2026年九年级数学秋季开学·学情自测卷（广东深圳专用，新教材北师大版）

**基本信息** 立足八年级下册与九年级上册衔接，以剪纸文化、神舟科技等真实情境为载体，通过基础巩固到创新探究的梯度设计，检测数学眼光、思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称图形、因式分解、一次函数等|第1题剪纸艺术渗透几何直观，第7题建桥问题体现空间观念| |填空题|5/15|正五边形角度、折叠作图、分段函数等|第12题台灯销售问题培养模型意识，第13题折叠综合考查推理能力| |解答题|7/61|不等式组、分式应用、新定义探究等|17题神舟模型结合分式方程与函数，20题“邻等双直四边形”融合几何推理与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学 （考试时间：90分钟试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册内容+九年级上册第1章特殊平行四边形 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（） A． B． C． D． 2．把多项式分解为几个整式的积，其中一个整式是（） A． B． C． D． 3．如图，某电梯额定载重为，假设电梯内人员和货物的总重量为．为了安全运行，必须满足的不等关系是（） A． B． C． D． 4．若分式的值为，则的值为（） A． B． C． D． 5．如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 6．如图是一次函数的图象，下列说法错误的是（） A． B． C．当时， D．当时， 7．如图，直线、表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（） 方案一： ①格点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点，即桥的位置． 方案二： ①连接交于点；②过点作，交于点，即桥的位置． A．方案一、二均可行 B．方案一、二均不可行 C．唯方案一可行 D．唯方案二可行 8．如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．将正确的答案写在答题卡上． 9．若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 10．如图，直线l与正五边形的边，分别交于点， ，若，则的度数为________． 11．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 12．如图，某商店将定价为30元的折叠式LED小台灯，按下列方式优惠销售：若购买不超过5台，按原价付款；若一次性购买5台以上，超过部分打八折．小亮现有246元，想购买该小台灯送给同学，那么他最多可以购买______台． 13．如图，在中，，，是边上的一点且满足，将沿折叠到，延长交于点，若，则的长为　　． 三、解答题：本题共7题，共61分． 14．（6分）解不等式组 求不等式组的解集． 解：解不等式①，得____________， 解不等式②，得____________， 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示 ∴不等式组的解集为_____________． 15．（7分）先化简，再求值：，其中． 16．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在网格上，完成下列任务． （1）将向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，画出； （2）以点为旋转中心，将（1）中按顺时针方向旋转，得到，画出； （3）在（1）（2）的条件下，利用网格点和无刻度的直尺画出线段的中点P． 17．（9分）年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个． (1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)飞箭航模店计划购买两种模型共个，且每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． ①求与的函数关系式(不要求写出的取值范围)； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 18．（9分）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 19．（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ；， 则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；②；③； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； （3）当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 20．（12分）综合与探究 【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，若，，则四边形是“邻等双直四边形”． E （1）用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则这个图形是 （填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“邻等双直四边形”中，，，连接．求证：平分； （3）如图2，已知，，在射线上作出点，使得四边形是“邻等双直四边形”，且对角线是其一内角的角平分线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【联系拓广】 （4）如图3，在中，，，点是内部一点且满足，将线段绕点顺时针旋转得到，连接BD，CD，CE，当四边形AECD为“邻等双直四边形”时，求的值 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9.________________ 10. ________________ 11. ____________ 12. _______________ 13. ________________ 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15. （7分） 16.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.（9分）   请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[A][BI[C1[D] 5 [A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 6 [A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9 10. 11 12. 三、解答题（共61分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(6分) -5-4-3-2-1012345→ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(7分) 16.(6分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. (9分) E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(12分) D D Q D E B (图1) (图2) (图3) (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！: 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 o 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：八年级下册内容+九年级上册第1章特殊平行四边形 O 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1.剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，下列剪纸作品中是中心 : 对称图形的是() 尽 : : 2.把多项式a2-3a分解为几个整式的积，其中一个整式是() O A.a B.a2-3 C.3a D.a 3.如图，某电梯额定载重为800kg,假设电梯内人员和货物的总重量为xkg.为了安全运行，x必须满 足的不等关系是() A.x>800 B.x<800 C.x≥800 D.x≤800 4.若分式4的值为0，则x的值为) : -2 A.x≠2 B.x=-2 C.x=2 D.x=+2 : 5.如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC,CF⊥BE交AD于点F,若∠EBC=25°，则∠DCF的度数 : 为() O A.45° B.55° C.659 D.75° : 载重： 800kg 乘客： 10人 : 电梯股份有限公司 SHENLONG ELEVATOR CD.LTD. 第3题图 第5题图 第6题图 6.如图是一次函数y=kx+b的图象，下列说法错误的是() A.k>0 B.k+b=1 C.当x=0时，y>1D.当y>-1时，x>-3 7.如图，直线1、1，表示一条河的两岸，且乙∥1，·现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到 试题第1页（共6页） .: : ⊙学科网·上好课 村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是() 方案 方案二： M ●B -●B ●B M 1 d d ①格点A向上平移d得到A';②连接AB ①连接AB交I于点M;②过点M作 交于点M;③过点M作MN⊥，交I于 MN⊥I,交l于点N,MN即桥的位 点N,N即桥的位置 置 A.方案一、二均可行 B.方案一、二均不可行 C.唯方案一可行 D.唯方案二可行 8.如图，O是等边△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5.将线段BO以点B为旋转中心按逆时针方 向旋转60°得到线段BO,则∠AOB的度数为() A.120° B.130° C.135° D.150° M B E D D N 第8题图 第10题图 第11题图 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.将正确的答案写在答题卡上 9.若多项式x2+x-8因式分解的结果为(x+4)(x-2),则常数m的值为 10.如图，直线1与正五边形ABCDE的边AB,DE分别交于点M,N,若∠1=60°，则∠2的度数 为 11.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为 圆心，大于二BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,作直线MN交AB于点E,若AB=I0, AC=6,则△ADE的周长为 12.如图，某商店将定价为30元的折叠式LED小台灯，按下列方式优惠销售：若购买不超过5台，按原 价付款；若一次性购买5台以上，超过部分打八折.小亮现有246元，想购买该小台灯送给同学，那么他 最多可以购买台. 1B.如图，在BARCD中，AB=7,BC=10,B是AD边上的一点且满足品，将△4BB沿B弧折叠 到△ABE,延长EA交BC于点F,若∠A=60°，则AF的长为· 试题第2页（共6页） 可学科网·上好课 三、解答题：本题共7题，共61分， 14.(6分)解不等式组 x-4<4x+2① 求不等式组 x+5≥x+3 ② 的解集。 32 解：解不等式①，得 解不等式②，得 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示 -5-4-3-2-1012345→ ∴.不等式组的解集为 15.(7分)先化简，再求值： 43)号共中。53 16.(6分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知△ABC的顶点都在网格上，完 成下列任务 (1)将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△4C,画出△4BC: (2)以点C1为旋转中心，将(1)中△4B,C1按顺时针方向旋转90°，得到△4BC,画出△ABC1: (3)在(1)(2)的条件下，利用网格点和无刻度的直尺画出线段AC的中点P. 17.(9分)2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船成功发射，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成 功.飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型，己知每个“天宫模型的成本比“神舟”模型低20%， 同样花费300元，购进“天宫模型的数量比“神舟模型多5个. (1)“神舟”和“天宫模型的成本各多少元？ (2)飞箭航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为25元，每个“天宫”模型的售价为20 元.设购买“神舟模型个，销售这批模型的利润为W元. ①求W与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）： ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫模型数量的 ·,则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以 获得最大利润？最大利润是多少？ 18.(9分)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF‖DC. (I)求证：四边形AFCD为平行四边形； (2)若∠EFB=90°，BF=3,EF=1,求BC的长， 试题第3页（共6页） 19.(12分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为 “和谐分式”.如： O : +1-1+2=2-1+2:-2a*3_@-2a+2_a-+2-a-1+2 x-1x-1x-1'x-1x-1 a-1 a-1 a-1 a-1 则+1和4-2a+3都是和谐分式. x-1 a-1 (1)下列分式中，属于“和谐分式的是： (填序号)： +1:③1 : 之x十二：2>七+2 2 : : : (2)将“和谐分式。-6r+12化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： : x-3 (3)当x取什么整数时，“和谐分式-6+12 x-3二的值为整数？ 20.(12分)综合与探究 【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形. : 【示例】如图1，在四边形ABCD中，若AB=AD,∠C=∠D=90°，则四边形ABCD是“邻等双直四边 游 形”. 游 .: ·: D S O : E B (图1) (图2) (图3) (备用图) (1)用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”， 则这个图形是」 (填序号)： : ① ② 【问题解决】 (2)如图1，在“邻等双直四边形ABCD中，AB=AD,∠C=∠D=90°，连接BD.求证：BD平分∠ABC: (3)如图2，己知，∠A=∠B=90°，在射线BE上作出点C,使得四边形ABCD是“邻等双直四边形”， : 且对角线BD是其一内角的角平分线： (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 烯 【联系拓广】 (4)如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是△ABC内部一点且满足AB=2AD,将线段 SABCD AD绕点A顺时针旋转90°得到AB,连接BD,CD,CE,当四边形ABCD为“邻等双直四边形时，求SAcD : O 的值 试题第4页（共6页） 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 【详解】解：A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，不合题意； C．不是中心对称图形，不合题意； D．不是中心对称图形，不合题意． 故答案为：A 2．把多项式分解为几个整式的积，其中一个整式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考察利用提公因式法进行因式分解，即提取每项的相同字母及系数的最大公约数。 【详解】解：， 因此分解得到的整式因式为和，选项中只有A符合要求． 故答案为：A 【点睛】本题考查了闰年的判断方法、用字母表示数的方法、公因数的知识以及射线的特征。 3．如图，某电梯额定载重为，假设电梯内人员和货物的总重量为．为了安全运行，必须满足的不等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意． 故答案为：C 4．若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为零时，需满足分子为零，而分母不为零两个条件，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，且， ∴． 故答案为：B 5．如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，再利用角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，利用垂线的定义结合三角形内角和定理求出的度数，从而利用角之间的关系求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点G， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：C 6．如图是一次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据函数的性质进行判断即可． 【详解】解：A、由图知，y随x的增大而增大，因此，本选项正确，不符合题意； B、由图知过点 ∴，本选项正确，不符合题意； C、由图知，与y轴的交点的纵坐标小于1， ∴当时，，本选项错误，符合题意； D、由图知，过点，时，，本选项正确，不符合题意； 故答案为：C 7．如图，直线、表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（   ） 方案一： ①格点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点，即桥的位置． 方案二： ①连接交于点；②过点作，交于点，即桥的位置． A．方案一、二均可行 B．方案一、二均不可行 C．唯方案一可行 D．唯方案二可行 【答案】C 【分析】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可，可利用平移解决问题． 【详解】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可． 在方案一中：垂直于河岸，， 连接，与另一条河岸相交于M，作直线， 由平移的性质，知，且， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． 故方案一符合题意，方案二不是最短， 故答案为：C 8．如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据旋转的性质得，，推出是等边三角形，证明得，由得，由可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：D 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9．若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 【答案】2 【分析】因式分解与整式乘法互为逆运算，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求出的值． 【详解】解：， ， 对比多项式同类项的系数可得． 故答案为：2 10． 如图，直线l与正五边形的边，分别交于点，，若，则的度数为________． 【答案】84° 【分析】先根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和的度数，再利用四边形的内角和定理求出的度数，最后根据对顶角相等求出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ． 在四边形中，， ． ，， ． 故答案为：84° 11． 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】16 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 故答案为：16 12．如图，某商店将定价为30元的折叠式LED小台灯，按下列方式优惠销售：若购买不超过5台，按原价付款；若一次性购买5台以上，超过部分打八折．小亮现有246元，想购买该小台灯送给同学，那么他最多可以购买______台． 【答案】9 【分析】设他可以购买台，根据题意列出不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：∵ 不打折的情况下可以购买8台，即购买数超5台， 设他可以购买台， 根据题意，得 解得， ∵x为整数， ∴x最大取9， 故答案为：9 13．如图，在中，，，是边上的一点且满足，将沿折叠到，延长交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考察平行四边形的折叠以及解特殊角的三角形。从由折叠可以得到，而平行+角平分线可以得到等腰三角形，即为等腰三角形，设，将及表示出来即可求解x 【详解】∵沿BE折叠到 ∴ ∵AD∥BC ∴ ∴ ∴BF=EF 设A’F=x，则EF=6+x ∵BF=EF ∴BF=6+x，A’B=AB=7 作BM⊥AF ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】平行四边形的折叠，利用平行+角平分线构造等腰，通过合理的设边并解含特殊角的三角形是解决问题的关键。 三、解答题：本题共7题，共61分． 14. （6分）解不等式组 求不等式组的解集． 解：解不等式①，得____________， 解不等式②，得____________， 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示 ∴不等式组的解集为_____________． 【答案】；；； 【详解】略 15.（7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把括号内的式子通分，把除法变为乘法并利用平方差公式因式分解，再约分计算得出最简结果，最后代入a的值计算即可得出答案． 【详解】解： 当时，原式 16．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在网格上，完成下列任务． （1）将向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，画出； （2）以点为旋转中心，将（1）中按顺时针方向旋转，得到，画出； （3）在（1）（2）的条件下，利用网格点和无刻度的直尺画出线段的中点P． 【答案】 【分析】本题考查的是画平移图形，画旋转图形，平行四边形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． （1）利用平移的性质分别确定A，B，C平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）利用旋转的性质分别确定，旋转后的对应点，再顺次连接即可； （3）取格点D，再连接，交于P即可； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴P为线段的中点． 17．（9分）年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个． （1） “神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ 飞箭航模店计划购买两种模型共个，且每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． ①求与的函数关系式(不要求写出的取值范围)； （2） ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“神舟”模型成本为每个15元，“天宫”模型每个12元 (2)①；②购“神舟”模型25个时，销售这批模型可获得最大利润，最大利润为850元 【分析】（1） 设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个元，根据“花费300元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个”列出方程求解即可； （2）①根据利润的计算公式列出解析式即可； ②先求出a的取值范围，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个元． 依题意得 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意， 当时，元 答：“神舟”模型成本为每个15元，“天宫”模型每个12元； （2）解：①设“神舟”模型a个，则“天宫”模型为个． ②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，解得：． ∵． ，随的增大而增大．   ∴当时，(元) 答：购“神舟”模型25个时，销售这批模型可获得最大利润，最大利润为850元． 18．（9分）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵DB，CE交于点F，DF = FB， ∴F是DB的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∴CF∥AD， ∵AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为DF = FB，所以F是DB的中点，而E是AB的中点，根据三角形中位线定理得EF∥AD，即CF∥AD，因为AF∥CD，所以四边形AFCD是平行四边形； （2）由F是DB的中点，E是AB的中点，EF=1，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF=1， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 19．（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：_____________（填序号）； ①；     ②；     ③； ④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3） 当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①②③ (2) (3)整数x的值为0或2或4或6 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐个判断即可； （2）根据，利用完全平方公式进行化简即可； （3）先得出为整数，再结合（2）的结论，得出所有可能的取值，由此即可得． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 则属于“和谐分式”的是①②③． （2）解： ． （3）解：∵x为整数， ∴x-3也为整数， 由（2）已得：， 要使“和谐分式”的值为整数，则需的值为整数， ∴x-3所有可能的值为-3，-1，1，3， ∴x所有可能的值为0，2，4，6， 即当整数x的值为0或2或4或6时，“和谐分式”的值为整数． 20. （12分）综合与探究 【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，若，，则四边形是“邻等双直四边形”． ( E ) （1）用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则这个图形是 （填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“邻等双直四边形”中，，，连接．求证：平分； （3）如图2，已知，，在射线上作出点，使得四边形是“邻等双直四边形”，且对角线是其一内角的角平分线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【联系拓广】 （4）如图3，在中，，，点是内部一点且满足，将线段绕点顺时针旋转得到，连接BD，CD，CE，当四边形AECD为“邻等双直四边形”时，求的值 【答案】(1)③ (2)证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 平分． (3)如图，点就是所要作的点， (4)的值为或 【分析】（1）根据“邻等双直四边形”的定义进行判定； （2）根据等边对等角以及两直线平行内错角相等得出结论； （3）根据垂直平分线的性质得到一组邻边相等，再根据等边对等角以及两直线平行内错角相等得出角平分线； （4）根据定义进行分类讨论，利用全等三角形性质和判定，正方形性质和判定，30°角所对直角边是斜边的一半，求出的值． 【详解】（1）解：图①是由两个含有的直角三角形纸板拼出的四边形， ∵， ∴，， ∴，且， ∴四边形满足“有一组邻边相等且有两个邻角为直角”， 所以是“邻等双直四边形”； 图②是由两个含有的直角三角形纸板拼出的四边形， ∵， ∴，， ∴，且， ∴四边形满足“有一组邻边相等且有两个邻角为直角”，所以是“邻等双直四边形”； 图③是由一个含有和一个含有的直角三角形纸板拼出的四边形， ∵，，， ∴，，， ∴四边形不满足“有两个邻角为直角”，所以不是“邻等双直四边形”； （2）略 （3）作线段的垂直平分线交射线于点，连接， ∵作线段的垂直平分线交射线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （4）解：∵， ∴设，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 又， ， ， ， ①当时，，，四边形为“邻等双直四边形”， 延长与交于点， ， ， ， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ，， ∴， 在中，， ， ， ， ②当时，，，四边形为“邻等双直四边形”， 过点作于点，在上取中点F，连接． ，点F是的中点， ， ，， ， ∵点F是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，，，根据勾股定理得，， ， ， 的值为或． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 1 2 3 4 5 6 7 8 A 叹 D B C C C D 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分 9.2 10.84° 11.16 12.9 8号 三、解答题：共7题，共61分. 14.(6分) x>-2(1分) x≤1(3分) 54-32102345:(5分) -2<x≤1.(6分) 15.(7分) =a+31） (a+3)(a-3) a+3a+3 a+2 =a+2.(a+3)(a-3) a+3 a+2 =a-3(5分) 1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当a=V3+3时，原式=V3+3-3=V3(7分) 16.(6分) (1)△4BC如图所示；(2分) (2)△42B2C如图所示：(4分) (3)点P如图所示.(6分) 17.(9分) 300 300 (1)依题意得x(1-20%)x 5 (2分) 解得x=15 经检验，x=15是原方程的解且符合题意，(3分) 当x=15时，(1-20%)x=12元‘ 答：“神舟”模型成本为每个15元，“天宫”模型每个12元；(4分) 解：①设“神舟”模型a个，则“天宫”模型为100-a)个. W=(25-15)a+(20-12)(100-a)=2a+800(6分) ②：购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的3· a≤兮000-0），解得：a≤25(7分) :W=2a+800.k=2>0,W随a的增大而增大.(8分) 当a=25时，Wmax=2×25+800=850(元) 答：购“神舟”模型25个时，销售这批模型可获得最大利润，最大利润为850元.(9分) 18.(8分) 2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I),DB,CE交于点F,DF=FB, F是DB的中点， ,E是AB的中点， .EF∥AD, CF∥AD, :AF∥CD, .四边形AFCD是平行四边形：(4分) (2)解：：F是DB的中点，E是AB的中点，EF=1, .AD=2EF=2,(5分) ,四边形AFCD是平行四边形， .CF=AD=2,(6分) :∠CFB=∠EFB=90°，BF=3, .BC=VCF2+BF2=V22+32=V13, BC的长是V13.(8分) 19.(12分) 0x+2=+2=1+2 (1)解：①xxx +2=x+1+1-x+1+1 2x+1 x+l x+1x+1r ② y2+1y2.1 1 ③ +1+月 2， 则属于“和谐分式”的是①②③.(3分)（写对一个给一分，写错不得分） (2)解： x2-6x+12 x-3 _2-6x+9）+3 (6分) x-3 =(x-3)2+3 x-3 =(x-3}3 -3x3(7分) 3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-3+3 -3· (8分) (3)解：，x为整数， x-3也为整数，(9分) 由(2)已得： x2-6x+12 x-3 x-3+3 x-3, x2-6x+12 3 要使“和谐分式” x-3 的值为整数，则需x-3的值为整数，(10分) x-3所有可能的值为3,1,1,3， ∴.x所有可能的值为0,2,4,6， x2-6x+12 即当整数x的值为0或2或4或6时，“和谐分式”x-3的值为整数.(12分) 20.(12分) (1)①②(2分)（写对一个给一分，写错不得分） 解：图①是由两个含有45°的直角三角形纸板拼出的四边形， :∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=45° .∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°，AB=BC, ∠B=∠BAD=90°，且AB=BC, ∴四边形ABCD满足“有一组邻边相等且有两个邻角为直角”， 所以是“邻等双直四边形”： 图②是由两个含有45°的直角三角形纸板拼出的四边形， .∠BAC=∠BCA=∠ADC=∠DCA=45 ·.∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，AB=BC, .∠B=∠BCD=90°，且AB=BC, ∴四边形ABCD满足“有一组邻边相等且有两个邻角为直角”，所以是“邻等双直四边形”； 图③是由一个含有30°和一个含有45°的直角三角形纸板拼出的四边形， .∠ADC=∠DCA=45°，∠BAC=60°，∠BCA=30° .AD=DC,∠BCD=∠BCA+∠DCA=75°，∠BAD=∠BAC+∠DAC=105°， ∴.四边形ABCD不满足“有两个邻角为直角”，所以不是“邻等双直四边形”： 4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D AK◇ A B B ① ② ③ (2)证明：如图，连接BD, AB=AD, A .∠ABD=∠ADB, .∠C=∠ADC=90°， .∠C+∠ADC=180°， ∴.BCI‖AD ∴.∠CBD=∠ADB D (图1) ∴.∠ABD=∠CBD. .∴.BD平分∠ABC.(6分) (3)如图，点C就是所要作的点，(8分) 1 C、E (图2) S△BCD (4)Saco的值为3-V5或V5-1 解：AB=2AD, 设AD=x,AB=2x, 线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE, ∴.AE=AD,∠EAD=90°， 又.∠BAC=90°， 5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAE=∠BAD, .AB=AC, ∴△EAC≌△DAB(SAS), D (图3) ①当∠AEC=90°时，∠EAD=90°，AE=AD,四边形AECD为“邻等双直四边形”， 延长BD与CE交于点F, ∴.∠ADB=∠AEC=90°， ∠ADF=180°-∠ADB=90°. ∴.∠ADF=∠EAD=∠AEC=90°， ∴.四边形AEFD为矩形， AE=AD, ∴.矩形AEFD为正方形， .DF=EF=AD=x,∠EFD=90°， :.∠CFB=180°-∠EFD=90°， 在RtABD中，BD=VAB2-AD2=V(2x)}-x=V5x, .BD=CE=3x, ..CF=3x-x, BDXCF 1 5x5x-3-5,m 2XADxDF 2x.Ex.x ②当∠ADC=90°时，∠EAD=90°，AE=AD,四边形AECD为“邻等双直四边形”， 过点D作DH⊥AB于点H,在AC上取中点F,连接DF. 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADC=90°，点F是AC的中点， :.DF=AC=AF=CF, AB=2AD,AC=AB=2x, ..AC=2AD :点F是AC的中点， .AC=2AF, .AF=AD, .AF=AD=DF, ∴，△AFD是等边三角形， ∴.∠CAD=60° ∴.∠ACD=180°-∠ADC-∠CAD=180°-90°-60°=30°， .∠ADC+∠EAD=180°， ∴.AE∥CD ∴.∠EAC=∠ACD=30°， :△EAC≌△DAB, ∴.∠DAB=∠EAC=30° 1 在RUADH中，DH=2AD= 在Rt△ACD中，AD=x,AC=2x,根据勾股定理得， CD=VAC2-AD=(2x)-x2=3x. S.cn-.w-.c. 2xx2xx2x 21 )2=22-5 2=3x2 22 2 2 2 2 32-5x3-5)x X S.=2*2 2 SACD =√3-1，(12分) 2XADXCD ×xxV3x 2 7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S△BCD SAACD 的值为3-5或5-1 E B (备用图) 8 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学 （考试时间：90分钟试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册内容+九年级上册第1章特殊平行四边形 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（） A． B． C． D． 2．把多项式分解为几个整式的积，其中一个整式是（） A． B． C． D． 3．如图，某电梯额定载重为，假设电梯内人员和货物的总重量为．为了安全运行，必须满足的不等关系是（） A． B． C． D． 4．若分式的值为，则的值为（） A． B． C． D． 5．如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 6．如图是一次函数的图象，下列说法错误的是（） A． B． C．当时， D．当时， 7．如图，直线、表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（） 方案一： ①格点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点，即桥的位置． 方案二： ①连接交于点；②过点作，交于点，即桥的位置． A．方案一、二均可行 B．方案一、二均不可行 C．唯方案一可行 D．唯方案二可行 8．如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．将正确的答案写在答题卡上． 9．若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 10．如图，直线l与正五边形的边，分别交于点，，若，则的度数为________． 11．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 12．如图，某商店将定价为30元的折叠式LED小台灯，按下列方式优惠销售：若购买不超过5台，按原价付款；若一次性购买5台以上，超过部分打八折．小亮现有246元，想购买该小台灯送给同学，那么他最多可以购买______台． 13．如图，在中，，，是边上的一点且满足，将沿折叠到，延长交于点，若，则的长为　　． 三、解答题：本题共7题，共61分． 14．（6分）解不等式组 求不等式组的解集． 解：解不等式①，得____________， 解不等式②，得____________， 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示 ∴不等式组的解集为_____________． 15．（7分）先化简，再求值：，其中． 16．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在网格上，完成下列任务． （1）将向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，画出； （2）以点为旋转中心，将（1）中按顺时针方向旋转，得到，画出； （3）在（1）（2）的条件下，利用网格点和无刻度的直尺画出线段的中点P． 17．（9分）年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个． (1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)飞箭航模店计划购买两种模型共个，且每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． ①求与的函数关系式(不要求写出的取值范围)； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 18．（9分）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 19．（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；②；③； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； （3）当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 20．（12分）综合与探究 【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，若，，则四边形是“邻等双直四边形”． ( E ) （1）用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则这个图形是 （填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“邻等双直四边形”中，，，连接．求证：平分； （3）如图2，已知，，在射线上作出点，使得四边形是“邻等双直四边形”，且对角线是其一内角的角平分线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【联系拓广】 （4）如图3，在中，，，点是内部一点且满足，将线段绕点顺时针旋转得到，连接BD，CD，CE，当四边形AECD为“邻等双直四边形”时，求的值 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学 （考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：八年级下册内容+九年级上册第1章特殊平行四边形 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1.剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，下列剪纸作品中是中心 对称图形的是() 2.把多项式a-3a分解为几个整式的积，其中一个整式是() A.a B.a2-3 C.3a D.a 3.如图，某电梯额定载重为800kg,假设电梯内人员和货物的总重量为xkg.为了安全运行，x必须满 足的不等关系是() A.x>800 B.x<800 C.x≥800 D.x≤800 ® ⑨ 载重： 800kg 乘客： 10人 电梯股份有限公司 SHENLONG ELEVATOR CD.LTD 4.若分式-4 的值为0，则x的值为() x-2 A.x≠2 B.x=-2 C.x=2 D.x=±2 5.如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC,CF⊥BE交AD于点F,若∠EBC=25°，则∠DCF的度数为 () A.45° B.55 C.65° D.75° A 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图是一次函数y=c+b的图象，下列说法错误的是() A.k>0 B.k+b=1 C.当x=0时，y>1D.当y>-1时，x>-3 7.如图，直线1，、1，表示一条河的两岸，且1，∥1.现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村 庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案.下列说法正确的是() 方案一： 方案二： M B B d ①格点A向上平移d M- d,①连接AB交 12 得到A';②连接AB交h于点M;③过点 于点M:②过点M作MN⊥I,交l于 M作N⊥h,交，于点N,N即桥的位 点N,MN即桥的位置. 置 A.方案一、二均可行 B.方案一、二均不可行 C.唯方案一可行 D.唯方案二可行 8.如图，O是等边△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5.将线段BO以点B为旋转中心按逆时针方 向旋转60°得到线段BO',则∠AOB的度数为() A.120° B.130° C.135° D.150° B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.将正确的答案写在答题卡上. 9.若多项式x2+x-8因式分解的结果为(x+4)(x-2),则常数m的值为。 10.如图，直线1与正五边形ABCDE的边AB,DE分别交于点M,N,若I=60°，则∠2的度数为 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 11.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆 心，大于二BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,作直线MN交AB于点E,若AB=IO, AC=6,则△ADE的周长为 M 0 W 12.如图，某商店将定价为30元的折叠式LED小台灯，按下列方式优惠销售：若购买不超过5台，按原价 付款：若一次性购买5台以上，超过部分打八折.小亮现有246元，想购买该小台灯送给同学，那么他最 多可以购买 台. 1B.如图，在4BCD中，AB=7,BC=10,E是AD边上的一点且满足号-，将AMBR沿防折叠到 △ABE,延长EA交BC于点F,若∠A=60°，则AF的长为一· A- 三、解答题：本题共7题，共61分 14.(6分)解不等式组 x-4<4x+2 ① 求不等式组x+5、x+3 ®的解集」 3 2 解：解不等式①，得 解不等式②，得 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示 -5-4-3-2-1012345> ∴.不等式组的解集为 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1）.a+2 15.(7分)先化简，再求值： a+3a2-9, 其中a=√3+3. 16.(6分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知△ABC的顶点都在网格上，完 成下列任务 (1)将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△4C,画出△4BC: (2)以点C1为旋转中心，将(1)中△4B,CG按顺时针方向旋转90°，得到△4，BC,画出△A,BC1: (3)在(1)(2)的条件下，利用网格点和无刻度的直尺画出线段AC的中点P. 17.(9分)2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船成功发射，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成 功.飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫模型，已知每个“天宫模型的成本比“神舟”模型低20%， 同样花费300元，购进“天宫模型的数量比“神舟”模型多5个， (1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)飞箭航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为25元，每个“天宫”模型的售价为20 元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为W元. ①求W与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）： ②若购进神舟模型的数量不超过天宫”模型数量的，则购进“神舟模型多少个时，销售这批模型可以获 3 得最大利润？最大利润是多少？ 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(9分)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF川DC, (1)求证：四边形AFCD为平行四边形： (2)若∠EFB=90°，BF=3,EF=1,求BC的长. D 19.(12分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和 谐分式”.如： +1-1+2=x=1+2=1+2 x-1x-1x-1x-11+x-1 d-2a+3_(a-2a++2_a-1旷+2-a-1+2 a-1 a-1 a-1 -1 则+l和4-20+3都是“和谐分式 x-11 a-1 (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： (填序号)： *1:③1 之x+2:②+2 （2)将“和谐分式心-6x+12化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： x-3 2-6x+12 (3)当x取什么整数时，“和谐分式” 的值为整数？ x-3 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.（12分)综合与探究 【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形” 【示例】如图1，在四边形ABCD中，若AB=AD,∠C=∠D=90°，则四边形ABCD是“邻等双直四边 形”. D 6 D B (图1) (图2) (图3) (备用图) (1)用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则 这个图形是 (填序号)： ① ② ③ 【问题解决】 (2)如图1，在邻等双直四边形”ABCD中，AB=AD,∠C=∠D=90°，连接BD.求证：BD平分∠ABC: (3)如图2，已知，∠A=∠B=90°，在射线BE上作出点C,使得四边形ABCD是“邻等双直四边形，且 对角线BD是其一内角的角平分线： (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【联系拓广】 (4)如图3，在AABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是△ABC内部一点且满足AB=2AD,将线段AD S四的 绕点A顺时针旋转90°得到AB,连接BD,CD,CB,当四边形ABCD为“邻等双直四边形时，求SA 值 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 717