专题04 根的判别式11类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“通法归纳+11类题型精讲”构建根的判别式完整训练体系，聚焦核心解法与跨模块融合，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心总结|明确二次项系数非0、判别式约束底线，围绕根的判定、参数求解等四大方向|从概念本质到应用原则，构建判别式使用基础逻辑| |11类题型|每类含典例+3-4变式|分类型提炼解法（如含参需联立a≠0与判别式，几何综合需列方程判存在性）|从不含参到含参，从代数到函数几何融合，逐步提升综合应用能力| |压轴挑战|16道综合题|综合判别式与韦达定理、新定义等，强化复杂问题推理与模型构建|对接中考压轴考法，培养批判性思维与问题解决能力|

专题04 根的判别式11类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、不含参一元二次方程判定根的情况 2 类型二、含参数一元二次方程判定根的情况 2 类型三、二次项系数为定值：由根的情况求参数取值范围 6 类型四、二次项系数含参数：由根的情况求参数取值范围 8 类型五、已知方程有整数根求参数 12 类型六、判别式与代数式化简、最值综合 14 类型七、判别式与函数交点问题融合应用 18 类型八、判别式结合几何图形（面积、存在性、动点） 21 类型九、判别式与韦达定理（根与系数关系）综合大题 28 类型十、分类讨论：未指明方程类型的根的判定 33 类型十一、与根的判别式有关的新定义问题 36 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程根的判别式是初中代数衔接方程、函数、几何的核心工具，全部题型围绕根的虚实判定、参数范围求解、代数式综合、跨模块融合四大核心方向展开，解题严守两条不可逾越的底线原则：一是明确为一元二次方程时，二次项系数必须不为 0；二是讨论实数根的所有题型，必须附加判别式约束，多条件限制取解集交集，求出的参数最终务必回代原式合规检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、不含参一元二次方程判定根的情况 典例精讲1（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有实数根，将各选项方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A 选项：方程，，方程无实数根； B 选项：方程，，方程无实数根； C 选项：方程，，方程无实数根； D 选项：整理方程得，，方程有实数根． 题型归纳 1.特征：方程中a、b、c均为确定常数，无字母参数，不解方程直接判断方程实数根的个数。 2.方法： ① 整理方程为标准一般形式 (a≠0)； ② 代入公式计算； ③ 根据△符号判定：→两个不相等实数根；→两个相等实数根；→无实数根。 3.易错提醒：代入b值时忽略负号；展开移项整理一般式时符号出错；平方、乘积运算计算失误。 变式训练1（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：由题意知， ∴， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 变式训练2（25-26九年级上·青海·阶段检测）方程的根的判别式 ______，这个方程根的情况为______． 【答案】 有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的计算及方程根的判断，注意当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程没有实数根． 直接把方程中的、、代入判别式进行计算，再根据判别式的正负情况判断根的情况即可． 【详解】解：方程中，，， 所以， 所以该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：；有两个不相等的实数根． 变式训练3（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 类型二、含参数一元二次方程判定根的情况 典例精讲2（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 题型归纳 1.特征：方程的一次项系数、常数项（或二次项系数）带有字母参数，不解方程直接判断方程实数根的个数 2.方法：同上 3.易错提醒：代入系数时忽略前面的符号 变式训练1（25-26九年级上·河南漯河·期末）关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，将方程化为一般式，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：原方程化为一般形式：. 判别式， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 变式训练2（25-26九年级上·河南·期末）已知，为常数，且点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，也考查了点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 先利用第四象限点的坐标特征得到，然后判断出，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 变式训练3（25-26九年级上·广东阳江·期末）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 变式训练4（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况_____． 【答案】当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根 【分析】本题考查根据一元二次方程根的判别式，计算判别式并判断其符号，从而确定根的情况． 【详解】解：， ， ∴当 时，，方程有两个不相等的实数根； 当 时，，方程有两个相等的实数根． 故答案为：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根． 类型三、二次项系数为定值：由根的情况求参数取值范围 典例精讲3（25-26九年级上·河南许昌·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可求出m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 题型归纳 1.特征：二次项系数是固定常数，仅一次项或常数项含有参数，根据根的数量（两个不等 / 两个相等 / 无实根）求参数 2.方法： ① 计算判别式的含参表达式； ② 根据题意列不等式：两个不等实根，两个相等实根，无实根； 变式训练1（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， 其中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式训练2（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数即可，掌握相关知识是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件，判别式大于或等于零． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 判别式 ， 由 ，得 ，即 ， 所以 ． 故答案为： ． 变式训练3（25-26九年级上·山西晋中·期末）若关于x的一元二次方程无实数解，请你写出一个符合题意的k的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式需小于零，计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数解， ∴， 解得：， ∴符合题意的k的值是， 故答案为：（答案不唯一）． 变式训练4（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程有实数根的条件，判别式大于等于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：在一元二次方程中，，， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 类型四、二次项系数含参数：由根的情况求参数取值范围 典例精讲4（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是___________ 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 题型归纳 1.特征：二次项系数本身带有字母，题干明确该方程为一元二次方程，依托根的限定求参数范围。 2.方法：联立双重约束条件取交集： ① 硬性前提：二次项系数a≠0； ② 根据根的要求列的不等式； ③ 求两个条件解集的公共部分，最终写出取值范围。 3.易错提醒：遗漏a≠0核心限制条件；不等式组取交集出错；分式、根式参数附带隐藏定义域忽略。 变式训练1（25-26九年级上·重庆黔江·期末）已知，满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查非负数的性质、一元二次方程的根的判别式的应用．关键是先利用非负数的性质求出、的值，再根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式，进而联立求解的取值范围． 【详解】：解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴关于的一元二次方程为， ∵该方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 变式训练2（26-27九年级上·广东深圳·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，注意要分类讨论，对一元一次方程和一元二次方程分别解答． 根据方程有实数根，需考虑一元二次方程判别式或一次方程的情况，分别讨论 和 时的条件 【详解】解：当 时，方程 为一元二次方程， 由题意得：， 由 得 ，解得 ； 且， 当 时，方程化为 ， 有实数根 ； 综上，． 故答案为 ． 变式训练3（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有实数解，需考虑方程类型：当 时，方程为一次方程，有解；当 时，方程为一元二次方程，需判别式非负，同时，根号内表达式要求． 【详解】解：由方程中可知，， 分以下两种情况讨论： 当，即时，方程为， 解得，有实数解； 当，即时，方程为一元二次方程， 判别式， 由，得，即． 综上所述，． 故答案为：． 变式训练4（25-26九年级上·重庆·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，判别式需大于等于零，且二次项系数不为零；根据直线经过第一、二、三象限的条件，可知．综合这些条件求出整数的值，并计算它们的和． 【详解】解：方程 为一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 且； 直线经过第一、二、三象限， ， 解得：， 且， 又为整数， 为 ，，， 它们的和为 ． 故答案为： 类型五、已知方程有整数根求参数 典例精讲5（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系，通过因式分解得到整数根的可能组合，再求出整数的值． 【详解】解：设方程的两个整数根为，（令）， 根据根与系数的关系，得，， 将两式相减，得，，即， 由于，是整数，因此，也是整数，且乘积为5， 当时，，或当时， 解得： ，，或，， ， 或， 故答案为：或． 变式训练1（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知关于x的方程的根是正整数，则整数m的值为______． 【答案】或或或或或 【分析】分原方程为一元一次方程和一元二次方程进行讨论即可． 【详解】解：当时，即时， 原方程为， 解得：，符合题意； 当时，， 因式分解得：， ∴或， 当时，，原方程无解； 当时，， ∴时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 综上所述：m的值为或或或或或时，原方程的根为正整数， 故答案为：或或或或或． 【点睛】本题考查了根据方程的解的情况确定系数的范围，读懂题意，分原方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况进行讨论是解本题的关键． 变式训练2（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）下列方程中，有两个整数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程根的判别式，逐一分析各选项方程的根是否为整数，并判断是否满足“两个整数根”的条件． 【详解】解：A、展开得，解得，不是整数，不符合题意； B、因式分解为，解得（两个相等的整数根），符合题意； C、解一次方程得，仅一个整数根，不符合题意； D、判别式，根为，含无理数，不符合题意． 故选：B． 变式训练3（22-23九年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元二次方程有两个整数根，则整数的值是___________． 【答案】 【分析】若一元二次方程有有两个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个整数根， ∴且， 解得，且， 方程的根为， 根据根与系数的关系可得为整数，也为整数，且为整数， ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 类型六、判别式与代数式化简、最值综合 典例精讲6（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知实数x，y满足，则的最大值______． 【答案】 【分析】本题主要考查了在约束条件下求函数最值的方法、一元二次方程根的判别式及二次函数的最值，掌握判别式法是解题的关键．设，则，可得，根据判别式得出，即可求出的最大值为，即可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， 整理得：， ∵方程有实数根， ∴，即， ∴， ∴的最大值为，即的最大值为． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：给出方程有实数根，先用锁定参数取值区间，再对含参数代数式化简、配方求最大或最小值。 2.方法： ① 由方程有实根得，解出参数取值范围； ② 将目标代数式配成顶点式； ③ 在参数限定区间内求取对应最值。 3.易错提醒：求代数式最值时脱离参数取值范围约束；配方展开计算错误。 变式训练1（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知实数a、b、c满足，，且，则c的最大值为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点，根据题意构造出一元二次方程成为解题的关键． 先根据题意构造出一元二次方程，然后根据题意运用根的判别式列出不等式求解即可． 【详解】解：设a和b是方程 的两根， ∴， ∵，， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴ ， 即， ∴， ∴， 当时，，此时方程有实数根， ∴的最大值为7． 故答案为：7 变式训练2（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知实数、、满足：，，且，令，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键．由题意可得实数、是关于的一元二次方程的两个根，进而得到，，，结合求出，再将这个式子化简，即可求解． 【详解】解：实数、、满足：，， 实数、是关于的一元二次方程的两个根， ，，， ， ， ，即， ， ， ， 的取值范围是， 故答案为：． 变式训练3（2025·重庆·模拟预测）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，二元一次方程组，解题的关键是掌握：是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．先把方程组的两个方程相加得到，则，从而得到，再根据根的判别式的意义得到，则可求出的值，然后计算的值． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴， 即的值为． 故答案为：． 变式训练4（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数满足：．求的最小值_______________ 【答案】6 【分析】用分类讨论的思想，解决问题即可． 【详解】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即，，由题设知， 且，， 于是b，c是一元二次方程的两实根， ∴，即， 所以． 又当，时，满足题意． 故a，b，c中最大者的最小值为4． 因为，所以a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与矛盾． ②若a，b，c为或一正二负， 不妨设，，，则， ∵， 故， 当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目． 类型七、判别式与函数交点问题融合应用 典例精讲7（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）若关于的函数与坐标轴有两个交点，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质以及二次函数判别式的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的定义、二次函数与轴交点和判别式的关系是解题的关键．本题需分情况讨论函数类型，即一次函数和二次函数两种情况，根据函数与坐标轴交点的特点来确定的值． 【详解】解：当函数为一次函数时， ， 解得， 此时函数为，与轴有一个交点，与轴有一个交点，满足与坐标轴有两个交点． 当函数为二次函数时， ，即， 函数与轴一定有一个交点， ∵函数与坐标轴有两个交点， ∴与轴有一个交点， 对于二次函数（），判别式时，与轴有一个交点， 在中，，，， ∴，即， ， ， 解得． 综上，的值为或． 故答案为：或． 题型归纳 1.特征：判断抛物线与x轴交点个数、抛物线与一次函数直线交点个数，转化为一元二次方程根的问题。 2.方法： ① 联立两个函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程； ② 计算判别式，由符号判定交点数量； ③→两个不相等实数根；→两个相等实数根；→无实数根 3.易错提醒：联立方程整理一般式时符号出错；混淆抛物线与x轴、抛物线与任意直线的联立逻辑 变式训练1（2025·河南信阳·三模）若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别是进行求解．联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，根据，列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：由，得：， 整理得：， ∵两个函数与的图象有且只有一个交点， ∴， 即， 解得：，． 故答案为：或． 变式训练2（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 【答案】 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 变式训练3（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中有抛物线和直线．当取何值时，抛物线与直线没有公共点？ 【答案】当时，抛物线与直线没有公共点． 【分析】令，整理得，根据判别式的意义得到，则抛物线与直线没有公共点． 【详解】解：由题意，得 消去，得． 若抛物线与直线没有公共点，则， 解得， 当时，抛物线与直线没有公共点． 【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点，解题的关键是把求二次函数与一次函数的交点问题转化为一元二次方程根的问题． 类型八、判别式结合几何图形（面积、存在性、动点） 典例精讲8（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 【答案】(1)直角三角形 (2)6 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，运用根的判别式可得，由此可得，由勾股定理逆定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作延长线于点，根据角平分线的定义和性质可得，，，可证，可得，即一元二次方程两个根相等，再根据根的判别式进行计算，最后根据图形的性质检验根的情况，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程化为一般式为： ∴，整理得，， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，过点作于点，作延长线于点， ∵平分， ∴，且， 由（1）可得，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵、为方程的两根， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原方程为， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 解得，，即，符合题意； ∴的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程判别式，勾股定理逆定理判定直角三角形性质，角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用，理解并掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，合理作出辅助线是解题的关键． 题型归纳 1.特征：几何动点问题，设线段长度、边长为未知数，根据面积、垂直、等腰、相切等几何条件列二次方程，用判别式判定点 / 图形是否存在。 2.方法： ① 根据几何公式（面积、勾股定理、相似等）列出一元二次方程； ② 利用判断动点、图形是否具备存在性； ③ 结合几何实际意义（边长 > 0、长度为正）筛选有效参数。 3.易错提醒：几何等量关系列式错误；忽略线段长度必须大于 0 的隐含条件；最终解未检验几何合理性。 变式训练1（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于C，E两点． 【问题解决】 (1)求关于x的函数解析式； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； (3)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．当水池3与水池2的面积相差2时，都有唯一值，直接写出的值． 【答案】(1) (2)两个水池面积差的最大值为，此时x的值为 (3)的值为或 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质，求函数解析式，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相差2列出方程，由都有唯一值，求解即可． 【详解】（1）解：由图象得，经过点C，E， 点C的横坐标为1，点E的横坐标为4， 当时，，当时，， ，， 经过点，， ，解得， ； （2）由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， ， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为； （3）水池3与水池2的面积相差为2，， 或， 整理得，或， 有唯一值， 或， 解得，或， 答：的值为或． 变式训练2（2025九年级上·河南南阳·专题练习）如图所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为、宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为． (1)用含的式子表示花圃的面积 ； (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； (3)已知某园林公司修建通道的单价是元，并且通道宽的值能使关于x的方程有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于且不超过，如果学校决定由该公司承建此项目，求修建该通道的总费用为多少． 【答案】(1)； (2)通道的宽为； (3)修建的通道的总费用为元． 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用含的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列方程解答即可； （）由方程有两个相等的实根，得，所以，，又，得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：花圃的面积是： 故答案为：； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽为； （3）解：∵方程有两个相等的实根， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时， ， 总费用（元）， 答：修建的通道的总费用为元． 变式训练3（25-26九年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【答案】 （1）长为2，宽为； （2）存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 【分析】本题考查了矩形、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． （1）已知矩形的长为6，宽为1，设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为，根据矩形的面积公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，建立方程组，化简可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：（1）已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 类型九、判别式与韦达定理（根与系数关系）综合大题 典例精讲9（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 题型归纳 1.特征：解答题必考组合题型，先用判别式划定参数取值范围，再借助两根之和、两根之积整体代换对代数式求值、变形。 2.方法： ① 第一步列约束组，确定参数取值范围； ② 写出韦达定理：； ③ 将所求代数式变形为含x1+x2、x1x2的形式整体代入计算； ④ 在参数范围内选取合规数值作答。 3.易错提醒：跳过范围检验直接使用韦达定理；两根之和公式遗漏负号；代数式恒等变形出错 变式训练1（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 【答案】(1) 证明： ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴为非负数； (2) 解：该一元二次方程没有整数解，理由如下： 设关于x的一元二次方程的整数解为， 则 移项得 ∵为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数． ①若为奇数，则为奇数， ∵为奇数，为奇数， ∴为奇数，为奇数， ∴奇数－奇数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意； ②若为偶数，则为偶数， ∵为奇数，为奇数， ∴为偶数，为偶数， ∴偶数－偶数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意． 综上，无论为奇数或偶数都矛盾，故该一元二次方程没有整数解． 【分析】此题考查了根的判别式和方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． （1） 根据一元二次方程有实数根的性质，利用根的判别式即可证明结论． （2）假设方程有整数解，将其代入方程，结合奇数与偶数的运算性质，分情况讨论推导矛盾，进而判断方程是否有整数解． 【详解】（1）略 （2）略 变式训练2（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据根与系数的关系可得出，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：∵， ∴的最小整数值为2．   把代入方程，得 ，    ． （3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴的周长为． 变式训练3（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知平行四边形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形？ (2)若，求的值． 【答案】(1) 当时，四边形是菱形 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、菱形的性质、解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识点． （1）由题意得出当时，平行四边形为菱形，从而得到，求出m的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，将化简为，代入可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， 当时，平行四边形为菱形， 的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， 整理得：， 解得：， 当时，四边形为菱形； （2）解：的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ，即 整理得：， 解得：或， 边长为正数， 它们的和， 当时，不符合题意，应舍去， ． 类型十、分类讨论：未指明方程类型的根的判定 典例精讲10（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：题干仅表述 “关于x的方程”，未明确是一元二次方程，需要分一次方程、二次方程两类完整讨论。 2.方法： ① 分类一：二次项系数=0，方程退化为一元一次方程，必有且只有一个实数根； ② 分类二：二次项系数≠0，为一元二次方程，计算判断根的三种情况； ③ 最后整合两类所有情况，写出完整结论。 3.易错提醒：直接默认是一元二次方程，漏掉一次方程分类讨论；两类结论汇总不完整。 变式训练1（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，求一元一次方程的解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分、两种情况讨论，分别求得的取值范围． 【详解】解：当时，原方程为，有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴，解得：， 综上所述，的取值范围是， 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）若关于变量x的方程有且仅有一个实根，则______． 【答案】3或7/7或3 【分析】本题主要考查了方程的根，分类讨论是解题的关键； 方程有且仅有一个实根需分两种情况讨论：当二次项系数为零时为一元一次方程，有一个实根；当二次项系数不为零时为一元二次方程，判别式为零． 【详解】解：方程 ， 当 即 时，方程化为 ，解得 ，有且仅有一个实根． 当 即 时，方程为一元二次方程， 判别式 ． 令 ，得 ，即 ，整理得 ， 解得 ． 验证 时，，符合条件． 故 答案为： 3 或 7． 变式训练3（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于的方程有实数根．则整数的最大值是__________． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，本题可分情况讨论方程是一元一次方程和一元二次方程时的情况，根据方程有实数根的条件来确定整数的最大值，即可． 【详解】解：第一种情况： 当方程是一元一次方程时，，即时， 原方程化为， 这是一元一次方程，有唯一实数根符合题意； 第二种情况： 当方程是一元二次方程时，，即时，原方程有实数根是一元二次方程， 计算： ， 因为方程有实数根， 所以，即， 解得， 又∵是整数且， ∴此时的最大整数值为， 当时方程有实数根； 当时，最大整数值为； ∵， ∴整数的最大值是． 类型十一、与根的判别式有关的新定义问题 典例精讲11（2025·贵州遵义·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据新定义将方程转化为一元二次方程，利用判别式求参数范围即可． 本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：由新定义得 ， 整理，得， 故． 由方程有实数根， 则判别式， 解得． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：题干自定义新概念、新运算（如友好方程、和谐根、判别式衍生定义等），依托的规则完成推理、计算、证明。 2.方法： ① 精读题干，拆解新定义的判定规则与数学表达式； ② 套用判别式公式，结合定义列等式或不等式； ③ 解方程 / 不等式，回代验证是否符合自定义约束条件。 3.易错提醒：曲解新定义文字规则；只套用判别式忽略题目附加限定；检验步骤缺失。 变式训练1（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式等知识，根据新运算定义，将方程转化为一元二次方程，利用根的判别式求参数范围即可． 【详解】解：由新运算定义，，得， 故方程化为， 由于该方程有两个实数根， ∴判别式， 解得． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·四川泸州·期中）我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】5或1 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据新运算将方程转化为标准一元二次方程，再利用判别式求解． 先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，再利用一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质求解的值． 【详解】根据新运算， 将方程转化为， 整理得， 此方程的判别式， 因方程有两个相等实数根，故， 即， 提取公因式得， 解得或， 验证可知或均满足条件． 故答案为：1或5． 变式训练3（2024·湖南·模拟预测）定义：如果两个函数的图象上分别存在唯一的一个点，这两点关于x轴对称，则称这两个函数是“有关系的”．若一次函数与二次函数是“有关系的”，则t的值为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了新定义“有关系的”函数及一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是利用关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标相同，纵坐标互为相反数）建立方程，再结合“唯一的点”转化为一元二次方程有唯一解（判别式为0）求解． 设一次函数上的点为，则二次函数上与之关于x轴对称的点为；利用两点分别在两个函数上，代入解析式得到方程组，消元后得到关于的一元二次方程；根据“唯一的点”可知方程有唯一解，即判别式为0，从而求出的值． 【详解】解：设一次函数上的点为，则． ∵该点与二次函数上的点关于x轴对称， ∴二次函数上的对应点为，代入二次函数得：． 将代入，得：， 整理得：． ∵两个函数是“有关系的”，即存在唯一的点， ∴该一元二次方程有唯一解，判别式． 其中，，， ，解得：． 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，根据根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，即． 解得且． 2．（25-26九年级上·河南信阳·期末）定义运算：，．例如：，，若方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】方程可转化为，再利用一元二次方程根的判别式确定m的取值范围，最后结合选项选出符合条件的m值． 【详解】∵，， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 只有1在范围内，即m的值可能是1． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：设方程的两根为、，且，， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴，即， ∴，解得， 又判别式， 当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件； 综上，的取值范围是． 4．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出，对各个图象进行判断即可． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 解得， A．由函数图象可得，，即，故A不正确； B．由函数图象可得，，即，故B正确； C．由函数图象可得，，即，故C不正确； D．由函数图象可得，，即，故D不正确． 故选：B． 5．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：B． 6．（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 8．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程_________（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 【答案】没有 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意；根据新定义运算，将方程转化为一元二次方程，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴此方程没有实数根． 故答案为：没有． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第________象限． 【答案】二 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一次函数图象与系数的关系．由一元二次方程没有实数根可得判别式小于零，从而求出的取值范围，再根据一次函数的斜率与截距判断直线所经过的象限． 【详解】解：∵ 一元二次方程 没有实数根， ∴ 判别式 ， 解得 ， ∵ ， ∴ 一次函数 中，斜率，截距， ∴直线经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 11．已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，则a的值为______； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为______； （3）若该方程没有实数根，则a的取值范围为______； （4）若该方程有实数根，则a的取值范围为______． 【答案】 4 且 且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义进行求解作答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：4． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得且， ∴a的取值范围为且， 故答案为：且． （3）解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． （4）∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得且． ∴a的取值范围为且， 故答案为：且． 12．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 13．（24-25九年级上·福建泉州·期末）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的一元二次方程是“限根方程”，且为小于3的整数，求的值； (3)若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是 (2)的值为2 (3)的取值范围为或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根的大小比较； （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断即可； （2）根据题意可得关于一元二次方程有两个不同的实数根，则，解得，再结合为小于3的整数，得到或2，再分两种情况讨论，根据“限根方程”的定义进行判断，即可求解； （3）利用因式分解法解方程得到，，再根据“限根方程”的定义分情况讨论，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解： 解得，， ，， 一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是； （2）解：由题意得，关于一元二次方程有两个不同的实数根， 则， 解得， 为小于3的整数 可为、， 当时，方程化为， 解得，， 则， ， 方程不是“限根方程”，不符合题意，舍去； 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”，符合题意； 综上所述，的值为2； （3）解：， 解得方程的两根为和， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 14．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及判别式的应用．先将方程化为标准形式，再根据两根之和与两根之积互为相反数列出方程求解，最后利用判别式检验，即可求解． 【详解】解：方程化为 设两根为，，则， 由题意， ∴ 解得或 又判别式 ∴ 因此 15．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 【答案】 证明：∵， 又∵恒成立， ∴， ∴不论m取何值，方程都有实数根． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并证明其始终非负是解题的关键． 首先通过计算判别式，再证明其始终非负从而得出方程总有实数根． 【详解】略 16．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． （1）令，利用根的判别式进行判断即可； （2）令，利用根与系数的关系得出，，，根据，代入得到关于的方程，解方程即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． （2）解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． （3）当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 根的判别式11类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、不含参一元二次方程判定根的情况 1 类型二、含参数一元二次方程判定根的情况 2 类型三、二次项系数为定值：由根的情况求参数取值范围 3 类型四、二次项系数含参数：由根的情况求参数取值范围 3 类型五、已知方程有整数根求参数 4 类型六、判别式与代数式化简、最值综合 4 类型七、判别式与函数交点问题融合应用 5 类型八、判别式结合几何图形（面积、存在性、动点） 6 类型九、判别式与韦达定理（根与系数关系）综合大题 8 类型十、分类讨论：未指明方程类型的根的判定 9 类型十一、与根的判别式有关的新定义问题 10 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程根的判别式是初中代数衔接方程、函数、几何的核心工具，全部题型围绕根的虚实判定、参数范围求解、代数式综合、跨模块融合四大核心方向展开，解题严守两条不可逾越的底线原则：一是明确为一元二次方程时，二次项系数必须不为 0；二是讨论实数根的所有题型，必须附加判别式约束，多条件限制取解集交集，求出的参数最终务必回代原式合规检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、不含参一元二次方程判定根的情况 典例精讲1（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：方程中a、b、c均为确定常数，无字母参数，不解方程直接判断方程实数根的个数。 2.方法： ① 整理方程为标准一般形式 (a≠0)； ② 代入公式计算； ③ 根据△符号判定：→两个不相等实数根；→两个相等实数根；→无实数根。 3.易错提醒：代入b值时忽略负号；展开移项整理一般式时符号出错；平方、乘积运算计算失误。 变式训练1（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 变式训练2（25-26九年级上·青海·阶段检测）方程的根的判别式 ______，这个方程根的情况为______． 变式训练3（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 类型二、含参数一元二次方程判定根的情况 典例精讲2（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 题型归纳 1.特征：方程的一次项系数、常数项（或二次项系数）带有字母参数，不解方程直接判断方程实数根的个数 2.方法：同上 3.易错提醒：代入系数时忽略前面的符号 变式训练1（25-26九年级上·河南漯河·期末）关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 变式训练2（25-26九年级上·河南·期末）已知，为常数，且点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 变式训练3（25-26九年级上·广东阳江·期末）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 变式训练4（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况_____． 类型三、二次项系数为定值：由根的情况求参数取值范围 典例精讲3（25-26九年级上·河南许昌·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 题型归纳 1.特征：二次项系数是固定常数，仅一次项或常数项含有参数，根据根的数量（两个不等 / 两个相等 / 无实根）求参数 2.方法： ① 计算判别式的含参表达式； ② 根据题意列不等式：两个不等实根，两个相等实根，无实根； 变式训练1（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是_________． 变式训练3（25-26九年级上·山西晋中·期末）若关于x的一元二次方程无实数解，请你写出一个符合题意的k的值是______． 变式训练4（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是________． 类型四、二次项系数含参数：由根的情况求参数取值范围 典例精讲4（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是___________ 题型归纳 1.特征：二次项系数本身带有字母，题干明确该方程为一元二次方程，依托根的限定求参数范围。 2.方法：联立双重约束条件取交集： ① 硬性前提：二次项系数a≠0； ② 根据根的要求列的不等式； ③ 求两个条件解集的公共部分，最终写出取值范围。 3.易错提醒：遗漏a≠0核心限制条件；不等式组取交集出错；分式、根式参数附带隐藏定义域忽略。 变式训练1（25-26九年级上·重庆黔江·期末）已知，满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 变式训练2（26-27九年级上·广东深圳·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______． 变式训练3（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是______． 变式训练4（25-26九年级上·重庆·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为______． 类型五、已知方程有整数根求参数 典例精讲5（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 变式训练1（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知关于x的方程的根是正整数，则整数m的值为______． 变式训练2（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）下列方程中，有两个整数根的是（   ） A． B． C． D． 变式训练3（22-23九年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元二次方程有两个整数根，则整数的值是___________． 类型六、判别式与代数式化简、最值综合 典例精讲6（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知实数x，y满足，则的最大值______． 题型归纳 1.特征：给出方程有实数根，先用锁定参数取值区间，再对含参数代数式化简、配方求最大或最小值。 2.方法： ① 由方程有实根得，解出参数取值范围； ② 将目标代数式配成顶点式； ③ 在参数限定区间内求取对应最值。 3.易错提醒：求代数式最值时脱离参数取值范围约束；配方展开计算错误。 变式训练1（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知实数a、b、c满足，，且，则c的最大值为______． 变式训练2（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知实数、、满足：，，且，令，则的取值范围是________． 变式训练3（2025·重庆·模拟预测）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 变式训练4（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数满足：．求的最小值_______________ 类型七、判别式与函数交点问题融合应用 典例精讲7（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）若关于的函数与坐标轴有两个交点，则的值是___________． 题型归纳 1.特征：判断抛物线与x轴交点个数、抛物线与一次函数直线交点个数，转化为一元二次方程根的问题。 2.方法： ① 联立两个函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程； ② 计算判别式，由符号判定交点数量； ③→两个不相等实数根；→两个相等实数根；→无实数根 3.易错提醒：联立方程整理一般式时符号出错；混淆抛物线与x轴、抛物线与任意直线的联立逻辑 变式训练1（2025·河南信阳·三模）若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为_______． 变式训练2（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 变式训练3（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中有抛物线和直线．当取何值时，抛物线与直线没有公共点？ 类型八、判别式结合几何图形（面积、存在性、动点） 典例精讲8（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 题型归纳 1.特征：几何动点问题，设线段长度、边长为未知数，根据面积、垂直、等腰、相切等几何条件列二次方程，用判别式判定点 / 图形是否存在。 2.方法： ① 根据几何公式（面积、勾股定理、相似等）列出一元二次方程； ② 利用判断动点、图形是否具备存在性； ③ 结合几何实际意义（边长 > 0、长度为正）筛选有效参数。 3.易错提醒：几何等量关系列式错误；忽略线段长度必须大于 0 的隐含条件；最终解未检验几何合理性。 变式训练1（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于C，E两点． 【问题解决】 (1)求关于x的函数解析式； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； (3)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．当水池3与水池2的面积相差2时，都有唯一值，直接写出的值． 变式训练2（2025九年级上·河南南阳·专题练习）如图所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为、宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为． (1)用含的式子表示花圃的面积 ； (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； (3)已知某园林公司修建通道的单价是元，并且通道宽的值能使关于x的方程有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于且不超过，如果学校决定由该公司承建此项目，求修建该通道的总费用为多少． 变式训练3（25-26九年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 类型九、判别式与韦达定理（根与系数关系）综合大题 典例精讲9（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 题型归纳 1.特征：解答题必考组合题型，先用判别式划定参数取值范围，再借助两根之和、两根之积整体代换对代数式求值、变形。 2.方法： ① 第一步列约束组，确定参数取值范围； ② 写出韦达定理：； ③ 将所求代数式变形为含x1+x2、x1x2的形式整体代入计算； ④ 在参数范围内选取合规数值作答。 3.易错提醒：跳过范围检验直接使用韦达定理；两根之和公式遗漏负号；代数式恒等变形出错 变式训练1（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 变式训练2（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 变式训练3（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知平行四边形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形？ (2)若，求的值． 类型十、分类讨论：未指明方程类型的根的判定 典例精讲10（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 题型归纳 1.特征：题干仅表述 “关于x的方程”，未明确是一元二次方程，需要分一次方程、二次方程两类完整讨论。 2.方法： ① 分类一：二次项系数=0，方程退化为一元一次方程，必有且只有一个实数根； ② 分类二：二次项系数≠0，为一元二次方程，计算判断根的三种情况； ③ 最后整合两类所有情况，写出完整结论。 3.易错提醒：直接默认是一元二次方程，漏掉一次方程分类讨论；两类结论汇总不完整。 变式训练1（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为______． 变式训练2（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）若关于变量x的方程有且仅有一个实根，则______． 变式训练3（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于的方程有实数根．则整数的最大值是__________． 类型十一、与根的判别式有关的新定义问题 典例精讲11（2025·贵州遵义·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为________． 题型归纳 1.特征：题干自定义新概念、新运算（如友好方程、和谐根、判别式衍生定义等），依托的规则完成推理、计算、证明。 2.方法： ① 精读题干，拆解新定义的判定规则与数学表达式； ② 套用判别式公式，结合定义列等式或不等式； ③ 解方程 / 不等式，回代验证是否符合自定义约束条件。 3.易错提醒：曲解新定义文字规则；只套用判别式忽略题目附加限定；检验步骤缺失。 变式训练1（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 变式训练2（25-26九年级上·四川泸州·期中）我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 变式训练3（2024·湖南·模拟预测）定义：如果两个函数的图象上分别存在唯一的一个点，这两点关于x轴对称，则称这两个函数是“有关系的”．若一次函数与二次函数是“有关系的”，则t的值为_______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 2．（25-26九年级上·河南信阳·期末）定义运算：，．例如：，，若方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（   ） A． B． C． D．1 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 5．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 6．（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 8．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程_________（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 10．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第________象限． 11．已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，则a的值为______； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为______； （3）若该方程没有实数根，则a的取值范围为______； （4）若该方程有实数根，则a的取值范围为______． 12．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围；(2)若，求k的值． 13．（24-25九年级上·福建泉州·期末）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的一元二次方程是“限根方程”，且为小于3的整数，求的值； (3)若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围． 14．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数．求的值． 15．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 16．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $