以传统立体几何辅助线难点为切入点，借助平面解析几何类比引入点、线、面向量化，结合长方体直观模型、方程组标准化五步流程降低法向量学习难度，小组合作求解法向量环节学生参与度较高，多数学生掌握基础计算。 现存课堂问题 1. 部分学生空间垂直直观不足，难以理解法向量垂直平面全部线段； 1. 求解法向量方程组时不会合理赋值，容易取0得到无效零向量； 1. 容易混淆方向向量、法向量适用场景，解题不会按需选取； 1. 书写直线参数方程格式不规范，经常遗漏参数； 1. 不规则三棱锥自主提取平面两向量速度慢，建模能力弱。 后续教学改进措施 1. 课前三分钟三维动画演示法向量与平面垂直关系，强化空间直观； 1. 增设法向量赋值专项小题，明确赋值不能为0； 1. 课前默写方向向量、法向量对比表格，强化概念区分； 1. 规范直线参数方程书写模板，课堂统一格式要求； 1. 下节课课前复习方向向量、法向量求法，为线面平行垂直证明铺垫工具。 知识思维导图（课堂总结配套） 知识清单 1. 空间点：基点+位置向量，坐标一一对应 1. 空间直线：定点+方向向量，参数方程；两点求方向向量 1. 平面两种表示：双共面向量式、法向量垂直式 1. 核心概念：方向向量、平面法向量定义与几何性质 1. 常用方法：待定系数法求平面法向量 方法归纳 1. 几何转向量流程：建系→标坐标→求向量→列向量等式 1. 法向量求解三步法：列垂直方程组→赋值变量→求解坐标 1. 类比思路：平面直线向量表示→空间直线；平面基底→空间平面双基底 易错误区 1. 方向向量、法向量概念混淆，求解方法混用 1. 求法向量方程组书写遗漏、赋值不合理，计算复杂 1. 误认为平面法向量唯一，纠结符号、倍数 1. 无法将立体几何垂直、平行条件转化为向量点积、共线等式 学科网（北京）股份有限公司 $