21.2.3 公式法（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“公式法解一元二次方程”，引导学生掌握求根公式的应用，通过回顾配方法等前期解法搭建学习支架，衔接知识点间的逻辑联系，帮助学生理解公式推导与实际解题的关联。 资料分层设计基础达标、能力提升、思维拓展模块，习题涵盖选择、填空、解答及错误分析，强化运算能力与推理意识。注重解法选择培养数学思维，思维拓展结合几何应用，助力学生用数学语言表达实际问题，提升综合素养。

21.2.3 公式法 01基础达标 知识点一 一元二次方程的求根公式 1. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知一元二次方程的两根均为有理数，为有理数，则（ ） A. 为有理数 B. C. 为完全平方数 D. 知识点二 公式法解一元二次方程 3. 用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 4. 用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是______． 5. 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 知识点三 选择合适的方法解一元二次方程 6. 解下列方程：①；②；③时，解法选择较为恰当的是（ ） A. 全部用公式法 B. 全部用配方法 C. 第①个用直接开平方法，其余都用公式法 D. 分别用直接开平方法，公式法，因式分解法 7. 用两种方法解方程． 02能力提升 8. 若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ） A. m B. ﹣m C. 2m D. ﹣2m 9. 用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是 A. B. C. D. 11. 李伟同学在解关于 x的一元二次方程x－3 x＋m＝0时，误将－3 x看作＋3 x，结果解得 x＝1，x＝－4，则原方程的解为 _________． 12. 若非零实数满足，则__________ 13. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 14. 解方程： 有一位同学解答如下：这里， ， ． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 03思维拓展 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 21.2.3 公式法 01基础达标 知识点一 一元二次方程的求根公式 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】把方程变为一般式，即可确定a，b，c．注意a，b，c可同时乘以一个不为零的数． 【详解】把方程化为一元二次方程的一般形式为， ∴a=1，b=−3，c=1. 但选项里没有这组值，方程两边同乘以−1，得：， 此时a=−1，b=3，c=−1. 故选:A. 【点睛】考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键. 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根为有理数的条件，结合求根公式和有理数性质分析即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的求根公式为， ∵方程的两根均为有理数，且为有理数， ∴必须能开尽方，即为有理数； ∴被开方数必须是一个完全平方数． 知识点二 公式法解一元二次方程 【3题答案】 【答案】 ①. 4 ②. ③. ④. 41 ⑤. ， 【解析】 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题关键． 【5题答案】 【答案】（1）， （2）方程无实数根 【解析】 【分析】（1）（2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： ，，， ， 解得：，； 【小问2详解】 解： ，，， ， ∴方程无实数根． 知识点三 选择合适的方法解一元二次方程 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程不同解法的适用特点，分别判断三个方程最合适的解法即可得出结论． 【详解】解：① 对于方程 ，移项得 ，可直接开平方求解，直接开平方法最简便. ② 对于方程 ，无法直接开平方，也不易因式分解，公式法最恰当. ③ 对于方程 ，变形得 ，可提取公因式 因式分解求解，因式分解法最简便. 因此三个方程分别用直接开平方法，公式法，因式分解法最恰当． 【7题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】分别利用因式分解法和公式法进行求解即可. 【详解】解：方法一： 即， 解得：，； 方法二： ，，， ， 解得：，． 02能力提升 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式法解方程，结合题意得出，求出即可． 【详解】∵的两个实数根中较小的一个根是， ∴， 解得：b＋＝﹣2m， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式是解此题的关键． 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出． 【详解】方程有两根， 且． 求根公式得到方程的根为，两根互为相反数， 所以，即， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：解得，∴较小根为． ∵， ∴．故选A． 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据“将错就错”的原则及结合韦达定理可先求出m的值，然后再求出原方程的解即可． 【详解】解：由题意及韦达定理得：， ∴原方程为：， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法及根与系数的关系是解题的关键． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先移项，利用完全平方公式变形为(2a-b)2=0，根据平方的非负数性质可得b=2a，即可得答案. 【详解】∵4a2+b2=4ab， ∴4a2+b2-4ab=0， ∴(2a-b)2=0， ∴2a-b=0，即b=2a， ∴==2， 故答案为2 【点睛】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式的结构形式并灵活运用平方的非负数性质是解题关键. 【13题答案】 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可. 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： 解得：； 【小问3详解】 解： ，，， 解得：，． 【14题答案】 【答案】解答有错误，正确解答见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，解题的关键是记住求根公式．将方程化为一般形式，利用求根公式求解即可． 【详解】解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式． 将方程化为一般式为， 这里， ， ， ∴． 03思维拓展 【15题答案】 【答案】（1）见解析； （2）或． 【解析】 【分析】（）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解； （）由（）求出方程的两个根为，，，然后分两种情况讨论即可； 本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴，， ∴无论为何值，此方程总有一个根是定值； 【小问2详解】 分两种情况： 当为直角边时，则，得， 又∵边长， ∴， 当为斜边时，则，得， 又∵边长， ∴， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $