21.2 1 课时2 用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程&微专题2 用”十字相乘法”分解因式解一元二次方程-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·华师版 9.解：(1)设所求方程的根为y,则y=3x, ..x=3 把x=代人方程2+2-1=0，得 (分）+2x-1=0, 即y2+6y-9=0. (2)设所求方程的根为y,则y=士（≠0）， x=1(3y≠0). y 把x=代入方程a2+bx+c=0,得 y ..c y 去分母，得a+by+cy2=0. 若c=0,则方程ax2+bx+c=0必有一个根为0，不合题意， c≠0，故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0). 21.2一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 课时1用直接开平方法和因式分解法 解较简单的一元二次方程 【基础巩固练】 1.D2.C3.A 4.22-2√2 5解：(1)移项，得=0 1 方程两边都除以片，得2 Γ49 1 直接开平方，得x=±7， 即=方=-7 (2)移项、合并同类项，得4x2=1. 方程两边都除以4，得2=子 直接开平方，得x=±立， 1 1 1 即=22=-2 6.C7.B8.D9.x1=2,x2=-1 10.解：(1)x(x-5√5)=0， 1=0,2=55. (2)x(x-3)-x=0, x(x-4)=0, x=0或x-4=0, 解得x1=0,x2=4. 【能力提升练】 1.B2.D3.18 4.9[解析]ax2=b,ab>0,x=6, a,.x=±A， ·6· 方程的两个实数根互为相反数，则m+2+2m-5=0,解得 m1心方程的两根为斯=3，=-3小合=2=9 5.-4或2[解析]解方程x2-2x=0,解得1=0,2=2.当 x=0时，y=x-4=-4;当x=2时，y=-x+4=2,所以输 出结果y的值为-4或2. 6解1=号=子 2 (2)m=52,=52 4 (3)x1=0,x2=6. (4)1=-2,x2=1. 7.解：(1)她们的解法都不正确.正确的解答过程如下： 移项，得3(x-3)-(x-3)2=0. 提取公因式，得(x-3)(3-x+3)=0, 所以x-3=0或6-x=0,解得x1=3,x2=6. (2)形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程的一般解法： 移项，得ax2-bx=0. 提取公因式，得x(ax-b)=0, 所以x=0或ax-b=0, 解得名=0，=台 课时2用直接开平方法和因式分解法 解较复杂的一元二次方程 【基础巩固练】 1.B2.D3.A4.m>1 5.(1)10(2)4或23 6.解：(1)直接开平方，得x-3=±√万， 所以x=3±√7， 即x1=3+7,x2=3-√7. (2)原方程可以变形为(x-2)2-3 41 直接开平方得2=±， 所以=2±9，即2+号2-语 2 7.B 8.B[解析]由x2-8x+16=0,得(x-4)2=0,解得x1=名=4， 依题意可得x1*?2=4*4=4×4-42=0. 9.解：(1)原方程可以变形为[2(x+3)]2-(x-2)2=0, 方程左边分解因式，得[2(x+3)+(x-2)][2(x+3)-(x- 2)]=0,即(3x+4)(x+8)=0, .3x+4=0或x+8=0, 4 得=-3为=-8 (2)方程左边分解因式，得[(2x+1)+2]2=0, 即(2x+3)2=0, 3 2x+3=0,得x1=为=-2 【能力提升练】 1.B 2.C[解析].方程m(x-h)2-k=0(m、h、k均为常数且m ≠0)的解是x1=2,2=5,方程m(x-h+1)2=k可转化为 m[(x+1)-h]2-k=0,.方程m(x-h+1)2=k的解满足 x+1=2或x+1=5,即x1=1,x2=4,关于x的一元二次 方程m(x-h+1)2=k的解是x1=1,x2=4. 3.-2 4.解：(1)x1=1,x2=-5. 3=2+42 (2)x=2-42 3 -2.2-2 (3)x1=2 2 5.解：(1)①② (2)一元二次方程x2-2x=0的解为x1=0,2=2. 当相同的根是x=0时，m-1=0,解得m=1; 当相同的根是x=2时，4+2+m-1=0, 解得m=-5. 综上，m的值为1或-5. (3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满 足a-b+c=0和9a+3b+c=0, ,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 是x1=-1,2=3. (x-n)(x+3)=0的两个根是x1=几，x名=-3，关于x的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与(x-n)(x+3)=0 互为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 微专题2用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 解：(1)4=-1，场=-2(2)名=号=3 2.配方法 【基础巩固练】 1.(142(284(3)Z(4)5司 2.(x-3)2-1 3.C4.A5.D 6.2[解析]由(x-m)2=5,得x2-2mx+m2=5,.-2m= -4,解得m=2,x2-4x+4=5,x2-4x+1=2,即印刷 不清楚的数字是2. 7.解：(1)配方，得x2-2x+1=5+1, 即(x-1)2=6. 直接开平方，得x-1=±6， .x1=1+6,x2=1-√6. (2)移项，得2+子=-1 配方，得2+号+写=1+ (+}-g 所以原方程没有实数根 参考答案及解析 (3)原方程可化为x2-25x=-3. 配方，得x2-25x+3=-3+3, 即(x-3)2=0, x1=x2=5 (4)原方程可化为x2+3x=-1. 配方，得+3+子1+号 (+2》-子 2* 直接开平方，得x+3 2 8.B9.1=1,=-3 1 10.解：(1)22-4x=1,x2-2x= 2, 2-2x+1=1+号，即(x-1)2=2 小*-1=± =1+ 2,%=1-6 2)2+=子2++（合=子+（分， +1, 【能力提升练】 1.B 2.A[解析]由x2-2x-1=0,得x=1±√2.：m是较小的 根，.m=1-2.由x2-22x-2=0,得x=2±2.n是 较大的根，.n=√2+2，m+n=1-√2+2+2=3. 3.24.1或-3 5解：1)2+2x=3,2+之x+(母=3+(， (+-0 =号为=-2 (2)3(x2+x-2)=x-7,3x2+2x=-1, 1 +子+(3=号+（兮， -<0， .原方程没有实数根 7第21章一元二次方程 课时2用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程 《基础巩固练) [答案P6] 知跟点①用直接开平方法解形如(mx+九)？=P (2)4(x-2)2-3=0. (m≠0，P≥0)一元二次方程 ①解下列一元二次方程时，可以直接开平方的是 A.x2+6x=0 B.(x-5)2=16 C.x2+5x-6=0 知银点②用乘法公式解一元二次方程 D.（x-2)x+3x-8=0 2(天津红桥区期中)若一元二次方程（x+6)2=64 ⑦方程x2-4x+4=0的根是 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元 A.x=2 B.x1=x2=2 C.x=4 次方程是x+6=8,则另一个一元一次方程是 D.x1=x2=4 8新考法对于实数a、b,定义运算a*b= A.x-6=-8 B.x-6=8 C.x+6=8 D.x+6=-8 2-ab(a>b）例如4*2，因为4>2，所以4 lab-b(a≤b), 3x1x2是一元二次方程(x-1)2=5的两个解，且 2=42-4×2=8.若x1、x2是一元二次方程x2- x1<x2,下列说法正确的是 () 8x+16=0的两个根，则x1*x2=() A.x1小于-1，x2大于3 A.-1B.0 C.1 D.±1 B.x1小于-2，x2大于3 9解下列方程： C.x1、x2在-1和3之间 (1)4(x+3)2-(x-2)2=0; D.x1、x2都小于3 4如果关于x的方程(x-2)2=1-m没有实数根， 那么m的取值范围是 5已知一元二次方程(x-3)2=1. (1)若方程的两个根恰好分别是等腰三角形 ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 (2)若方程的两个根恰好分别是Rt△DEF的两 (2)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0. 边长，则Rt△DEF的面积为 6解下列方程： (1)(x-3)2=7; 21 香同步练测·九年级数学·上册·华师版 《能力提升练> [答案7] ①在实数范围内定义运算“*”，其规则为a*b= ⑤新考法定义：若两个一元二次方程有且只有一 a2-b2.根据这个规则，方程(x+2)*5=0的根 个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴 为 方程”.例如x2=4和(x-2)(x+3)=0有且只 A.x1=-3,x2=-7B.x1=3,x2=-7 有一个相同的实数根x=2,故这两个方程为“同 C.x1=-3,x2=7D.x1=3,x2=7 伴方程”。 2已知关于x的一元二次方程m(x-h)2-k=0 (1)根据所给定义，下列方程属于“同伴方程”的 (m、hk均为常数且m≠0)的解是x1=2,x2=5, 有（请填写序号）； 则关于x的一元二次方程m(x-h+1)2=k的 ①(x-1)2=9;②x2+4x+4=0;③x2+2x- 解是 8=0. A.x1=-2,x2=-5B.x1=-4,x2=-1 (2)关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+ C.x1=1,x2=4 D.x1=-3,x2=-6 x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值； 3若关于x的一元二次方程mx2+n=0的一个根 (3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a 为2，则关于x的方程m(x+1)2+n=0的两根 ≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c= 之和为 0,且与(x-n)(x+3)=0互为“同伴方程”， 4用适当的方法解下列方程： 求n的值. (1)(x+2)2-9=0: (2)9(2-x)2-32=0; (3)(2x-1)2=(2-1)2. 微专题2用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 【例】阅读下列材料： (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0 (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的 试用上述方法和原理解下列方程： 方法解答： (1)x2+3x+2=0; ①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35= (2)3x2-8x-3=0. (-5)×(+7). @交又相乘，验中项：X7x-5x2 ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x -5). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做 十字相乘法 220