21.2 3.公式法&专题2 一无二次方程的解法-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

第21章一元二次方程 3.公式法 [答案P8] 《基础巩固练) 细限点@一元二次方程的求根公式 7(教材母题变式)用公式法解下列方程： ①（广东揭阳期中）用公式法解方程3x2-2x-1= (1)3y2+1=23y; 0时，正确代入求根公式的是 A.x=-(-2)±-2)2-4x3x1 2×3 B.x=-（-2)±-2)2-4x3x(-1) 3 (2)3x2+2x+1=0; C.x=-2±(-2)2-4×3×(-1) 2×3 D.x=-(-2)±/(-2)2-4x3×(-1) 2×3 2解一元二次方程ax2+bx+c=0,其中一个根为 (3)3x(x-3)=2(x-1)(x+1). x=-6±6+4 则c等于 2 A.1 B.-1 c.0 D.2 3如果关于x的一元二次方程-2x2+px+q=0能 用公式法求解，那么必须满足的条件是 知银点③用适当的方法解下列方程 如限点②公式法解一元二次方程 8用适当的方法解下列方程： ☑利用求根公式求5x+2 1 =6x的根时，a、b、c的 (1)(x+1)2-25=0; 值分别是 A5,2,6 B56,} c5,-6,号 D5,6,号 (2)x2-6x+8=0; 5用公式法解方程x2-6x+1=0,所得的根正确 的是 () A.x=-3±√10 B.x=3±√10 (3)(x+5)2=2x+10; C.x=-3±22 D.x=3±22 6用公式法解方程：2x2+8=9x 解：将方程化为一般形式，得 .a= ,b= ,C= (4)3x2+7x+3=2x+5. .b2-4ac= .X= x1= 25 ①同步练测·九年级数学·上册·华师版 <《能力提升练一 [答案8] ①若关于x的方程x2+bx+c=0的较小的根为m 6新考向有一电脑程序，每按一次按键，屏幕的A (m≠0)，则b+√2-4c的值为 区就会自动减去a2,同时B区就会自动加上3a, A.m B.-m C.2m D.-2m 已知A、B两区初始显示的分别是25和-15，第 2已知关于x的方程x(x-1)=3(x-1),则下列 一次按键后，A、B两区分别显示25-a2和-15+ 解题过程中，完全正确的是 ( 3a,如图.问： 甲 乙 (1)第一次按键后A区代数式与B区代数式的 值相等，请通过计算求a的值； 移项，得x(x-1)+3(x- 1)=0, (2)从初始状态按3次后，A、B两区显示的代数 两边都除以(x-1),得x .∴.(x-1)(x+3)=0, 式的和为1，请通过计算求a的值. =3 .x-1=0或x+3=0, .x2=1,x2=-3 A区 B区 25-a2 丙 丁 -15+3a 6题图 整理，得x2-4x=-3. 整理，得x2-4x=-3. .a=1,b=-4,c=-3, 配方，得x2-4x+4=1, .b2-4ac=28, .(x-2)2=1, x-4±28=2±万， x-2=±1， 2 x1=1,x2=3 x1=2+万，2=2-万 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ⑦[核心素养]如果关于x的一元二次方程ax2+ 日若a+5ab-2=0,则号的值为 b+c=0(a≠0)有两个实数根x1、x2,且|x1- 4用公式法解下列方程： x2=1,那么称这样的方程为“邻近根方程”，例 如：一元二次方程x2-x=0的两个根是x1=0, (1)(2x+1)(2x-1)=22x; x2=1,10-11=1,则方程x2-x=0是“邻近根 方程” (1)判断方程2x2-6√3x+13=0是不是“邻近 (2)3x2-(x+2)2+2x=0. 根方程”； (2)若关于x的方程3x2+(m-2)x-m-1=0 是“邻近根方程”，求m的值. 5选用合适的方法解下列方程： (1)2-5x-4=0: (2)3x2=(x+5)2-13. 280 第21章一元二次方程 专题2一元二次方程的解法 [答案P9] 类型①直接开平方法 类型③因式分解法 ①用直接开平方法解下列方程： 3解下列方程： (1)4x2-25=0; (1)x(x-2)+x-2=0; 2)4x+102-5=0 (2)9x2-(x-1)2=0. 类型④公式法 类型⑧配方法 4用公式法解下列方程： 2用配方法解下列方程： (1)x2-x-2=0; (1)x2-4x-2=0; (2)-4-=0: (2)3(x-1)(x+2)=x+4. (3)x2-25x-4=0. 2同步练测·九年级数学·上册·华师版 6.解：(1)方程(a-1)xa(3-@+(2a+1)x+5=0是关于x 的一元二次方程， ∴.a-1≠0，且a(3-a)=2, a≠1，a2-3a=-2, -3a+=-2+ (} 1 解得a1=1(舍去)，a2=2, ∴.a的值为2 (2)由(1)知a=2,方程为x2+5x+5=0, 移项，得x2+5x=-5. 配方，得子+5x+空-5+空，即(+3)=名 直接开平方，得×+各-±汽。 4=55,=5,5 2 2 微专题3利用配方法判断代数式的正负或求最值 1.A2.最大值-4 3.证明：原式=4x2-8x+4+5=4(x2-2x+1)+5=4(x- 1)2+5. :4(x-1)2≥0， .4(x-1)2+5≥5， .代数式4x2-8x+9的值恒为正数. 4.解：a2+b2-4a-2b+6=a2-4a+4+b2-2b+1+1=(a- 2)2+(b-1)2+1. (a-2)2≥0，(b-1)2≥0， .(a-2)2+(b-1)2+1的最小值为1， 即代数式a2+b2-4a-2b+6的最小值为1. 3.公式法 【基础巩固练】 1.D2.B 3.p2+8q≥0[解析]a=-2,b=P,c=9,且方程有根， ∴62-4ac=p2-4×(-2)×9≥0，即p2+8q≥0时，方程 -2x2+px+q=0能用公式法求解。 4.C5.D 6.2x-9x+8=02-981797 2×2 9+79-7 7.解：(1)将方程化为一般形式，得3y2-25y+1=0. a=3,b=-25,c=1, .b2-4ac=(-2√3)2-4×3×1=0， y20,即n=%-9 6 ·8· (2)a=3,b=2,c=1, b2-4ac=22-4×3×1=-8<0, ·原方程没有实数根。 (3)将方程化为一般形式，得x2-9x+2=0. .a=1,b=-9,c=2, b2-4ac=(-9)2-4×1×2=81-8=73, x=9±月 2 即9万9厘 2 8.解：(1)x1=4,x2=-6. （2)x1=2,x2=4. (3)1=-5,2=-3. 1 (4)x=3为=-2. 【能力提升练】 1.D[解析]解方程2+r+c=0,得=-b土-4e,则 2 较小的根m=b-公=e,所以b+√-4E=-2m 2 2.D 3.-5+2四或-5,2四 2 2 4.解：(1)原方程可化为4x2-22x-1=0. a=4,b=-22,c=-1, .b2-4ac=8-4×4×(-1)=24>0, =-b±-422±24-2±6 2a 2×4 4 即26：6 4 (2)原方程可化为2x2-2x-4=0, 即x2-x-2=0. .*a=1,b=-1,c=-2, .b2-4ac=1-4×1×(-2)=9>0, x=-b±-4ae=1±5-1±3 2a 2×1 Γ2 即x1=2,x2=-1. 5.解：(1)a=1,6=-5,c=- 2-4ac=(-万)2-4x1×(-4）=4, 6是，即=626子 2 2 (2)去括号，得3x2=x2+10x+25-13. 整理，得x2-5x-6=0. 分解因式，得(x+1)(x-6)=0, 则x+1=0或x-6=0, 解得x1=-1,为2=6. 6.解：(1)根据题意，得25-a2--15+3a, 整理，得a2+3a-40=0,即(a+8)(a-5)=0, ∴.a+8=0或a-5=0, .a1=-8,a2=5, 即a的值为-8或5. (2)根据题意，得25-3a2+(-15+9a)=1, 整理，得a2-3a-3=0, 则a=3±-32-4x1x(-33±2工 2×1 a3 2 即a的值为安2 7.解：(1)a=2,b=-63,c=13, .62-4ac=(-65)2-4×2×13=108-104=4, x=-(-65)±46,5±2 2×2 4 2,=36-1 1=35+1 2 1m-31=36+1_35-1 2 =1, 2 故方程2x2-65x+13=0是“邻近根方程” (2),'a=3,b=m-2,c=-m-1, .b2-4ac=(m-2)2-4×3×(-m-1)=(m+4)2≥0， x=2-m±√Cm+4)22-m±(m+42 2×3 6 名=1，南2=-m+1 3 :关于x的方程3x2+(m-2)x-m-1=0是“邻近根 方程”， …1+ 1+01或1+-1， 解得m=-1或m=-7, 即m的值为-1或-7. 专题2一元二次方程的解法 1.解：(1)4x2-25=0, 442=25,2=25, 5 小=2为=-2 (2)(4+1)2-5=0.(4+1)2=9 直接开平方，得4+1=±手， 解得=立=一品 7 2.解：(1)x1=2+6,x2=2-√6. 21红=年 3 ○参考答案及解析 3.解：(1)(x+1)(x-2)=0, ∴.x+1=0或x-2=0 名1=-1，x2=2. (2)(3x+x-1)(3x-x+1)=0 (4x-1)(2x+1)=0, .4x-1=0或2x+1=0, 1 1 六1=4=-2 4.解：(1)a=1,b=-1,c=-2, 62-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9>0, x=-b±yBP-4ae-1±51±3 2a 2×1 2 即x1=2,x2=-1. （2)原方程整理，得2-3x-子=0 :a=1,b=-3,c=-4, 1 8-4c=(-3)2-4×1×(-4）=10>0, 六x=-b±YP-4ae-3±10 2a 2×1 即3+3 2 (3)a=1,b=-25,c=-4, b2-4ac=(-25)2-4×1×(-4)=36>0, 六x=-b±F-4ae_25±3625±6 2a 2×1 2 即x1=√5+3，x2=5-3. 4.一元二次方程根的判别式 【基础巩固练】 1.-152.-23.B 4.C[解析]由题知4=（-1)2-4(k2+2)=-4k2-7<0, 所以方程没有实数根 5.B 6.D[解析]由题意，得4=16+4k.-6<k<0, ∴.当-6<k<-4时，△<0，方程没有实数根；当k=-4时， △=0，方程有两个相等的实数根；当-4<k<0时，△>0，方 程有两个不相等的实数根.故D项符合题意 7.证明：4=b2-4ac=(m+5)2-4(3m-1)=(m-1)2+ 28>0, ∴.关于x的方程x2+（m+5)x+3m-1=0恒有两个不相 等的实数根 8.D 9.D[解析]根据题意，得4=22-4a>0,解得a<1,所以a 可以取0. 10.m>8 1 11.(1)证明：因为4=[-(m+2)]2-16(m-2) =m2-12m+36=(m-6)2≥0， 所以方程总有两个实数根， ·9·