22.3 4 课时1 相似三角形的应用(1)-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

第22章图形的相似 4.相似三角形的应用 课时1相似三角形的应用(1) 《基础巩固练> [答案P23] 知银点①利用相似三角形测高 则AC的长度是 ①（北京房山区期末）如图，某校数学兴趣小组利 用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE 高1.5m,测得AB=2m,BC=14m,则旗杆CD 0四8 的高度是 4题图① 4题图② A.9m B.10.5m C.12m D.16m A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm ⑤（福建莆田期中）如图，某“综合与实践”小组为 测量河两岸A、P两点间的距离，在点A所在岸 边的平地上取点B、C、D,使A、B、C在同一条直 1.5m A2mB 14m 线上，且AC⊥AP,使CD⊥AC,且P、B、D三点在 1题图 2题图 同一条直线上.若测得AB=15m,BC=3m,CD 2如图所示的是一位同学用激光笔测量某古城墙 =8m,则A、P两点间的距离为 高度的示意图.点P处水平放置一面平面镜，光 A.60m B.40m C.30m D.20m 线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙 北岸 CD的顶端C处，若AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB 22222229 =1.5m,BP=2m,PD=6m,则该古城墙的高度 强两 CD是 A 南岸 p A.3m B.4.5m C.8m D.5m 5题图 6题图 3如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF 6如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南 测量树的高度AB,他调整自己的位置，使直角三 岸边每隔4m有一棵树，在北岸边每隔50m有 角形纸板DEF的斜边DF与地面平行，并且边 一根电线杆，小丽站在离南岸边12m的点P处 DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角 看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南 边DE=30cm,EF=15cm.测得边DF离地面的 岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两 高度AC=120cm,CD=600cm,则树AB的高度 棵树，则河宽为」 m. 为 cm. 7(江西南昌期末)如图，小华和同伴春游时，发现 在某地小山坡的点E处有一棵小桃树，他们想 利用皮尺、测角仪和平面镜测量小桃树到山脚 下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让 同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜 内可以看到点E,且测得BC=6m,CD=24m, 3题图 ∠CDE=135°.已知小华的眼睛距地面的高度 知限点②利用相似三角形测长度或宽度 AB=1.5m,请根据以上数据，求DE的长度.（保 4④（内江中考）阿基米德曾说过：“给我一个支点， 留根号) 我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原 理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力 就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见.如 图①，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠 7题图 杆时，另一端就会撬动石头.如图②所示，动力 臂0A=150cm,阻力臂0B=50cm,BD=20cm, o63 ①同步练测·九年级数学·上册·华师版 一《能力提升练>。 [答案P23] ①跨学科（福建漳州期末）如图所示的是凸透镜 (1)货架第一层与第二层之间的隔板MN的长 成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MW所 度为 cm; 成的虚像.已知蜡烛的高AB为5.4cm,蜡烛AB (2)若第n层仍能设计出长方体隔间，则n的最 离凸透镜MW的水平距离OB为6cm,该凸透镜 大值为 160cm 的焦距OF为10cm,AE∥OF,则像CD的高为 第一层 100 第二层 2第n层 4题图 5[核心素养]如图所示的是一个小商场的纵截面 图（矩形ABCD),AD是商场的顶部，BC是商场 1题图 的地面，地面由边长为80cm的正方形瓷砖铺 A.15 cm B.14.4cmC.13.5cm D.9 cm 成，从B到C共有25块瓷砖，AB和CD是商场 2如图，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量 的两面墙壁，MN是顶部正中央的一个长方形的 树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为 灯饰(AM=DN),小张同学想通过学过的几何知 1m的竹竿的影子为0.9m,同一时刻测量树高 识来测量该商场的高度(AB)和灯饰的长度 时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影 (MN),于是去商场时带了一块镜子和一根激光 子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落 笔，他先把激光笔挂在墙壁CD距地面两块瓷砖 在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地 高度(CG的长)的G处，镜子水平放在地面距离 面的影长为1.1m,台阶总的高度为1.0m,台阶 C两块瓷砖的F处，发现激光笔的反射光照到 水平总宽度为1.6m,则树高为 了N处，再把激光笔挂在墙壁AB距地面两块瓷 砖高度(LB的长)的L处，镜子水平放在地面距 离B三块瓷砖的P处，发现激光笔的反射光恰 好又照到了N处，请你帮忙计算商场的高度AB 和MW的长度 2题图 M A.3.0mB.4.0m C.5.0m D.6.0m 3跨学科据《墨经》记载，在两千多年前，我国学 者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释 B 了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图， 5题图 光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的 实像CD(点A、B的对应点分别是点C、D).若物 体AB的高为6cm,小孔O到物体和实像的水平 距离BE、CE分别为8cm、6cm,则实像CD的高 度为 cm Ba--------- 3题图 4多层等腰三角形货架的截面图如图所示，AB= 100cm,BC=160cm,每相邻两层之间的高度为 10cm,且每层货架中间部分被设计出截面为正 方形的小长方体隔间 640AAM=3k,SAADF=9kAMF+SADr=ANCD= S△BEF+S边形CDFE=12k,.S网边形cDFE=12k-k=11k, S△BBF:S△ABP:S△ADr:S边形CDFE=1:3:9:11. 66 6.解：(1)∠BAC=∠DAE,∠ADE=∠B, ·.△BAC△DAE. 又.AG、AF分别是△BAC和△DAE的高， …8子 (2),·△BACM△DAE, △ADE与△ABC的周长之比=铝=子 (3),·△BAC∽△DAE, -(0-(3-器 ·S AABC △ADE的面积为4， “△ABC的面积为5×4=1g9 91 7.解：(1)由折叠的性质知AE=EP,∠A=∠EPG CP=4,DP=1,..CD=AD=5. 设ED=x,则AE=EP=5-x. 在Rt△DEP中，EP2=ED2+PD2, .(5-x)2=x2+1,解得x=2.4, ∴.ED=2.4. 四边形ABCD是正方形， ∴.∠EDP=∠C=∠A=∠EPG=90°， ∴.∠DEP+∠EPD=90°，∠EPD+∠CPG=90°， ∴.∠DEP=∠CPG,∴.△DEP∽△CPG, 2器-8器cc0e号 DE (2)由折叠的性质知∠A=∠EPF,AE=PE,AF=PF ,·△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=5, ∴.∠B=∠EPF. :∠B+∠BEP=∠EPC,∠EPC=∠EPF+∠FPC, .∴.∠BEP=∠FPC,∴.△BEP∽△CPF. :△BEP△CPF,△BEP与△CPF面积的比是9：25， .PE:PF=3:5. 设PE=3x,则AE=3x,PF=AF=5x, .'BE=AB-AE=5-3x,FC=AC-AF =5-5x. ,'△BEP∽△CPF, :即=BE-PE。3 CF CP=FP=5 B即=}FC=3(5-5x)=3-3x, ∴，PC=BC-BP=5-(3-3x)=2+3x. ○参考答案及解析 解得x=19 4 4BP=3-3x=3-3×24=8 .195 BP:BC= 5 1 8 :当点P在边BC的g处且靠近点B时，△BEP与△CPF 的面积比是9：25. 4.相似三角形的应用 课时1相似三角形的应用(1) 【基础巩固练】 1.c 2.B[解析]由题意可知∠APB=∠CPD..AB⊥BD,CD⊥ BD,.LABD=∠CDB=90°，.△ABP△CDP,C9= BP.1.52 Dp心CD=6,CD=4.5m,.该古城墙的高度CD是 4.5m. 3.420[解析]由题意可得∠DEF=∠DCB=90°，LD= ∠D,.△DEF∽△DCB,BC:FE=DC:DE.DE=30cm, EP=15cm,AC=120om,cD=600cm,S-8解得8C =300cm,∴.AB=AC+BC=120+300=420(cm). 4.B5.B6.38 7.解：如答图，过点E作EF⊥BC于点F. 7题答图 .∠CDE=135°， ∴.∠EDF=45°，.DF=EF. 设EF=xm,则DF=xm,DE=√2xm. ,∠B=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECD, .∴.△ABC∽△EFC, …架% 6 x=24+x ∴x=8,.DE=85m, 故DE的长度为8√2m. 【能力提升练】 1.C[解析]由题意，得AB∥MN,AE∥OF,AB∥CD,.四边 形ABOE是平行四边形，∴.AE=OB=6cm.AE∥OF, 号A/c0,△04B△00,28-82語 2 5.CD=13.5cm 2.B3.4.5 ·23· 同步练测·九年级数学·上册·华师版 4.(1)490(25 5.解：如答图，过点N作NT⊥BC于点T,则四边形ABTN,四 边形CDNT都是矩形 设AB=NT=CD=xcm, 由题意知BC=80×25=2000(cm), CG=CF=LB=2×80=160(cm), BP=3×80=240(cm). ,∠B=∠PTN=90°，∠NPT=∠LPB, .△LBP∽△NTP, 将得得mm 同理可证△GCF△NTF,.FT=NT=xcm. .BC BP+PT+TF CF=2000 cm, 5240+2++160=200, 解得x=640,∴.AB=CD=NT=640cm, .AM=DN=CT=640+160=800(cm), ∴.MW=AD-AM-DN=2000-800-800=400(cm), 故商场的高度AB为640cm,MW的长度为400cm. A M N D B 分 5题答图 课时2相似三角形的应用(2) 【基础巩固练】 1.证明：.∠ACB=90°，AC=BC,∴.∠A=∠ABC=45° :∠DCE=45°，∴.∠A=∠DCE .:∠CED=∠AEC,.∴.△CED∽△AEC, -cB=A·DB 2.证明：(1)，四边形ABCD为矩形， ∴.∠BAD=∠ADE=90°，AB=DC, .∠ABD+∠ADB=90°. .AE⊥BD,.∠DAE+∠ADB=90°， ∴.∠DAE=∠ABD 又.'∠ADE=∠BAD,∴.△ADE∽△BAD, ÷铝-器A=DEM .AB=DC,∴.AD2=DB·DC. (2)连结AC交BD于点O,如答图.易得LADB=∠AED. 又.·∠FEC=∠AED,·.∠ADO=∠FEC. :四边形ABCD为矩形，0M=0D=号B0 又：BF=CF=BD0A=OD=BF=CP, .∴.∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE. .∠ADO=∠FEC ·24· .∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE. ∠ODA=∠FEC, 在△ODA和△FEC中， LOAD=∠FCE, OD=FE, ∴.△ODA≌△FEC(AAS),∴.AD=CE. D 0 B 2题答图 3.D4.C 5.2[解析]如答图，连结A0并延长交BC于点E.:点0是 △ABC的重心，.AE是边BC上的中线，AO=2OE,.BE= 子6c=300/A器-5=宁岸80=2060 =子=2 、0 B DE C 5题答图 6.12 7.(1)证明：如答图，连结DE. D 7题答图 点G是△ABC的重心， .CE、AD是△ABC的中线，.E、D分别是AB、BC的中点， ∴.DE∥AC,AC=2DE,∴.△GED∽△GCA, .AG:GD AC:ED =2:1,.'.AD=3GD (2)解：AD=3GD,∴.SAADC=3S△cDc=3×1=3. ,D是BC的中点， ."SAABC =2S AADC =2 x3 =6. 【能力提升练】 1.c 2.B[解析]由题知，因为BE、CD为△ABC的中线，所以点F 为△ABC的重心，所以DE/BC,DE=号BC,所以△DEF △CBF,所以 S△1DE-所以SAOKr=SARcr SABCF BC 故A选项不符合题意；因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC, 所以4E /DE12 1 S△ABC (BC=4,所以SAADE=3Sg造形80D:故B