21.2.4 一元二次方程根的判别式（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根的判别式，引导学生从判别式计算入手，先通过基础题掌握根的情况判别方法，再过渡到利用判别式确定字母取值范围，搭建从概念理解到应用拓展的学习支架，衔接方程解法与后续综合应用。 资料设计分层递进，含基础达标、能力提升及思维拓展模块，突出易错点警示与跨知识结合，如结合菱形性质构建“菱系方程”。配备视频解析辅助理解，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识，助力学生深化概念理解，提升综合解题与探究能力。

21.2.4 一元二次方程根的判别式 01基础达标 知识点一 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况 （2025・吉林） 1. 一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为( ) A. 4 B. 2 C. 0 D. －4 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 3. 下列方程没有实数解的是（　　） A. B. C. D. 4. 不解方程，判定下列一元二次方程的根的情况： （1）； （2）； （3）． 知识点二 利用根的判别式确定字母的取值或范围 5. 关于x的方程的根的判别式________，若方程有两个不相等的实数根，则m________；若方程有两个相等的实数根，则m________；若方程没有实数根，则m________． （2025・江苏） 6. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 易错点1 应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件 （2025・四川） 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 易错点2 未对方程进行分类讨论导致漏解 9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围为___________． 02能力提升 10. 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. B. 1 C. D. 11. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 12. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 13. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 03思维拓展 14. 如图，菱形中，m、n、t分别是菱形的两条对角线和边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）填空：①当时，________；②用含m、n的代数式表示_______； （2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根． 21.2.4 一元二次方程根的判别式 01基础达标 知识点一 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况 （2025・吉林） 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程判别式的公式进行计算即可. 【详解】解:在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0， ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键. 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解． 【详解】解： 一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论． 【详解】解：A．方程解为，故本选项不合题意； B．， ， 此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意； C．， ， 此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意； D．， ， 此方程无解，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． 【4题答案】 【答案】（1）此方程有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）此方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况； （2）先把方程整理为一般式，再计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． （3）先把方程整理为一般式，再计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】（1）， ， 此方程有两个相等的实数根； （2）方程化为一般形式为． ， ， 此方程没有实数根； （3）方程化为一般形式为． ， ， 此方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 知识点二 利用根的判别式确定字母的取值或范围 【5题答案】 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 【详解】解：关于的方程的根的判别式， 若方程有两个不相等的实数根，则，解得； 若方程有两个相等的实数根，则，解得； 若方程没有实数根，则，解得． （2025・江苏） 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 【7题答案】 【答案】m＝5，x1=x2=2． 【解析】 【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根． 【详解】由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得：m＝5． 当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得：x1＝x2＝2． 所以原方程的根为x1＝x2＝2． 【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 易错点1 应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件 （2025・四川） 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于k的不等式，然后求解不等式即可. 【详解】是一元二次方程， ． 有两个不相等的实数根，则， ， 解得． 且． 故选D 【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式： （1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根； （3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根. 易错点2 未对方程进行分类讨论导致漏解 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．分两种情况：当时，当时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当时，原方程为：，解得，此时有实数根， 当时，由题意可得：，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 02能力提升 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 【11题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 【12题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 【13题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是4 【解析】 【分析】（1）移项，整理化成方程的一般形式，求出根的判别式，即可判断方程根的情况． （2）把x=1代入原方程，可得出m的值，再把m的绝对值代回原方程，解出x的另一个值． 【详解】解：（1）移项整理成一般形式：，Δ==1+4， ∵≥0， ∴1+4>0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，则（1－3）（1－2）=， ∴m=±2， ∴， 故答案为：m的值是±2，方程的另一个根是4． 视频 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义． 03思维拓展 【14题答案】 【答案】（1）①；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分得出、的长，再利用勾股定理可得，从而得出答案； （2）此方程的判别式，结合可得答案． 【小问1详解】 解：①菱形中，、、分别是菱形的两条对角线和边长， 当，时，则，， 则，即， 故答案为：； ②由题意知，， 则， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：， 这里，， ∴， ∵， ∴， ∴关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是掌握菱形的性质、一元二次方程的根的判别式等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $