专题01 圆锥曲线中离心率的取值或范围问题（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

专题01 圆锥曲线中离心率的取值或范围问题 （题型突破·举一反三） 题型01 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型02 由椭圆的离心率求参数的取值范围 题型03 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型04 由双曲线的离心率求参数的取值范围 题型05 椭圆与双曲线结合的离心率的问题 题型06 结合三角函数或不等式求离心率 题型07 根据几何图形关系求离心率 ▌题型01 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 （i） （ii） 【典例1】（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用对称性构建平行四边形并结合椭圆的定义求出，接着利用点到直线的距离公式求出，最后代入离心率公式得出最终结果. 【详解】设椭圆E的左焦点为，连接， 因为直线过原点，所以其与椭圆的交点关于原点对称， 且焦点也关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 所以， ，所以，解得， 因为点M到直线l的距离为，不妨设， 则点M到直线l的距离为，解得， 所以， 故椭圆E的离心率为. 【变式1-1】（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 【变式1-2】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，结合已知可得，进而得，解不等式可得-离心率的范围. 【详解】由过的直线与交于，两点，得， 所以，即， 又，所以， 又，所以，所以， 所以，所以， 由，得，所以， 所以，即，所以或； 由，得，即，所以， 所以-离心率的范围为. 【变式1-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是__________. 【答案】 【分析】由三角形内角平分线的性质结合椭圆的定义可得，从而有，结合椭圆离心率的范围，即可得. 【详解】∵，若在O在同侧， 则，， ∵是的角平分线， ∴，则， 由，得， 由，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 若在O在异侧，则，，， 则，得，所以，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 综上，椭圆离心率的范围是. 故答案为：. ▌题型02 由椭圆的离心率求参数的取值范围 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为. 由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需 即即 两边除以得即 得，又， ． 【变式2-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知锐角α满足，椭圆，的离心率分别为，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率结合标准方程得出，再应用两角和正切计算求解. 【详解】由，得，解得， 所以，即， 解得或． 因为为锐角，所以，故． 【变式2-3】（25-26高二上·浙江·期中）（多选）已知椭圆，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆长轴长为4 B．椭圆的短轴长为 C．若椭圆的离心率为，则 D．当椭圆的离心率时， 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，对涉及椭圆的长轴、短轴及离心率等相关选项进行分析判断． 【详解】椭圆，，长半轴长为，短半轴长， 选项A：，椭圆长轴长为4，故A正确； 选项B：短轴长，故B错误； 选项C：，解得到，故C正确； 选项D：，即， ，故D正确． 故选：ACD． ▌题型03 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 双曲线 【典例3】（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 【变式3-1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由题意可得，，， 所以，当且仅当， 即时取等号，所以， 因为，， 所以，所以． 【变式3-2】（25-26高二下·广西桂林·期末）双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 【答案】 【分析】由三角形中线长定理求出点到两焦点的距离与半焦距的关系，进而代入双曲线定义得出与的比例，即可求得离心率. 【详解】，， ， ， 则， 其中，所以，且， 所以， 由题意得，， ，整理得，即， 因为，所以，即，即， 则.    【变式3-3】（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得，再由双曲线的定义得，最后由余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，结合， 所以， 又由，所以， 由余弦定理得：， 所以，所以， 所以. ▌题型04 由双曲线的离心率求参数的取值范围 【典例4】（25-26高二下·上海松江·期中）已知、是双曲线：（，）的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则=_______． 【答案】 【分析】以为圆心的圆与l相切于点P，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值． 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在中，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以. 【变式4-1】（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 【变式4-2】（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可设双曲线方程为，设点，过点作轴，在直角中，由，得到，联立方程组，求得点的坐标，进而求得，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，即，则， 不妨设双曲线方程为，则点，， 设点，过点作轴，垂足为，则， 在直角中，因为，可得，可得， 联立方程组，可得，即， 所以，所以. 故选：C.    【变式4-3】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案． 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为，由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即，解得或，又因为，即． 故选：A． ▌题型05 椭圆与双曲线结合的离心率的问题 【典例5】（2026·广西桂林·模拟预测）双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】先将双曲线转化为标准方程以求其离心率，结合条件椭圆的离心率即可求解. 【详解】双曲线的标准方程为 则双曲线的离心率，而椭圆的离心率， 所以，解得. 【变式5-1】（25-26高二上·辽宁·期末）（多选）已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABC 【分析】将椭圆与双曲线的方程和定义，与两曲线的离心率关系相联立，求出参数数值，再逐项分析即可. 【详解】 由题可知，椭圆与双曲线的焦点在轴上，取第一象限的交点作为点，且，故，也在圆上， 设椭圆方程为：，则，， 设双曲线方程为：，则，， 由于，则，即， 联立，可得： 又因为，，在圆上，则，将上式代入， 可得，， 则， 故，， 对于选项A，由于，故选项A正确； 对于选项B，由于，，代入，得，故选项B正确； 对于选项C，由于，，在圆上，且，为直角三角形，则，故选项C正确； 对于选项D，由于，故选项D错误； 故选：ABC 【变式5-2】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，为曲线、在第一象限的交点，且的面积为，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由椭圆的定义和余弦定理结合面积公式求出，再由双曲线的定义和椭圆定义找到a，的关系，代入目标式化简可得，再用基本不等式可求解. 【详解】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、， 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为、、，设，， 则由椭圆和双曲线定义可得①，②， 两式分别取平方再相减整理得， 记，则由余弦定理得③， ①2③得④， 由面积公式可得，即， 代入④整理得，即， 所以，即， 因为，所以，所以，得， 所以，，即， 所以，即， 所以， 当且仅当，时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 【变式5-3】（25-26高二上·河南新乡·期末）若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同，且离心率之积为1，则称椭圆为该双曲线的伴生椭圆.已知双曲线的左焦点为，的伴生椭圆与在第一象限的交点为，则（   ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由新定义求出双曲线的伴生椭圆的方程,进而联立方程求出点坐标，再求解即可． 【详解】已知双曲线，得，即知， 所以双曲线的左焦点为，离心率， 设双曲线的伴生椭圆的离心率为，则，即， 因为椭圆的左焦点也为，设椭圆的半长轴为，半短轴为， 则，， 所以椭圆的方程为. 联立，解得， 设椭圆与在第一象限的交点为，即， 所以, 故选：B. ▌题型06 结合三角函数或不等式求离心率 【典例6】（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，过双曲线上一点作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于，两点．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做出图形，求出渐近线方程，求出两平行线间的距离，再结合三角恒等变以及斜率关系换化简可得，最后构造齐次式求出离心率即可； 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线方程为， 设交直线于点， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为，由正弦定理可得， 即， 设，即， 因为， ， 所以，即， 所以，即， 所以离心率. 故选：C. 【变式6-1】（2026·贵州遵义·二模）已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得到渐近线的距离为，从而可求得的值，再在中利用正弦定理求出，然后结合双曲线的定义和余弦定理求解即可. 【详解】由题意知，点到渐近线的距离为， 所以， 因为，，所以， 所以， 因为，所以， 得，则， 在中，由正弦定理得， 即，得， 由双曲线的定义知， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，即， 所以离心率为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质结合正、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题. 【变式6-2】（25-26高三上·陕西安康·开学考试）在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在双曲线上得到，再由图中角度关系结合两角差的正切展开式得到，然后结合已知得到，最后由离心率的齐次式得到结果； 【详解】    设，则，， ，则，① 则， 所以， ， 所以，② 将①代入②得， ， 因为， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：过两点的直线斜率（或正切值）为，再结合两角差的正切展开式将问题转化为. 【变式6-3】（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，上有一点位于第一象限，线段交轴于点，若为的角平分线，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1，利用角平分线定理及三角形相似可得，，利用椭圆的定义求出，即可求离心率， 法2，设，，，利用面积关系列出方程求解. 【详解】如图， 法1：由角平分线性质得①． 因为，， 故， 可得②， 联立①②，，． 所以， 椭圆离心率. 法2：设，，则． 设，则， 由，可得． ， 所以，， 故，所以为等腰直角三角形， 所以，所以， . 故选：C ▌题型07 根据几何图形关系求离心率 【典例7】（25-26高三上·河南商丘·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，点是的内心，若的面积比为5:12:13，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，结合三角形的面积公式及题设可得，可得，再根据双曲线的定义得到，再结合勾股定理得到，进而求解即可. 【详解】设的内切圆半径为，因为的面积比为5:12:13， 所以，则， 不妨设，则， 所以，由双曲线的定义，得， 所以， 即，所以， 则， 设，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知内切圆的半径，可利用焦点三角形面积公式建立等式，得到关于的表达式，根据余弦定理建立的齐次式，进而计算离心率． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由直线，整理可得，恒过点；故直线过点； 由点到直线的距离公式可知到的距离为； 则（为内切圆半径）， 因为点在右支上，所以， 则； 又因为；所以， 解得，故； 故，解得； 因为点在右支上，斜率为负，故，故， 代入直线方程可得，解得； 因为在双曲线上，所以代入可得， 由整理可得， 由；则； 则原式化简可得， 两边同乘可得， 约分可得 即，整理得； 即，化简得， 化简得，解得或或； 由题意得，则符合题意，故A正确. 【变式7-2】（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    【变式7-3】（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以.    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 圆锥曲线中离心率的取值或范围问题 (题型突破举一反三) 目录 题型01求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型02由椭圆的离心率求参数的取值范围 题型03求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型04由双曲线的离心率求参数的取值范围 题型05椭圆与双曲线结合的离心率的问题 题型06结合三角函数或不等式求离心率 题型07根据几何图形关系求离心率 题型01求椭圆的离心率或离心率的取值范围 解题必备 b2 P为椭圆 =上的一动点 iD 若∠EPE=0,∠PFE,=a,∠PE,E=B,则e= sin0 sin(a+B) sina+sin B sina+sin B 三典例精析 典例】(2526高二下河北那郸期末)已知椭圆E:+片=@>b>0)的右焦点为R,短轴的一个器 点为M,直线I:3x-y=0交椭圆E于A,B两点，若AF+BF=6,点M到直线I的距离为2，则椭圆E 的离心率为() 8② 3 c.26 2W2 D. 3 3 3 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 举一反三 x2,y2 【变式11】(25,26高二下潮湖南怀化：期未)已知椭圆E:。+方=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、5 过F的直线与椭圆E交于A、B两点，且满足2A=3FB.若△ABE是以AB为斜边的直角三角形，则 椭圆E的离心率为() A 6.3 D. 2 2 5 3 x2 v 【变式12】(25-26高三上山西临汾期末)已知椭圆c:京+F-1(a>b>0)的左、右焦点分别为F: F,过F(c,0)的直线1与C交于A,B两点，若AE+BF=5c,则椭圆C离心率的范围为() D 21 x2 y 【变式13】(25-26高二上重庆期中)已知椭圆C:。+存=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F,万，焦 距为2，P是椭圆C上一点（不在坐标轴上），Q是∠FPF的平分线与x轴的交点，若QF引=4OQ,则 椭圆离心率的范围是 题型02，由椭圆的离心率求参数的取值范围 典例精析 x2 【典创2】(2026高三·全国·专题练习)椭圆。+厅=1(@>h>0)的右焦点为卫，其右准线与x轴的交点为 A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是() 92 c.N2-1,0 举一反 【变式2】(2525商=上辽宁明阴期中)箱国C:号+若-a>6>0)的左、右生点分别是斤：月， 率为1的直线l过左焦点，交C于A,B两点，且△ABF的内切圆的面积是π，若椭圆C的离心率的取值 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [11 范围是32小 线段 AB 的长度的最小值为() A√2 B.22 C.3v2 D.42 变式22】(2026陕西西安模拟预测)已知锐角α满足ang>2’椭圆G:+2=-1 tana C2: x2 tana 2 =1的离心率分别为e?6,:若2e=14e,则am2（) 7 3 3 A.10 B.3 C.2 D.4 【变式23】(2526高二上浙江期中)（多选)已知椭圆C:千+上-10<m<4,则下列说法正确的是 4 m () A.椭圆C长轴长为4 B.椭圆的短轴长为m C.若椭圆C的离心率为2，则m=3 D.当椭圆c的离心率e02时，3<m<4 题型03 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 解题必备 双曲线e==1+ ∈(1，+∞ P为双曲线女 a b =1上的一动点 若∠FPE=6,∠PFE=a,∠PFE=B,则e sin0 sin(a+B) sin a-sin B sina-sin B 三典例精析 x2 y2 【典例3】(25-26高二下-贵州遵义阶段检测)已知双曲线。京l(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 3, 则双曲线的离心率为() 2W5 A.2 B. 3 C.25 D.3 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 x2 y2 【变式31】(26-27高三全国一轮复习)已知F,5分别为双曲线。存=1(a>0,b>0)的左、右焦点， PR ,为双曲线右支上的任意一点，当PF可取最小值时，则双曲线的离心率。的取值范围为 x2 y2 【变式32】(25-26高二下广西桂林：期末)双曲线c:云存=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F E2, O为坐标原点，点P是C上一点.若FF上2PF=V2OP,则C的离心率为 变式33】(2526高二下安微宣城期末)已知斤，万分别是双曲线C:专方1(a>0:b>0)的 x2 y2 左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF,=3sin∠PFE,且∠FP,=60°，则C 的离心率为() A.3 √7 2 B.5 C.2 D.7 题型04 由双曲线的离心率求参数的取值范围 典例精析 x2 y2 【典例4】(25-26高二下上海松江期中)已知F、F是双曲线r:京存-1（a>0'b>0)的左右焦 点，I是「的一条渐近线，以B为圆心的圆与I相切于卫.若双曲线「的离心率为3，则sin∠PFE= 举一反王 【变式4H】(2026安徽合肥三模)已知双曲线C:二片 :。F=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为，B,离心 AF, 率为0，过E的直线与C的石支交于AB两点.若B上5则的值为 A.10 B.3 c.5 D.2 【变式42(2525高三上清江阶段检测》已知双自线c:号岁-e>06>0)的左顶直为4右焦点为 F,P为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且∠PAF=30°，则∠PFA=() A.30° B.45° C.60° D.120° 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式43】(25-26高三下湖南长沙阶段检测)己知，F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ∠EP5=60°，PF=PE（>1)，若c的离心率为2，则2的值为() A.3 B.5 C.2 D.√2 题型05 椭圆与双曲线结合的离心率的问题 典例精析 【典例(2026旷西挂林模拟预测)双曲线-片-2(20，m侧0)的离心率与椭图)+片 x2y2 m =1的离心率 5 之积为6，则m的值为(） A.4 B.2 C.2 D.4 举一反三 【变式51】(25-26高二上辽宁期末)（多选）已知椭圆C和双曲线C,具有相同的焦点F(一1,0)， F,0),点P是它们的一个公共点，且在圆x+y=1上，椭圆C和双曲线C的离心率分别为9，e,且 e2=√2e,则下列说法正确的是() 6 A.e2= 2 B精圆C的方程为买+3少-1 1 C.△PEE的面积为3 D.△PFE,的周长为√5+2 变式52】(2526高二上天津津南阶段检测)已知椭圆℃号+)Q>2与双曲线C有公共的焦 点F、F,A为曲线C、C在第一象限的交点，且△AFF的面积为2，若椭圆C的离心率为？，双曲线 C,的离心率为e,则9+e的最小值为() > A.8 B.16 C.1 0.2 【变式53】(25-26高二上河南新乡·期末)若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同，且离心率之积为1，则 称椭圆为该双曲线的伴生椭圆，已知双曲线C:?-二 :2一2=1的左焦点为F'C的件生椭圆E与c在第一象限的 交点为M,则MF=() 5/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.3v2 c.4v2 D.6 题型06结合三角函数或不等式求离心率 典例精析 x2 y2 【典例6】 (25-26高三上江苏南通阶段检测）在平面直角坐标系x0中，过双曲线。存=日 a>0b>0上一点M(32。,2b)作两条近线的平行线分别与两渐近线交于P,9两点.若 4 ,4 ∠MOQ=3∠MOP,则该双曲线的离心率为() A.2 B.5 C.2 D.5 三举一反三 【变式61】(2026货州遵义二模)已知双曲线C:片 京F=1a>0,b>0)的左右焦点分别为F,F,过点 5 万且与新近线垂直的直线与双曲线C左右两支分别交于么B两点，若m∠FB那=日，则双曲线的离心率 为() A.6 3v5 B. 5 5 C.v5 2 D.2 【变式62】(25-26高三上陕西安康开学考试)在平面直角坐标系x0少中，A为双曲线 C. y2 :。尔=1a>0,b>0)的左顶点，M为双曲线c上位于第一象限内的一点，点M关于，轴对称的点为 N,记∠MAN=a,∠MOx=B,若tanctanp=3,则双曲线C的离心率为() A.2 B.3 C.2 D.V5-1 x2.y2 【变式63】(25-26高二上江苏苏州期末)在平面直角坐标系x0,中，已知椭圆c:京+存1( a>b>0)的左、右焦点分别为E,F,FF=2,C上有一点P位于第一象限，线段PF交y轴于点 M,PM=V2,若FM为∠EF,P的角平分线，则C的离心率为（) A② B、 3 2 C.2-1 D.3-1 题型07 根据几何图形关系求离心率 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例7】(25：26高三上河南商丘期末)已知双曲线C:-广 京尽=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,B, 过点的直线交C的左支于A,B两点，点I是△AB那的内心，若aAB,△1AF,aIBE的面积比为5：12：13，则 C的离心率为() V37 37 A. c.vii 37 5 25 6 . 举一反三 (25-26高三下广西河池期末)已知双曲线C:。尔=10>0,6>0)的左、有焦点分别 2c E,焦距为2c直线1：3x+4y+3c=0与双曲线c的右支交于点p,若△PFE,的内切圆半径为5，则双曲 线C的离心率为() A.5 B.5 C.2 D.3 x2,y2 【变式72】(25-26高二下湖南岳阳：期未)设F乃分别是椭圆京+京=1（a>b>0)的左、右焦点， 直线，过K交椭圆于A'B两点《点4在，轴下方)，交y销正半轴于点C:已知酰圆的离心率c- 2，且 AF ∠CFE=60°， 则FC =() 1 A.3 c.22+1 22-1 D. 7 7 【变式73】(25-26高二下福建厦门期末)已知椭圆C:+ a+存=1(a>b>)的左焦点为F'点p'Q在 24 C上，Pgk轴，若∠PF0=90°，且aPFQ的周长为7a,则c的离心率为() A.7 B.6 1 C.5 D.4 7/7