21.2 一元二次方程的解法（第1课时 直接开平方法和因式分解法）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法和因式分解法，课堂导入通过复习一元二次方程定义及一般形式，以“除代入法外的解法”问题链衔接旧知，搭建从概念到解法的学习支架。 其亮点在于以“降次”“转化”思想为主线，通过对比解法（如例1用两种方法解方程）、错解分析（小明与小亮解法辨析）培养数学思维（推理意识、运算能力）和数学眼光（抽象能力），课堂小结结构化归纳步骤与方法，帮助学生用数学语言表达，助力学生掌握解题技能、发展数学思维，为教师提供系统教学资源。

【新教材】华东师大版·九年级上册 第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法和因式分解法 章节导读 21.1认识一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 公式法 因式分解法 一元二次方程在利润等问题中应用 一元二次方程的认识 配方法 21.3实践与探索 直接开平方法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程在几何等问题中的应用 2 学 习 目 标 1 2 3 掌握直接开平方法以及因式分解法解一元二次方程的步骤. 灵活运用直接开平方法与因式分解法解一元二次方程. 在利用直接开平方法以及因式分解法解一元二次方程的过程中体会降次、转化等数学思想. 复习回顾 什么是一元二次方程？它的一般形式是怎样的？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程 . (是已知数，) 回顾训练 下列各数中，哪个是方程的解（ ）. A. 3 B.-3 C.2 D. 1 D 除了代入法，还有其他方法求一元二次方程的解吗？ 你能运用直接开平方法求题（2）吗？ 新知探究 解下列方程： （1）； （2）. 直接开平方法 (1)解：因为 所以 即 这里得到了方程的两个根，通常也表示成. 试一试 是4的平方根 开平方运算 降次 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法. 思考 新知探究 解下列方程： （1）； （2）. 直接开平方法 (2)解： 移项，得 直接开平方，得 即 试一试 降次 你能总结运用直接开平方法解一元二次方程的步骤吗？ 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: 归纳总结 直接开平方法 归纳总结 （1）移项，将方程变成左边是未知数的平方，右边是非负数的形式（形如）； （2）开平方，将方程化为两个一元一次方程（降次）； （3）解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 观察题（2），还有其他方法能求解吗？ 新知探究 解下列方程： （1）； （2）. 因式分解法 (2)解：利用平方差公式先因式分解，得 则有 分别解这两个一元一次方程，得 试一试 思考 分析：题（2）左边满足平方差公式。 降次 方法二 先利用因式分解，将方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 题（1）能否用因式分解法来解？ 新知探究 解下列方程： （1）； （2）. 因式分解法 (1)解：移项，得 因式分解，得 则有 分别解这两个一元一次方程，得 试一试 思考 方法二 你能总结运用因式分解法解一元二次方程的步骤吗？ 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 归纳总结 因式分解法 归纳总结 一移：方程的右边 = 0； 二分：方程的左边分解因式； 三化：方程化为两个一元一次方程； 四解：解出方程的两个解. 典例分析 做一做 试用两种方法解方程：. 直接开平方法和因式分解法 解：移项，得 直接开平方，得 所以 方法一：直接开平方法 解：方程左边因式分解，得 ， 则或 ， 所以 方法二：因式分解法 总结:直接开平方法和因式分解法在解一元二次方程中非常实用，解题时应先观察，灵活选用。 典例分析 例1 解下列方程：（1）； （2） 直接开平方法和因式分解法 解：（1）移项，得 直接开平方，得 所以 解：（2）移项，得 方程两边都除以16，得 直接开平方，得. 即. 题（2）还有其他解法吗？ 方法二： 解：（2）方程左边因式分解，得 则= 0 或 = 0， 所以. 典例分析 例2 解下列方程： （1）；（2）. 直接开平方法和因式分解法 解：（1）方程左边分解因式，得. 所以 或 . 得，. 解：（2）方程左边分解因式，得. 所以或 . 得. 思考：此处可以直接约去吗？为什么？ 典例分析 思考 试写出一个一元二次方程，要求它的两根为 . 符合条件的方程只有一个吗？如果还要求方程的二次项系数为 5，符合条件的方程是什么？ 直接开平方法和因式分解法 符合两根的方程不止一个. .（可以是不为0的任意实数.） 当时，方程二次项系数为5. 典例分析 例3 解下列方程：（1）； （2）. 解其他形式的一元二次方程 解：（1）原方程可以变形为. 直接开平方，得. 所以. 分析：两个方程都可以通过简单的变形，的形式，用直接开平方法求解. 解：（2）原方程可以变形为. 直接开平方，得. 所以. 你还有其他解法吗？ 15 典例分析 例3 解下列方程：（1）； （2）. 解形如的一元二次方程 解：（1）方程左边分解因式，得 . 即或. 所以. 分析：可以将“” 看成一个整体，利用因式分解法。 方法二： 用类似的方法，试一试题（2）吧！ 16 思考探究 小明和小亮一起解方程： . 小明将方程左边分解因式，得， 所以 或 . 得 ，. 小亮的解法是这样的： 移项，得， 方程两边都除以 ，得. 小亮说：“我的方法多简便！” 可另一个根哪里去了？小亮的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 不对，可能为 0，不能直接约去。 随堂练习 1.解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）. 基础过关(P23) 解:（1）直接开平方，得 . 即 . （2）移项，得 . 直接开平方，得 . 即 ，. （3）移项，得 . 方程两边都除以 12，得 . 直接开平方，得 . 即 ， . 随堂练习 1.解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）. 基础过关(P23) （4）方程左边分解因式， 得 . 所以 或. ，. （5）因为， 所以 或 . 得 ，. （6）方程左边分解因式， 得 ， 即 . 所以 或 . 得 ，. 随堂练习 2.解下列方程： （1）；（2）； （3）； （4） 基础过关(P25) 解:（1）原方程可以变形为. 直接开平方，得 . 所以. （2）原方程可以变形为 . 直接开平方，得 . 所以 ，. 随堂练习 2.解下列方程： （1）；（2）； （3）； （4） 基础过关(P25) （3）整理，得 . 直接开平方，得. 所以 ，. （4）整理，得 . 直接开平方，得 所以 ，. 随堂练习 3.由多项式乘法有：, 将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： 示例： (1)分解因式：( )( ); (2)请用上述方法解方程： ①; ②. 能力提升 解：(1) , 故答案为：2,4. 随堂练习 能力提升 (2)①∵, , ∴, 则 或 , 解得,. ②∵, , ∴, 则 或 , 解得 课堂小结 直接开平方法 直接开平方 直接开平方 两边分别开平方 概念 因式分解法 当右边=0时，将方程左边因式分解. 如果a·b=0，那么a=0或b=0. 原理 步骤 因式分解常见的方法有 . 一移、二分、三化、四解. 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $