21 数学活动 运用化细的思想方法解决问题&易错疑难集训二-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

第21章一元二次方程 数学活动 运用化归的思想方法解决问题 [答案P13] 阅读材料： 解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0时，我们可以将x2-1视为一个整体， 然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程可化为yY-5y+4=0,① 解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,.x2=2,x=±√2； 当y=4时，x2-1=4,x2=5,.x=±5 .原方程的根为x1=√2，x2=-√2，x3=√5，x4=-√5 解答下列问题： (1)填空：在由原方程得到①的过程中，利用 达到了降次的目的，体现了化归的数学思想； (2)解下列方程： ①x-x2-6=0; ②(x2-2x)2-5(x2-2x)+6=0. @39 同步练测·九年级数学·上册·华师版 易错疑难集训二 [答案P14] 易错凝难点①忽略二次项系数不为0的条件 (2)2(3-x)2=x-3. 1关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+|ml-1 =0,常数项为0，求m的值.下面是小莉和小轩 的解题过程： 小莉：由题意，得|ml-1=0,所以m=±1. 易错凝难点④配方时添项错误或漏填项 小轩：由题意，得|ml-1=0且m-1≠0，所以m 6阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容 =-1. 解方程：2x2-6x-5=0. 其中解题过程正确的是 解：移项，得2x2-6x=5.（第一步) A.两人都正确 B.小轩正确，小莉不正确 两边都除以2，得-3=弓（第二步） C.小莉正确，小轩不正确 D.两人都不正确 配方，得-3+号-名（第三步） 2(内江中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+ 2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是 3 ( .X- A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 名=3+10 3-10 2 ,2= 2 (第五步) 3若(m-2)x-2-x=0是关于x的一元二次方 (1)上述过程是从第 步开始出错的，错 程，则m的值为 误的原因是 圆错凝难点②公式法解方程时，未将方程化为一 般形式 4(吉林德惠期中)小明在解方程x2-5x=1时出 (2)请写出正确的解答过程。 现了错误，解答过程如下： a=1,b=-5,c=1,(第一步) ∴.2-4ac=(-5)2-4×1×1=21,(第二步) x-5±团，（第三步） 2 六5+，与5-，（第四步) 易错凝难点⑤忽略分类讨论 2 一，X2= 2 7已知关于x的方程(m-1)x2-mx+1=0.求证： (1)小明解答过程是从第 步开始出错 不论m为何值，方程总有实数根。 的，其错误原因是 (2)写出此题正确的解答过程。 易错凝难点⑥忽视方程有实根的隐含条件 易错疑难点③解一元二次方程时漏根 8(泸州中考)关于x的一元二次方程x2+2mx+m 5解下列方程： -m=0的两实数根x1、x2满足x1x2=2,则(x子+ (1)3x(x-1)=2(x-1); 2)(x2+2)的值是 A.8 B.32 C.8或32 D.16或40 40g【能力提升练】 1.A2.63 3.4或32[解析]当0≤x≤20，设一次函数的表达式为y= kx+b(k≠0)，将(0,100)，（20,160)代入y=kx+b,得 100=b,解得6=100“y关于x的函数表达式为y 1160=20k+b, =3x+100;当20<x≤40时，y=160,.y与x之间的函数 r3x+100(0≤x≤20)，当0≤x≤20时，(3x+ 表达式为y={160(20<x≤40). 100-70)(1000-15x)-300x=37500,化简，得3x2- 150x+500=0,解得175+5而（不特合题意，合去）， 3 3=75-5,16≈4：当20<x≤40时，(160-70)(1000- 3 15)-300x=37500,解得x-350-=32,当批发商在进货 11 后第4或32天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的 利润 4.解：设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x) 元，每晚租出的总床位为(100-10x)张. 根据题意，得(10+2x)(100-10x)=1120. 整理，得x2-5x+6=0,所以x1=2,x2=3. 当x=2时，2x=4;当x=3时，2x=6. 答：每床每晚应提高4元或6元. 5.解：(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的 产量为(2x-100)吨 依题意，得x+2x-100=800,解得x=300 .2x-100=2×300-100=500, 故4月份再生纸的产量为500吨 (2)依题意，得100(1+受%）×50(1+m%)=6000, 整理，得m2+300m-6400=0, 解得m1=20,m2=-320(不符合题意，舍去)， 故m的值为20. (3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y, 5月份再生纸的产量为α吨，则6月份再生纸产量比上月增 长y,依题意，得 1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1200(1+y)·a, .1200(1+y)2=1500, 即6月份每吨再生纸的利润是1500元. 课时3传播问题、循环问题和其他问题 【基础巩固练】 1.512 2.解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑， 依题意，得1+x+(1+x)x=81. 整理，得(1+x)2=81, ∴.1+x=9或1+x=-9, 解得x1=8,x2=-10(不符合题意，舍去)， .(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染 后，被感染的电脑会超过700台. 参考答案及解析 3.C4.10 5.15[解析]设共有x个队参加比赛.根据题意，得 x(x-1)=210,整理，得x2-x-210=0,解得x1=15,x2=-14 (舍去) 6.B 7.6[解析]设早餐饮酒x斗，则午餐饮酒(x+1)斗.晚餐饮 酒(x+2)斗.根据题意，得x(x+1)+(x+1)(x+2)+ x(x+2)=146,解得x1=6,x2=-8(不符合题意，舍去) 8.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益 菌，由题意，得60(1+x)2=24000, 解得x1=19,2=-21. x>0,.x=19. 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌， (2)由题意，得60×(1+19)3=480000（个）. 答：经过三轮培育后有480000个有益菌. 【能力提升练】 1.B 2.B[解析]设个位上的数字为x,则千位上的数字为x,百位 上的数字为(x+3),十位上的数字为(2-1)：这个四 位鼓是“共生数”心2=2(+3+宁-1解得=4 =-1(不符合题意，舍去)，即这个四位数的个位上的数字为4 3. 号[解析]由题意，得80+80x+802=380,解得名= 2 子=一名（不特合题意，合未），故的值为子 3 4.13 5.解：设周瑜逝世年龄的个位数字为x,则十位数字为(x-3) 根据题意，得10(x-3)+x=x2, 解得x1=5,x2=6. 当x=5时，周瑜逝世的年龄是25岁，非而立之年，不符合 题意，舍去； 当x=6时，周瑜逝世的年龄是36岁，符合题意. 答：周瑜的逝世年龄是36岁. 6.解：(1)15 (2)s=nn,-1业1540 2 (3)设该班有x名女生，依题意，得x21)=253. 2 解得x1=23,2=-22(不符合题意，舍去)。 答：该班有23名女生. 数学活动运用化归的思想方法解决问题 解：(1)换元 (2)①设y=x2, 则方程可化为y2-y-6=0, 解得y1=3,2=-2. 当y=3时，x2=3, ·13. 同步练测·九年级数学·上册·华师版 解得x1=√5，x2=-√5； 当y=-2时，x2=-2,此方程无实数根， .原方程的根是x1=5,x2=-√5. ②设y=x2-2x, 则原方程可化为y2-5y+6=0, 解得y1=3,2=2. 当y=3时，x2-2x=3, 解得x1=3,x2=-1； 当y=2时，x2-2x=2 解得x3=1+5,x4=1-5, .原方程的根为1=3,2=-1,3=1+5，x4=1-√5. 易错疑难集训二 1.B2.C 3.-2 :易错分析 当一元二次方程的二次项系数中含有字母时，要 注意二次项系数不为0这一隐含条件 4.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)原方程化成一般形式为x2-5x-1=0. 'a=1,b=-5,c=-1, .b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29, “x=5±29 2 ·名1=5+2 2 ,南=5-2四 2 :易错分析 针对这类问题一定要先将一元二次方程化为一般 形式，确定a、b、c的值，再利用求根公式解方程就不会 导致错解 5.解：(1)移项，得3x(x-1)-2(x-1)=0. 分解因式，得(x-1)(3x-2)=0, 所以x-1=0,3x-2=0, 2 所以1=1，为=3 ,X易错分析 本题易出现方程两边都除以(x-1),得3x=2的 错误.这是因为当x-1=0时，不符合等式的基本性 质，因此方程的两边不能都除以含未知数的式子： (2)原方程可化为2(x-3)2-(x-3)=0. 分解因式，得(x-3)[2(x-3)-1]=0, 即(x-3)(2x-7)=0, 所以x-3=0或2x-7=0, 7 所以x1=3,=2 ·14. 6.解：(1)三配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半 的平方，而在右边没有加 (2)移项，得2x2-6x=5. 两边都除以2，得2-3=】 配方，得2-3+号-+子 -只 -3+,四，-3-四 2 2 7.证明：①当m-1=0, 即m=1时，方程为-x+1=0,解得x=1, 所以此时方程有实数根； ②当m-1≠0时，4=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m- 2)2≥0， 所以此时方程有两个实数根. 综上，不论m为何值，方程总有实数根 8.B[解析] 方程有两 个实数根 4≥0→m≥0 m=2 x1x2=2→m2-m=2 (x1+2)(x2+2)=32 x1+x2=-4 ,易错分析… 本题的易错之处是忽略△≥0这一条件，从而得到 .m=二1或m=2,进而误选C 本章考点检测训练 1.C2.A3.54.20255.D6.C7.C 8.解：(1)原方程可化为(x-2)2=3, .x-2=±3， x1=2-5,x2=2+5. (2)原方程可化为x2-√6x+1=0, ∵a=1,b=-W6,c=1, .b2-4ac=(-6)2-4×1×1=2>0, ÷x=二(-，6)±巨-6±2 2×1 2 6含262 2 (3)分解因式，得(2x+1)(2x+4)=0, ∴.2x+1=0或2x+4=0, 小x1=-2=-2 9.A