23.1 测量&23.2 直角三角形的性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

第23章 解直角三角形 23.1 《基础] 知银点①利用相似三角形的知识进行测量 1如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下 2.7m宽的亮区ED.已知亮区一边到窗下墙角 的距离CE=8.7m,窗口AB=1.8m,那么窗口 底边离地面的距离BC= A.2 m B.4 m C.6 m D.3m ED… 1题图 2题图① 2题图② 2新考向四分仪是一种十分古老的测量仪器，其 出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》： 图①是古代测量员用四分仪测量一方井的深 度，将四分仪置于方井上的边沿处，通过窥衡杆 测望井底点F,窥衡杆与四分仪的一边BC交于 点H.如图②，四分仪为正方形ABCD,方井为矩 形BEFG,若测量员从四分仪中读得AB为 0.8m,BH为0.4m,实地测得BE为2m,则井 深BG为 3如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个 目标点A,在近岸取点B、C、D、E,使点A、B、D在 一条直线上，且AD⊥DE,点A、C、E也在一条直 线上，且DE∥BC.如果BC=24m,BD=12m, DE=40m,那么河的宽度AB为 m. 程 E 3题图 4如图，在家中的小华从离窗台A水平距离2m的 M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院 箱式板房的顶部远端的E点，小华又向窗户方 向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到 板房的顶部近处的D点，已知AB、CD、EF、MW 都垂直于地面BC,N、F在直线BC上，MQ、DE 第23章解直角三角形 测量 凡固练 [答案P31] 都平行于地面BC,BC长300m,请你帮助小华 计算DE的长度. MO 4题图 如跟点②利用直角三角形的边角关系进行测量 ⑤如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部 底面直径是9cm,内壁高12cm,则这只铅笔的 长度可能是 A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm C 5题图 6题图 6如图，长为16cm的橡皮筋放置在一条直线上， 固定两端A和B,然后把中点C向上拉升6cm 至点D,则橡皮筋被拉长了 m ⑦如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗 杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的 末端点E距离地面的高度BE为0.5m,老师让 小明拿起绳子末端向前走了5m至点C处，此 时绳子末端距离地面的高度CD为1.5m,求旗 杆AB的高度. D E B C 7题图 79 同步练测·九年级数学·上册·华师版 23.2直角三角形的性质 基础巩固练 [答案P32] 知瞑点（③含30°角的直角三角形的性质 6如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为 1(教村母题变式)如图，在Rt△ABC中，∠B= 4cm,3cm,12cm,现有一长为16cm的筷子插 90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC,若CD=2,则 入到盒的底部，则筷子露在盒外 BD的长为 的部分h(cm)的取值范围为 B.1 D. 3 ( 3 A.3<h<4 12cm B.3≤h≤4 4 cm C.2≤h≤4 3 cm 6题图 D.5≤h≤6 7如图，在长方形纸片ABCD中，点E、F分别在边 AD和BC上，将该长方形纸片沿EF所在直线折 1题图 2题图 2如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，D为AB边 叠，点A、B的对应点分别为点A'、B,若点B'恰 好落在边AD上，且AE=5,AB=12,则点B、B之 的中点，DE1BC于E,若BE=2,则AC的长为 间的距离为 A 3某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的 △ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠BAC =150°，AB=20m,AC=30m,这种草皮每平方米 售价α元，则购买这种草皮至少需要 7题图 8题图 元.（用含a的代数式表示） 8如图，海中有一小岛A,它周围10.5 n mile内有 A 暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行.在点B测得 小岛A在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达 B 3题图 点D,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如 4如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，AB⊥AD, 果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还 AD=4cm,求BC的长. 需航行 n mile就开始有触礁的危险. 9如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，EF为 折痕，使其对角顶点A与点C重合，点D与点G 重合.若长方形的长BC为8，宽AB为4. 4题图 (1)求DE的长； (2)求阴影部分△GED的面积； (3)求EF的值. 知银点（②直角三角形的性质的应用 5如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠ABC= 90°.将△ABC折叠使点A与BC的中点D重合， 9题图 则BN的长是 5题图 A.4 B.3 C.6 D.5 80 0 第23章解直角三角形 [答案P33] 《能力提升练 ①（四川乐山期末）如图，在△ABC中，∠B=50°， 6(河南许昌期末)如图，△ABC是等边三角形，P CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交 是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点 于点E,F为边AC的中点，CD=CF,则∠ACD+ E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,交BD ∠CED= 于点Q. A.125°B.145 C.175° D.190° (1)若BQ=2,求PE的长； (2)连结PF、EF,试判断△EFP的形状，并说明 理由. 1题图 2题图 2如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,线 段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上移 6题图 动，且DE=6,若M、N分别是AB、DE的中点，则 MN的最小值为 ) A.2 B.3 C.3.5 D.4 3如图，把等边三角形ABC沿DE折叠，使点A恰 好落在BC边上的点P处，DP⊥BC于点P.若 BP=4cm,则EC的长为 A.4 cm B.4√3cm 7[核心素养]如图，灯塔C在海岛A的北偏东75 C.(2+23)cm D.(2+32)cm 方向，某天上午7点整，一条船从海岛A出发，以 15 n mile/,h的速度由西向东方向航行，当天上 午9点整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的 北偏东60方向： (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17 n mile的范 3题图 4题图 围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行， 4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°， 是否有触礁的危险？请说明理由 BD平分∠ABC,P是BD的中点.若CP=4,则 北 AD的长为 东 5如图，已知△ABC是等边三角形，D是AB的中 点，过点D作DF⊥AC,垂足为点F,过点F作 FH⊥BC,垂足为点H.若等边三角形ABC的边 B 7题图 长为4，求BH的长 5题图 81四边形ABCD是平行四边形， B=D,AB/CDg=子c/AB, △EG△AB沿g-子 yBG=子BD,且BD=6, 14 FG的长为名 12.（1)证明：.在正方形ABCD中， ∠B=∠C=90°，EF⊥ED, ∴.∠BGE+LBEG=90°，LBEG+LCED=90°， .∠BGE=∠CED,∴.△BEG∽△CDE. (2)解：，'在正方形ABCD中，CD=AB=BC=8,E是BC 的中点，∴.BE=CE=4. ·△BEG△CDE,BC=BE,BG.4 CC…4=8, BG=2,AG=6,S△BGE=2×2x4=4 FA∥BE,△BGE△AGF, (-( .SAAFG=36. 13.A[解析]由题意，得BC∥DE,AC=2m,CE-1m,EF= 2DE△ABc△4nE,△BC6aE6,8e-e 241子瓷-品品器=分c6=分cs= 22 CG BC CG BC 1 m,AG=4C-CG=子m,放射女A应向底影人意近 1 至C的距离AC为子m 14.300步15.C16.D 17.C[解析]如答图，△ABC旋转后的三角形为△AOB',连 结OC,则AB=AB',AC=AO,∠CAO=∠BAB'=60°， .∴.△AC0和△ABB'都是等边三角形..A0⊥BB',∴.B'0= B0=2,.BB=4,AB=BB=4.在Rt△AOB中，0A= √AB2-0B2=√42-22=25，.C0=0A=25.过点C 作0A的垂线，垂足为点M,则OM=20A=5.在R肚△C0M 中，CM=√C0-0M=√(235)2-(3)2=3，.点C的坐 标为(5,3). 0 M B 17题答图 参考答案及解析 18.(-1,2)[解析]如答图，作点0关于MN的对称，点0'， 点M关于y轴的对称点M',易得O'(-3,3),M'(3,0).设 直线MW的函数表达式为y=x+b(k≠0)，M(-3,0), 「-3k+b=0, 6=3,直线MN的函数 k=1, N(0,3), 解得 b=3, 表达式是y=x+3.同理可得直线O'M'的函数表达式是y y=x+3. 1 2t+ 2联立，得 1 3 y=-2x+2, 解得厂1， ∴.点P的坐标为(-1,2) ly=2, 0' O M' 18题答图 19.解：(1)如答图，△OA1B,即为所求作图形 (2)如答图，△02A2B2即为所求作图形. (3)△OA1B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中 心，点M的坐标为(-4,2) Mi 0 B 19题答图 第23章解直角三角形 23.1测量 【基础巩固练】 1.B 2.3.2m[解析]依题意可知AB∥EF,△ABH△FEH, 小提-铝：测量员从回分仪中装择B为08m,m为 .0.80.4 0.4m,实地测得BE为2m,n=20.4EF=3.2m, .BG=3.2m 3.18 4,解：如答图，延长ED交AB于点H,延长MQ交BA的延长线 于点T MOT A B 4题答图 ·31· 同步练测·九年级数学·上册·华师版 由题意，得MT=2m,MQ=0.8m, ∴.QT=MT-MQ=2-0.8=1.2(m). 易证四边形BCDH是矩形，QT∥DH, .DH=BC=300m,△QTA∽△DHA, .TA-QT_1.21 HA=Da-300-250 .'MT∥DE,.△MTA∽△EHA, 留小商20 MT AT 2 1 .'EH =500 m,DE EH-DH =200 m. 5.D6.4 7.解：设绳子长为xm,如答图，过点D作DF⊥AB于点F B 7题答图 根据题意，得AB=(x+0.5)m, AF=x+0.5-1.5=(x-1)m,AD=xm,DF=BC=5m. 在R△ADF中，由勾股定理，得(x-1)2+52=x2, 解得x=13, .旗杆AB的高度为13+0.5=13.5(m). 答：旗杆AB的高度为13.5m. 23.2直角三角形的性质 【基础巩固练】 1.B 2.2[解析]DE⊥BC,.LBED=90°.LB=60°， ∠BDE=30°.：BE=】 ,BD=2BE=1.:D为AB边 的中点，.AB=2BD=2..·∠B=∠C=60°，.AC=AB=2 3.150a 4.解：.AB=AC,∴.∠B=∠C=30° AB⊥AD, .∴.BD=2AD=2×4=8(cm),∠B+∠ADB=90°， ∴.∠ADB=60° .∠ADB=∠DAC+∠C=60°， .∠DAC=30°，∴.∠DAC=∠C, ∴.DC=AD=4cm,∴.BC=BD+DC=8+4=12(cm). 5.A 6.B[解析]如答图. cm 4 cm 3 cm 6题答图 当筷子垂直于底面时，筷子露在盒外的部分h(cm)最长，最 ·32· 长为16-12=4(cm);:√32+42=5(cm),当筷子斜插于 盒内时，筷子露在盒外的部分h(cm)最短，最短为16- √52+122=16-13=3(cm),·.筷子露在盒外的部分 h(cm)的取值范围为3≤h≤4， 7.6√13[解析]如答图，连结BB. A B 7题答图 ,将该长方形纸片沿EF所在直线折叠，点A、B的对应点 分别为点A'、B',AE=5,AB=12,A'E=AE=5,A'B'=AB =12,∠A'=∠A=90°.在直角三角形A'B'E中，由勾股定 理，得B'E=√A'E2+A'B2=13,.AB=AE+B'E=18.在 直角三角形ABB'中，由勾股定理，得BB=√AB2+AB2= √122+182=6√13 8.4.5[解析]如答图，过，点A作AC⊥BD于点C,则AC的长 是点A到BD的最短距离. .∠CAD=30°，∠CAB=60°， ∴.∠BAD=60°-30°=30°，∠ABD=90°-60°=30°， .∴.∠ABD=∠BAD,.BD=AD=12 n mile.. :∠CAD=30,∠AC0=90,CD=7AD=6nmie 由勾股定理，得AC=√/122-62=6√3(n mile). 如答图，设渔船还需航行xn mile就开始有触醮的危险， 即到达点D'时有触礁的危险.在Rt△AD'C中， 由勾股定理，得(6-x)2+(63)2=10.52, 解得x1=4.5,x2-7.5(不符合题意，舍去)， ∴，渔船还需航行4.5 n mile就开始有触醮的危险. DXD'C 8题答图 9.解：(1)如答图①所示. D E 2 F 9题答图① .:四边形ABCD是长方形，且长BC为8，宽AB为4， ∴.AD=BC=8,CD=AB=4, ∠B=∠C=∠CDA=90°，AD∥BC, 设DE=a, .AE=AD-DE=8-a. .AD∥BC,∴.∠1=∠2 由折叠性质，得∠2=∠3，CF=AF ∴.∠1=∠3，∴.AF=AE=8-a,∴.CF=AF=8-a, .BF=BC-CF=8-(8-a)=a. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF2=AB2+BF2, .(8-a)2=42+a2,解得a=3, .DE=a=3,即DE的长为3. (2)过点G作GH⊥AD于点H,如答图②所示. G 9题答图② 由(1)可知DE=a=3,AE=8-a=5, 由折叠性质，得AG=AB=4,GE=DE=3,∠AGE=∠B= 90°， 由三角形面积公式，得 S GHIAG GE, ·GH=4G.GE-4x3_12 AE 5=5, 5 5 阴影部分△GED的面积为 5 (3)过点E作EK⊥BC于点K,如答图③所示， G 9题答图③ .LEKC=LEKF=90°. 由(1)可知DE=a=3,CF=8-a=5. ,∠EKC=∠C=∠CDA=90°， .四边形CDEK是矩形， ∴.EK=CD=4,CK=DE=3, .FK=CF-CK=5-3=2. 在RL△EFK中，由勾股定理，得EF=√EK2+FK2= √2+22=2W5,即EF的值为25. 【能力提升练】 1.c 参考答案及解析 2.A[解析]如答图，连结CM、CV.在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=8,BC=6,.AB=√AC2+BC=10.DE=6,M、 N分别是B,DE的中点，CN=之DB=3,CM=分A= 5.当，点C、M、N在同一直线上时，MN取得最小值，MN的最 小值为5-3=2. 2题答图 3.C4.8 5.解：在Rt△ADF中，因为∠A=60°，∠DFA=90°， 所以∠ADF=30°，所以AD=2AF 因为D是AB的中点， 所以40=子B=宁x4=2, 1 所以4P=2A0=子×2=1， 1 所以CF=AC-AF=4-1=3. 在Rt△FHC中，因为∠C=60°，∠FHC=90°， 所以∠HPC=30,所以iC=c=1.5, 所以BH=BC-HC=4-1.5=2.5. 6.解：(1).·△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线， .∠EBP=∠PBC=30° ?PE1AB于点B,∠BEP=90,PE=号BP ,QF为线段BP的垂直平分线， BP=2B0=2×2=4,PE=7x4=2 (2)△EFP是直角三角形.理由如下： 如答图，连结PF、EF :△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC, .∠ABC=60°，LABP=LCBD=30°. .PE⊥AB,∴.∠PEB=90°，∴.∠BPE=60° ,FQ垂直平分BP,∴.FB=FP, ,∴.∠FPQ=∠FBQ=30°， ∴.∠EPF=∠EPB+∠BPF=90°， ,∴.△EFP是直角三角形. E D B 6题答图 ·33· 同步练测·九年级数学·上册·华师版 7.解：(1)某天上午7点整，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h 的速度由西向东方向航行，当天上午9点整到达B处， 由已知条件可得∠CAB=90°-∠DAC=90°-75°=15°， ∠CBF=90°-∠EBC=90°-60°=30°， AB=15×(9-7)=30(n mile), ,∴.∠ACB=∠CBF-∠CAB=30°-15°=15°. ∴.∠CAB=∠ACB=15°， .∴.AB=BC=30 n mile.. 答：B处到灯塔C的距离为30 n mile.. (2)有触礁的危险， 过点C作CG⊥AF于点G,如答图. 北 +东 B 7题答图 .:∠CBG=30°，BC=30 n mile, .CG RC=15n mile. .15<17, .若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险： 23.3锐角三角函数 1.锐角三角函数 课时1锐角三角函数 【基础巩固练】 1c2c3D47 5.解：在Rt△ABD中，am∠BMD=D=4, BD 3 六BD=A0:tn/AD=2×子=9， .CD=BC-BD=14-9=5, .AC=√AD2+CD2=√122+52=13， ·sinC=40-12 AC=13 8A7A89 9.解：，∠C=90°，tanA=2, m4能-2， 设BC=2x,AC=x, 则AB=√BC2+AC2=√(2x)2+x2=√5x, 4极V5x行2,0sA=g=是=5 inA=BC=2-=25」 ·34· 【能力提升练】 1.C 2.C[解析]：四边形ABCD是矩形，.∠B=90°.E是BC 的中点，BC=25,BE=CE=BC=5,AE= √AB2+BE=√22+(5)2=3.由翻折的性质，得∠AEF =∠AEB,EF=BE,∴.EF=CE,∴.∠EFC=∠ECF,∴.∠BEF =∠EFC+∠ECF=2∠ECF.,∠BEF=∠AEB+∠AEF= 2LAEB,LAEB=LECFc0LECF=c0sLAEB=BE AE 3 3.B4.2 1 5.3或3[解析]如答图①，当点H在BC上时，作DE⊥ BC,毒足为点E×B=10,AM=6,CH=之AB,BM= √102-6=8，CH=5.CD是AB边上的中线，BD=AD =分a易知DE/,△B0En△8器-器- 盟宁E=4=3,贴=合照，H=分m, c=号+Hc=9,故mL00=瓷=号=写如8 国②，当点H在BC的延长线上时，同理可得DE=分AM= 3,EC=HC-之BH=5-4=1,故tan L.DCH==3.综上 EC 所选，mC的值为3或号 D ▣ B E H C B CE H 5题答图① 5题答图② 6.(1)证明：在△ABC中，CD⊥AB于点D, .∠BDC=LADC=90°， as∠B0C .tan A=CD m4=2am∠Bc0号-2×品C-2a0 （2)解：mB-肥-子Bc=24002 :AB=10,AD=子4B=子×10=4， ∴.BD=AB-AD=10-4=6,BC=2AD=2×4=8 在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD=√BC-BD2= √82-62=2万.