21.2 4.一元二次方程根的判别式-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

6.解：(1)根据题意，得25-a2--15+3a, 整理，得a2+3a-40=0,即(a+8)(a-5)=0, ∴.a+8=0或a-5=0, .a1=-8,a2=5, 即a的值为-8或5. (2)根据题意，得25-3a2+(-15+9a)=1, 整理，得a2-3a-3=0, 则a=3±-32-4x1x(-33±2工 2×1 a3 2 即a的值为安2 7.解：(1)a=2,b=-63,c=13, .62-4ac=(-65)2-4×2×13=108-104=4, x=-(-65)±46,5±2 2×2 4 2,=36-1 1=35+1 2 1m-31=36+1_35-1 2 =1, 2 故方程2x2-65x+13=0是“邻近根方程” (2),'a=3,b=m-2,c=-m-1, .b2-4ac=(m-2)2-4×3×(-m-1)=(m+4)2≥0， x=2-m±√Cm+4)22-m±(m+42 2×3 6 名=1，南2=-m+1 3 :关于x的方程3x2+(m-2)x-m-1=0是“邻近根 方程”， …1+ 1+01或1+-1， 解得m=-1或m=-7, 即m的值为-1或-7. 专题2一元二次方程的解法 1.解：(1)4x2-25=0, 442=25,2=25, 5 小=2为=-2 (2)(4+1)2-5=0.(4+1)2=9 直接开平方，得4+1=±手， 解得=立=一品 7 2.解：(1)x1=2+6,x2=2-√6. 21红=年 3 ○参考答案及解析 3.解：(1)(x+1)(x-2)=0, ∴.x+1=0或x-2=0 名1=-1，x2=2. (2)(3x+x-1)(3x-x+1)=0 (4x-1)(2x+1)=0, .4x-1=0或2x+1=0, 1 1 六1=4=-2 4.解：(1)a=1,b=-1,c=-2, 62-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9>0, x=-b±yBP-4ae-1±51±3 2a 2×1 2 即x1=2,x2=-1. （2)原方程整理，得2-3x-子=0 :a=1,b=-3,c=-4, 1 8-4c=(-3)2-4×1×(-4）=10>0, 六x=-b±YP-4ae-3±10 2a 2×1 即3+3 2 (3)a=1,b=-25,c=-4, b2-4ac=(-25)2-4×1×(-4)=36>0, 六x=-b±F-4ae_25±3625±6 2a 2×1 2 即x1=√5+3，x2=5-3. 4.一元二次方程根的判别式 【基础巩固练】 1.-152.-23.B 4.C[解析]由题知4=（-1)2-4(k2+2)=-4k2-7<0, 所以方程没有实数根 5.B 6.D[解析]由题意，得4=16+4k.-6<k<0, ∴.当-6<k<-4时，△<0，方程没有实数根；当k=-4时， △=0，方程有两个相等的实数根；当-4<k<0时，△>0，方 程有两个不相等的实数根.故D项符合题意 7.证明：4=b2-4ac=(m+5)2-4(3m-1)=(m-1)2+ 28>0, ∴.关于x的方程x2+（m+5)x+3m-1=0恒有两个不相 等的实数根 8.D 9.D[解析]根据题意，得4=22-4a>0,解得a<1,所以a 可以取0. 10.m>8 1 11.(1)证明：因为4=[-(m+2)]2-16(m-2) =m2-12m+36=(m-6)2≥0， 所以方程总有两个实数根， ·9· 同步练测·九年级数学·上册·华师版 (2)解：解方程(m-2)x2-(m+2)x+4=0, 解得元2=1 因为m为正整数，方程的两个根为不相等的正整数 所以m=3或m=4. 【能力提升练】 4 1.D2.C3.m≤3 4.5或6[解析]①当m、n为腰时，m=n,:m、n是关于x的 一元二次方程x2-8x+21-k=0的两个实数根，方程有 两个相等的实数根，.△=(-8)2-4×1×(21-k)=0,解 得k=5;②当m和3（或n和3）是腰时，m=3(或n=3),把 x=3代入方程，得9-24+21-k=0,解得k=6.综上可知， k=5或6. 5.1或2[解析]：直线y=-x+m不经过第一象限，.m≤ 0,分情况求解如下：①当m=0时，关于x的方程mx2+x+ 1=0是一元一次方程，只有一个实数根；②当m<0时，关 于x的方程m2+x+1=0是一元二次方程，且△=12-4m >0,有两个不相等的实数根.综上所述，关于x的方程 mx2+x+1=0的实数根的个数为1或2. 6.解：(1)根据题意，得4=(-4)2-4(3-a)>0, 解得a>-1. (2)由(1)知a>-1,所以a的最小整数值为0， 此时方程为x2-4x+3=0, 分解因式，得(x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,2=3. 7.(1)证明：(x-1)(x-2k)+(k-1)=0, 整理，得x2-(2k+1)x+2+k=0. :a=1,b=-(2k+1),c=2+k, .4=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×(2+k)=1>0, ∴.该一元二次方程总有两个不相等的实数根 (2)解：.x2-(2k+1)x+k2+k=0, 六x=-b±y-4ae_26+1±1 2a 2 ∴，x1=k,x2=k+1. ①当x=k为对角线的长时，易知k2=(k+1)2+32, 解得k=-5(不符合题意，舍去)； ②当x=k+1为对角线时，易知(k+1)2=k2+32, 解得=4.综上所述，k的值为4. 8.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由： 把x=-1代入方程，得a+c-2b+a-c=0, ∴.a=b,∴.△ABC是等腰三角形 (2)△ABC是直角三角形.理由： 根据题意，得△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, .b2+c2=a2. ∴.△ABC是直角三角形 (3),·△ABC是等边三角形， ∴.a=b=c. .方程化为x2+x=0, 解得1=0，x2=-1. ·10· 5.一元二次方程的根与系数的关系 【基础巩固练】 1.A2.D3.A 4.-2[解析]：方程x2-2x-5=0的两根分别为1、， .1+x2=2,x12=-5,.（名1+1)(2+1)=1x2+ x1+x2+1=-5+2+1=-2. 5.解：)-2.(2)2(3)6 6.D[解析]：方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a、 b,∴.a+b=7,ab=5,.y=5x+7,.该一次函数的图象经过 第一、第二、第三象限，不经过第四象限 7.29[解析]方程x2-5x-24=0中的两根分别为a、b, a+b=5,a2-5a-24=0,a2-5a=24,a2-4a+b= a2-5a+a+b=24+5=29. 8.-3[解析]：α、B是方程x2-2x+k=0的两个实数根， 4=（-2)2-4k≥0，解得k≤1.aB是方程x2-2x+k =0的两个实数根，a2-2a+k=0,a+B=2,a2-2a= -ka2-a+B=5,.2-2a+a+B=5,.-k+2=5, ∴.k=-3. 9.解：根据题意，得4=(2k+1)2-4(2-2)≥0， 解得≥是 x1+2=-(2k+1),x1x2=2-2, 而x克+x2=11, 六.(x1+2)2-2x12=11, 即(2k+1)2-2(k2-2)=11. 整理，得2+2k-3=0,解得k1=-3,k2=1. 又：≥-孕4=1. 【能力提升练】 1.C[解析]：(x-1)(x+2)=p2,.x2+x-2-p2=0, .b2-4ac=1+8+4p2=9+4p2>0,.方程有两个不相等 的实数根.·方程的两个根的积为-2-p2<0,∴.该方程有 一个正根，一个负根 2.A[解折]由题易知n≠0，m≠1，m≠将9r2+ 2026m+5=0支瑟，得5()+2026×+9=0 又：5m2+2026m+9=0,.m与为方程52+2026x+9 =0的两个解m·。=号中只=号 3.(-2,15) 4,解：x1、x2是方程(m-1)x2+2mx+2=0的两个根， +场名m 12 .号+经+1+购=2， +++幻=2，心2 即+22-24+1+=2， x12同步练测·九年级数学·上册·华师版 4.一元二次方程根的判别式 [答案P9] 《基础巩固练。 知银点@一元二次方程根的判别式 知跟点③利用根的判别式确定字母的值或取值 ①一元二次方程x2-x+4=0的根的判别式的值 范围 是 8(遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2 包若关于x的一元二次方程7+(m-2)x+m2- 3x+m+1=0有实数根，则实数m的取值范围 是 () 0的根的判别式的值为8，则m的值是 知限息②利用根的判别式判断一元二次方程根 Am<各B.m≥子Cm> 4 Dm≤ 4 的情况 9(兰州中考)若关于x的一元二次方程x2+2x+ 3(广安中考)关于x的一元二次方程x2+3x+1 a=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是 =0的根的情况是 ()》 A.没有实数根 A.3 B.2 C.1 D.0 B.有两个不相等的实数根 10(上海中考)一元二次方程2x2+x+m=0没有 C.有两个相等的实数根 实数根，那么m的取值范围是 D.无法确定 11(河南郑州期中)已知关于x的一元二次方程 4(广州中考)关于x的方程x2-x+2+2=0根 (m-2)x2-(m+2)x+4=0. 的情况为 (1)求证：方程总有两个实数根； A.有两个相等的实数根 (2)如果m为正整数，且方程的两个根为不相等 B.有两个不相等的实数根 的正整数，求m的值. C.没有实数根 D.只有一个实数根 5下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是 ( ) A.x2-8=0 B.x2-4x+4=0 C.2x2+3=0 D.x2-2x-1=0 6已知关于x的一元二次方程x2+4x-k=0,当 -6<k<0时，该方程根的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.以上都有可能 7已知关于x的方程x2+(m+5)x+3m-1=0. 求证：方程恒有两个不相等的实数根。 280 第21章 一元二次方程 《能力提升练。 [答案P10] ①（安徽中考）下列方程中，有两个不相等的实数7已知关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)+ 根的是 k(k-1)=0. A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 数根； 2(北京中考)若关于x的一元二次方程ax2+ (2)若该方程的两个根x1、x2是一个矩形的一边 2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值 长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试 为 求k的值， A.-4B.-1 .1 D.4 3若关于x的方程mx2-4x+3=0有实数根，则m 的取值范围是 4已知m、n、3分别是等腰三角形三边的长，且m、 n是关于x的一元二次方程x2-8x+21-k=0 的两个实数根，则k的值为 5在平面直角坐标系中，若直线y=-x+m不经 过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1=0的 实数根的个数为 8[核心素养]已知关于x的一元二次方程(a+ 6已知关于x的方程x2-4x+(3-a)=0有两个 c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为 不相等的实数根 △ABC三边的长. (1)求a的取值范围； (1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的 (2)当a取满足条件的最小整数值时，求方程 形状，并说明理由； 的根. (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二 次方程的根。 629