用空间向量研究距离、夹角问题、距离问题课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量法解决距离问题，涵盖点到直线、点到平面、平行直线及平行平面间距离。通过承接上节课位置关系，提出距离问题，以投影向量和直角三角形推导公式，再类比迁移构建知识支架。 其亮点在于注重公式推导过程培养数学思维，结合正方体例题发展几何直观（数学眼光），步骤化总结规范表达（数学语言）。通过探究式教学引导推导，例题示范坐标运算，检测题巩固应用，助力学生掌握方法培养逻辑，方便教师系统教学提升效率。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 课时1.距离问题 第 一章空间向量与立体几何 人教A版 (2019) 选择性必修第一册 1.能推导出点到直线、点到平面距离的公式； 2.掌握空间向量法解决点到直线、点到平面、 平行直线、平行平面间的距离问题. 学习目标 上节课我们已经学会了用空间向量解决直线、平面的位置关系， 那么立体几何中还有一些距离、夹角问题，能否用向量方法解决呢? 这节课我们先研究用向量的方法求距离问题.首先我们先学习求 直线l 外一点P 到直线l 的距离. 新课导入 探索新知 如图，向量AP 在直线1上的投影向量为AQ, 则 △APQ是直角三 角形.因为A,P 都是定点，所以AP|,AP 与 u 的夹角∠PAQ都是确 定的.于是可求AQ. 再利用勾股定理，可以求出点P 到直线l 的距离 u PQ. A P Q 设AP=a, 则向量AP在直线1上的投影向量AQ=(a·u)u . 在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ=√ 1APP-IAQP²= √a²-(a·u² 点到直线的距离 u A P Q 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离? 两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直 线上的任意一点到另一条直线的距离.所以两条平 行线之间的距离可以用点到直线的距离公式解决. P l₁ I₂ u a A 探究 如图，已知平面α的法向量为n,A 是平面α内的定点，P 是平面α外 一点.过点P 作平面α的垂线1,交平面α于点Q, 则n 是直线l 的方向向 上的投影向量QP的长度.因 P n 量，且点P 到平面α的距离就是AP在直线I 点到平面的距离 此PQ= AP。 a Q A 类似地，请同学们研究如何求两个平行平面的距离及线面距离. 如果两个平面α,β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P, 可将 两个平行平面的距离转化为点P 到平面的距离求解 . 同理，如果一条直线1与一个平面α平行，可在直线1上任取一点P, 将线面距离转化为点到平面的距离求解 . 探究 例 6 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B₁C₁D₁中 ，E 为线段A₁ B的中点， F 为线段AB的中点. (1)求点B 到直线AC的距离； (2)求直线FC 到平面AEC₁ 的距离 . 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向 量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离. 例题 x 解析：以D₁为原点，D₁A₁,D₁C₁,D₁D 所在直线分别 为x 轴、y 轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,1),B(1 ,1,1),C(0,1,1), C₁(0,1,0), Z D A Aik x C B C1 B₁ AC₁=(-1,1,-1), , 所 以AB=(0,1,0), 例题 F E 所以，点B 到直线AC的距离为 (2 )因为 ,所以FCIIEC₁ ,所以FC// 平面AEC₁ . 所以点F 到平面AEC的距离即为直线FC 到平面AEC₁的距离. ( 1 ) 取a=AB=(0,1,0), 例题 所以 取z=1, 则x=1,y=2. 的一个法向量.又因为 所以，n=(1,2,1) 是平面AEC₁ ,所以点F 到平面AEC的距离为 即直线FC 到平面AEC 的距离为 设平面AEC₁的法向量为n=(x ,y,z), 则 例题 用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2) 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们 之间的距离和夹角等问题； (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 线面距、面面距实质上都是求点面距.点面距的求解步骤方法一： 1.求出该平面的一个法向量； 2.找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； 3.求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量 的模，即可求出点到平面的距离. 点面距、线面距、面面距的求解步骤 方法二： 1.求出该平面的单位法向量； 2.找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； 3.求出单位法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值. 点面距、线面距、面面距的求解步骤 当堂检测 1. 已知空间中向量AB=(0,1,0), 向量AC的单位向量为 则点B 到直线AC的距离为( ) A. B. C. D. 当堂检测 答案：B 解析：设向量AC的单位向量为e 则 所以AB · 则点B 到直线AC的距离为 .故选B. 当堂检测 2. 正方体ABCD-AB₁C₁D₁的棱长为√2,则平面AB₁D₁与平面BDC的 距离为( ) A. B. C. D. 当 堂 检 测 答案：C 解析：如图，由正方体的性质易得平面AB₁D₁// 平面BDC₁, 则两平面间的 距离可转化为点B 到平面AB₁ D₁ 的距离.连接A₁C. 显然A₁C⊥平面AB₁D₁.以 D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD₁ 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系，则易得平面AB₁ D的一个法向量为n=(1,-1,1).A( √2,0,0), B(√2,√2,0) ,∴BA=(0,-√2,0) 则两平面间的距离 BD⊥DC,BD=DC=1, 点E 在棱AA 上，且 则点C 到平面EDC 的距离为() A. B. C. D. 当 堂 检 测 3. 如图，在直四棱柱ABCD-A₁ B₁C₁ D₁ 中，底面ABCD为平行四边形， 当堂检测 答案：D 解析：以D 为坐标原点，以DB,DC,DD₁的正方向为x,y,z 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(1,-1,0),C(0,1,0),C₁(0,1,2), ∴DC₁=(0,1,2), ,DC=(0,1,0). 轴正方向， I 令z= 1 , 则 ∴点C 到平面EDC₁的距离 .故选：D 设平面EDC₁的法向量为n=(x, y,z), 则 当堂检测 当堂检测 4. 已知正四棱柱ABCD-A₁ B₁C₁ D₁ 中 ，AB=2,CC₁=2√2, 点E 为CC₁ 的中点，则直线AC₁到平面BED的距离为 . 当堂检测 答案：1 解析：如图，连接AC,BD, 且AC与BD相交于点0,连接OE, 以D 为 原点，建立空间直角坐标系D-xyz, 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), E(0,2,√2), 所以DB=(2,2,0),DE=(0,2,√2),DA=(2,0,0), 易知AC₁//平面BED. 当 堂 检 测 设平面BED的一个法向量是n=(x,y,z), 则 令y=1, 则x=-1,z=-√2, 所以n =(-1,1,-√2). 又因为DA=(2,0,0), 故直线AC₁到平面BED的距离为1. 所以点A 到平面BED的距离为 当堂检测 5. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁ B₁C₁ D₁ 中 ，E,F 分别为线段 AB , B₁C₁的中点. (1)求F 点到A₁C的距离； (2)求点F 到平面A₁CE 的距离. A 解析：(1)以D 为原点，DA所在直线为x 轴 ，DC所在直线为y轴 ，DD₁ 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，已知正方体棱长为2 则A₁ (2,0,2) C(0,2,0),F(1,2,2), 可得AC=(-2,2,-2),CF=(1,0,2), CF·AC=-2+0-4=-6,ICF=√ 1+0+4=√5 ,IAC|=√4+4+4=2√3 当 堂 检 测 答案：(1) √2;(2) 设F 点到A₁C的距离为d, 则 令z=1, 解得y=2,x=1, 所以n=(1,2,1), 又CF=(1,0,2), CF·.n=1+0+2=3,In|=√ 1+4+1=√6, 点F 到平面A₁CE的距离为 当 堂 检 测 (2)设平面A₁CE的法向量为n, E(2,1,0),A₁(2,0,2),C(0,2,0), 则 A₁E=(0,1,-2), AC=(-2,2,-2) .设n=(x,y,z), 课堂总结 1.点到直线的距离 2.点到平面的距离 $