1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时）（教学课件）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，通过商场立体电梯定位、家装吊顶安装等现实情境导入，引导学生从空间定位问题抽象出数学表示，构建从点的位置向量到直线方向向量、平面基底式与法向量式的知识脉络，形成递进式学习支架。 其亮点在于以情境探究激活数学抽象与直观想象，通过牛刀小试、真题感知等分层题型强化逻辑推理与数学运算，小结系统梳理知识要点。学生能在问题解决中深化空间向量应用能力，教师可借助完整教学资源提升课堂效率与学生核心素养培养效果。

·选择性必修第一册· 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、 平面的位置关系 学习目标 1.理解空间点的位置向量概念，能借助基点写出空间任意点的位置向量； 2.掌握空间直线的向量参数方程，会求直线的方向向量，理解方向向量的性质； 3.掌握平面的两种向量表达形式（基底式、法向量式），理解平面法向量定义与核心性质； 4.掌握待定系数法求解平面法向量的标准步骤； 5.能利用方向向量、法向量判定线线、线面、面面平行关系，建立“几何图形⇌向量语言”转化思维； 6.提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养。 目录 CATALOG 01.空间点的位置向量 03.应用新知 02.平面的两种向量表示 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 01 空间点的位置向量 导入新知1：商场立体电梯空间定位情境 大型综合商场分为地下车库、1-5层购物区、6-8层影院餐饮区，每层为独立平面。顾客从负一楼车库入口想去7楼影院，传统平面地图只能标注平面左右方位，无法精准定位；商场智能电梯搭载三维定位系统，输入起点、终点坐标就能沿空间直线直达目标楼层。 提问1：只告诉电梯系统“向上移动24米”，电梯能准确停到7楼影院门口吗？为什么？ 提问2：完整指令“以车库入口O为起点，沿空间直线向上偏北24米抵达7楼影院P点”，系统就能精准停靠。这里基点O、线段OP分别对应空间几何里的什么要素？ 追问：生活里还有哪些需要基点+空间向量描述位置的场景？快递无人机送货、塔吊吊运建材、卫星定位；如果去掉基点，只用长度和方向，还能唯一确定空间中的点吗？顺势引出本节课核心：用位置向量刻画空间任意一点。 导入新知2：家装吊顶平面安装情境 装修师傅安装客厅吊顶平面，有两种施工方案：方案一，先固定吊顶一角A，再拉出两条不同走向的龙骨确定整片吊顶平面；方案二，垂直吊顶钉一根固定立杆，立杆垂直吊顶所有龙骨，只要固定角点与立杆朝向，吊顶平面位置就完全固定。 提问1：只用吊顶上单个角点A，能确定整片吊顶平面吗？再增加一根龙骨直线，能唯一确定平面吗？为什么？ 提问2：师傅垂直吊顶的立杆，和吊顶内部所有龙骨、板材边线是什么位置关系？更换一根同朝向、同垂直的立杆，吊顶平面会不会发生改变？ 追问：装修立杆这种垂直平面所有线条的向量，对应本节课什么概念？一条直线靠方向向量确定，一块平面靠法向量确定，二者作用有什么区别？顺势引出本节课直线方向向量、平面两种向量表达、法向量核心知识点。 引入新知 在应用空间向量之前，需要解决一个关键性的问题： 这是本节课需要探究学习的主要内容 思考 空间向量 如何表示？ 如何表示？ 如何表示？ 点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素 立体几何 点 线 面 新课探究 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ O P 图1.4-1 探究1 新课探究 空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l ． 你能将空间中确定直线 l 的这组条件转化为向量表示吗? A P l 用向量表示直线 l ,就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意一点 P． 探究2 新课探究 图1.4-2 新课探究 图1.4-3 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量 唯一确定． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 面面关系有关命题的判断、平面法向量的概念及辨析、 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 面面关系有关命题的判断、平面法向量的概念及辨析、 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求直线的方向向量（空间中）、用空间基底表示向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求平面的法向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量平行的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 02 平面的两种 向量表示 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 新课探究 两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 图1.4-4 探究3 新课探究 图1.4-5 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面法向量的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量的坐标运算、平面法向量的概念及辨析 新课探究 给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？ 我们知道，给定空间一点 A 和一条直线 l ，则过点 A 且垂直于直线 l 的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们可以利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面． 探究4 新课探究 图1.4-6 新课探究 思 考 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求平面的法向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求平面的法向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求平面的法向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面法向量的概念及辨析 总结新知 空间中点线面的向量表示小结 1. 空间一点P： 2. 直线上一点：P为直线BC1 3. 平面内一点：P为平面BCC1B1上一点 l A P 4. 直线的方向向量：在直线l上取( t 也是直线l的方向向量) 5. 平面的法向量：若l⊥α，则l的方向向量称为平面的法向量。 (t 也是平面的法向量；法向量常用，，等表示) 03 应用新知 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 应用新知 解析 图1.4-7 例1 线面垂直法 找（证）线面垂直的直线 应用新知 图1.4-7 解析 例1 待定系数法 建系求点、求平面内两个向量坐标 应用新知 解析 图1.4-7 例1 设法向量坐标 列方程组 赋非零值 下结论 应用新知 方法规律 应用新知 方法规律 求平面法向量的常见类型 (1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量; (2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量; (3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量. 04 题型强化训练 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 重要题型专练 例1 题型一 求直线方向向量、利用直线的方向向量求参 解析 牛刀小试 解析 题型一 求直线方向向量、利用直线的方向向量求参 例2 重要题型专练 例3 题型一 求直线方向向量、利用直线的方向向量求参 A B C D D1 A1 B1 C1 O 解析 重要题型专练 解析 题型二 求平面法向量、利用法向量求参 例1 应用新知 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解析 例2 题型二 求平面法向量、利用法向量求参 应用新知 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解析 例2 应用新知 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解析 例2 重要题型专练 解析 题型二 求平面法向量、利用法向量求参 例3 05 真题感知 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 课堂小结 作业 教科书第29页练习第1题 ； 教科书第41页习题第1、2题.  1.4.1 用空间向量 研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 作业答案（教科书第29页练习第1题） 解析 √ × √ 作业答案（教科书第41页习题1.4第1题） 解析 作业答案（教科书第41页习题1.4第1题） 解析 作业答案（教科书第41页习题1.4第2题） 解析 作业答案（教科书第41页习题1.4第2题） 解析 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知两条不重合的直线 、 ，两个互不重合的平面 、 ，给出下列命题： ①若 ， ，且 ，则 ； ②若 ， ，且 ，则 ； ③若 ， ， ，则 ； ④若 ， ，且 ，则 ． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】①由于，，且，可知,的法向量垂直，则可以得出，因此①正确． ②若，且，则可满足，，故满足已知条件的,不一定平行，因此②不正确． ③若，又，，于是，也满足条件，故③不正确． ④若，又，，则可能有，故④不正确．综上可知只有①正确． 故选：B． 2.（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥 中， 是 的中点，点 在 上，且 ．设 ， ， ，则直线 的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 3.（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）在空间直角坐标系 中，已知点 ，则下列向量坐标可以作为平面 的一个法向量的是（   ） A． B． C． D． 【详解】设法向量为，由已知， 则，取，则， 只有B选项中向量与平行，可表示为， 故选：B． 4.（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则 （   ） A． B．1 C． D． 【详解】由可得，故， 故，，故. 故选：A 5.（24-25高二上·新疆巴州·期末）已知平面 经过点 ，且它的法向量 ， 是平面 内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 6.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知平面 内有两个向量 ， ，设平面 的法向量为 ，则 可以为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为为平面的法向量，所以且. 因为：；；. 所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 7.（25-26高二上·广东·期末）点 ，平面 的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【详解】设平面的一个法向量，， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 8.（24-25高二上·辽宁·阶段检测）若 为平面 内相异三点，且 ，则平面 的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设，则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 9.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点 ，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，，设平面ABC的法向量为，则，令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 10.（24-25高二上·海南·期中）已知平面 以 为法向量，且经过坐标原点 和点 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：B 1.求平面法向量的方法与步骤 (1)建系求点坐标、平面内的两条相交直线的方向向量坐标，如； (2)设平面的法向量为； (3)列方程组； (4)赋非零值，设定一个坐标为常数(常数不能为0) (5)下结论：得到平面的一个法向量. 已知，若直线的一个方向向量为，则___. 根据题意，,，若直线的一个方向向量为， 则设，即， 则，解得. 故答案为：． 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（    ） A．或1 B． C． D．1 因为向量都是直线l的方向向量； 所以向量共线， 则，解得. 故选：B 已知，则平面ABC的一个法向量可以为（    ） A． B． C． D． 由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 所以， 所以， 取，则，即. 于是是平面ABC的一个法向量，故选A 已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（     ） A． B． C． D． 因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 1.（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 2.（2025·山东泰安·一模）已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 由线面垂直的判定定理可得，直线要垂直于平面内相交的两条直线才能得到， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3.（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 对于A， ，则 ，则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ，则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ，则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ，则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 4.（24-25高二上·全国·单元测试）已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 因为，，，所以，解得，所以. 因为，且平面，所以， 解得，，所以.故选：D. 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×” （1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（ ） （2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；（ ） （3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．（ ） （1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确； （3） 在空间直角坐标系中，，平面Oxy，所以是坐标 平面Oxy的一个法向量，正确． （2）当时，，所以不一定是直线l的方向向量，不正确； 1. 如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且． 设，，，求直线AE，BF的方向向量． 在△中，，，则， 在△中，，，则， ∵在△中，E是CD的中点， ∴，而，即， 1. 如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且． 设，，，求直线AE，BF的方向向量． 【答案】直线AE的方向向量，直线BF的方向向量. ∴在△中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、 2. 如图，在直三棱柱中，，，． 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量；（2）求平面的一个法向量． 易知，，，. (1)，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为； 2. 如图，在直三棱柱中，，，． 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量；（2）求平面的一个法向量． (2) ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则， 所以平面的一个法向量为 $