1.4.2.1 用空间向量研究距离、夹角问题 学历案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学学历案聚焦用空间向量研究距离问题，核心任务包括点到直线、点到平面、平行直线及平行平面的距离求解，通过复习回顾、问题链探究、典例解析等支架引导学生构建向量方法解决几何问题的思路。 资料以问题驱动学习，通过类比转化（如平行直线距离转化为点到直线距离）培养数学思维，结合正方体模型典例与分层练习，让学生在自主探究与教师引导中提升用向量语言表达几何关系的能力，体现数学眼光与应用意识。

枣庄三中新城校区高二年级上学期数学学历案（第12期） 主备人：朱桂艳 审查人：薛婷 使用日期： 2024年9月 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（1） ——距离问题 自主学习【学】 【学习目标】 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系. 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 3.能用向量方法求解立体几何中的距离综合性较强的问题. 【复习回顾】 1. 向量的数量积 . 2. 投影向量 . 3.空间两点之间的距离 . 【自学评价】 空间距离 问题1 立体几何中的距离问题包括哪些？ 任务一 点到直线的距离 下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离. 问题2 已知直线的单位方向向量为是直线上的定点,是直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离? 如图1.4-16,向量在直线上的投影向量为,则是直角三角形.因为都是定点,所以与的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离. 设,则向量在直线上的投影向量 . 图1.4-16 在Rt中,由勾股定理,得点到直线的距离= 问题3 若直线l的方向向量为 b, 怎么表示出点到直线的距离. 注意： （1）不必找点在直线上的垂足以及垂线段； （2）直线l上的点可任意选取，一般选取易求得坐标的特殊点； （3）直线l的方向向量可任意选取. 问题4 如何求两条平行直线之间的距离? 类比点到直线的距离的求法，两条平行直线之间的距离可转化为 . 任务二 点到平面的距离 立体几何中点到平面距离的求法：1. 直接法2. 等体积法3. 向量法. 问题5如图，已知平面α外一点P，如何用空间向量求点P到平面α的距离？ 如图1.4-17,已知平面的法向量为是平面内的定点,是平面外一点.过点作平面的垂线,交平面于点,则是直线的方向向量,且点到平面的距离就是 . 点到平面的距离= . 师生研学【研】 问题6 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ 直线到平面的距离 两个平行平面之间的距离 典例解析 例6 如图1.4-18,在棱长为1的正方体中,为线段的中点,为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到平面的距离. 分析:根据条件建立空间直角坐标系,用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量,再利用有关公式,通过坐标运算得出相应的距离. 反思感悟1：用向量法求平面α一个点P到平面α的距离的步骤： (1) 求出该平面α的一个法向量 (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离 反思感悟2：空间向量解决立体几何问题的“三步曲"': （1）建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题; （化为向量问题） （2）通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题; （进行向量运算） （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. （回到图形问题） 课堂练习： 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1C的距离等于_____；直线DC到平面AB1的距离等于_______ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于_______. 2. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离． 3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离. 训练提升【练】 【巩固训练1】已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E, F分别是AB, AD的中点，求点B到平面GEF的距离. 【巩固训练2】已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E, F分别是AB, AD的中点，求点BD到平面GEF的距离. 【巩固训练3】如图，正方形ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，点M在AC上，点N在BF上，若CM = BN = ，求MN的长. 【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，EF=l，求公垂线AA′的长. 师生总结【结】 2.请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）用向量方法解决空间距离问题的一般步骤是什么? （2）在推导点到直线、点到平面的距离公式的过程中, 最关键的步骤是什么? 12—7 学科网（北京）股份有限公司 $