21.2 第5课时 一元二次方程的根与系数的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习解法、求根公式等旧知，结合具体方程表格引导学生观察两根和与积规律，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是采用观察探究与逻辑推导结合的教学方法，培养学生数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），典例覆盖直接应用、代数式求值等类型，总结明确，助力学生掌握应用技能，教师可提升教学效率。

第 5 课时 一元二次方程的根与系数的关系 21.2 一元二次方程的解法 第21章 一元二次方程 九年级上册数学（华师版） 学习目标 1. 了解一元二次方程根与系数的关系；(重点) 2. 会应用一元二次方程根与系数的关系. (难点) 2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？ 1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 复习回顾 方程 x1 x2 x1 + x2 x1∙x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 2x - 3 = 0 x2 - 5x + 4 = 0 问题：你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2， x1 • x2 与对应的一元二次方程的系数有什么关系？ 1 -4 -3 -4 -1 3 2 - 3 1 4 5 4 一元二次方程的根与系数的关系 1 探究新知 探索求证 我们来考察方程 x2 + px + q = 0 ( p2 – 4q≥0 ). 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 所以 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1、x2，那么 x1 + x2 = – p ，x1·x2 = q. 知识要点 例1 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： (1) x2 + 3x – 5 = 0； (2) 2x2 – 3x – 5 = 0. 解：(1) 设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = – 3 ，x1·x2 = – 5. (2) 方程两边都除以 2，得 设两根为 x1、x2，可得 典例精析 方 程 x1 x2 x1+x2 x1∙x2 - 2 x1+x2，x1∙x2 与对应的一元二次方程的系数有什么关系？ 9x2 - 6x + 1 = 0 3x2 - 4x - 1 = 0 3x2 + 7x + 2 = 0 填一填 例2 试探索一元二次方程 x2 + px + q = 0 ( p2 – 4q≥0). 的根与系数的关系. 解： 典例精析 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根是 x1，x2， 那么 （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2 - 4ac≥0. 一、直接运用根与系数的关系 例3 不解方程，求下列方程两根的和与积. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 2 在使用根与系数的关系时，应注意： （1）不是一般式的要先化成一般式； （2）在使用 时，注意“－ ”不要漏写. 二、求关于两根的代数式的值 例4 设 x1，x2 是方程 2x² + 4x - 3 = 0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. 解：由题意知 三、构造新方程 例3 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1. 解：(x - 2)(x - 3)=0， x2 - 5x + 6 = 0. 例4 方程 的两根的和为 6，一根为 2，求 p、q 的值. 四、求方程中的待定系数 解：若方程的另一个根为 x1，由题意得 2 + x1 = - p = 6，2x1 = q， 即 x1 = 4，p = - 6，q = 8. 1.关于 x 的方程 有一个正根，一个负根，求 m 的取值范围. 解：由已知得 即 m＞0 m - 1＜0 ∴0＜m＜1 当堂练习 2. 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 5. 解： 5(x - 2)(x - 3) = 0， 5x2 - 25x + 30 = 0. 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 当堂小结 一正根，一负根 Δ ＞0 x1x2＜0 两个正根 Δ ≥0 x1x2＞0 x1+x2＞0 两个负根 Δ ≥0 x1x2＞0 x1+x2＜0 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $