微专题 椭圆、双曲线离心率的计算问题（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

微专题 椭圆、双曲线离心率的计算问题 题型一 建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 利用曲线的范围建立不等关系． 1．已知，是椭圆：的左右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与焦点在轴上的双曲线的其中一条渐近线垂直，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 题型二 利用圆锥曲线的定义 利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，经过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型三 利用正弦定理 若题目中出现焦点三角形边或角的关系，可以结合圆锥曲线的定义和正弦定理，求出离心率 11．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线的右支上一点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 15．已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四 利用余弦定理 若题目中出现焦点三角形边或角的关系，可以结合圆锥曲线的定义和余弦定理，求出离心率 16．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，若是以为直角的等腰直角三角形，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 17．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．点A在双曲线C上，点B在y轴上，，，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 18．已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 19．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型五 椭圆与双曲线共焦点 椭圆与双曲线共焦点时，焦距2c相同。利用几何关系建立方程. 21．已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 23．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）    A． B． C． D． 24．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型六 点差法 中点弦问题 26．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 28．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 29．已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 30．已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型七 坐标法 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 31．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 32．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 33．已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（   ）． A． B． C． D． 34．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与在第一象限交于点，若在以为直径的圆上，且的中点在的渐近线上，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 题型八 四心问题 由定义找关系 35．已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 37．已知双曲线，若上存在点满足的外心为，则的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 38．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 39．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为的重心、内心.若轴，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 40．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心(三条高线的交点)恰为的焦点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题 椭圆、双曲线离心率的计算问题 题型八四心问题 题型一建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 题型七坐标法 题型二利用圆锥曲线的定义 椭圆、双曲线离心 率的计算问题 题型六点差法 题型三利用正弦定理 题型五椭圆与双曲线共焦点 题型四利用余弦定理 常点量戒 题型一 建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 啸方法 利用曲线的范围建立不等关系。 知个，乃是椭圆C:千+〔Q>6>0)的左有焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜幸为 6 直线上，△PFF,为等腰三角形，∠FFP=120°，则C的离心率为() A.3 3 B. D.4 【答案】D 【解析】由椭圆 2+21(a≥b之0)·可得A(-a,0),F(-c,0),F2(c,0) 过点P作PB⊥x轴，垂足为B, 因为点P在过4且斜率为怎的宜线上，可得直线P的方程为，： 6c+a), 又因为∠FF,P=120°，可得∠PF,B=60°，所以直线FP的斜率为k=√5， 所以直线FP的方程为y=√3(x-c), 联立方程组 +0,解科x-,所以E=“”-c= 6 5 5 (y=v3(x-c) 1/32 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为∠PF,B=60°，所以F,P叫=2a+C 5 又因为△PFE,为等腰三角形，且∠FFP=120°，所以F,P=F,F,, 即2c=2(a+c ，可得a=4c,所以椭圆的离心率为e=S=} a 4 故选：D F2 B 2。已知丽+芳-a>60的长轴长是贺轴长的2格，则E的离心率为( A. B.3 C. 2 D.25 3 3 【答案】C 【解析】因为椭圆E: .y2 2+2=1a>b之0)的长轴长是短轴长的2倍，则2a=4b，即2=1 故选：C 3.已知直线1+V3x-y+2025=0与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为() 3 A. /2+ B.√3+1 C.2- 2 D. 2- 2 【答案】D 【解析】直线1+V3x-y+2025=0的斜率为1+√5， 由两直线垂直可得双曲线C的其中一条渐近线斜率-，1。=-5-1， 1+5-2 即焦点在x轴上的双曲线C:芳发二 =1中b-5-1 故C的离心率e=,1+ 2/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 1已知双自线C号茶=a>06>0:过原点的直线的模角为a,且a 7若1与C没有交点， 则C的离心率的取值范围是() ,5 B c D.5 【答案】C 【解析】易知渐近线方程为y=±x, 因为cosa= 5 5)2 →sina 26, 所以an&=26 又1与C没有交点，所以26≥b,则e=9-c-。2+ (a=a=a2 1+s1+244 ,所以1<es7 5 252 故选：C 5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C,广1(0，b0)的左焦点为R,点M,N在双曲线C a2 b2 上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为() A.2 B.√2 C.3 D.5+1 【答案】D 【解析】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以MN OF,MN=MF=ON=OF, 记双曲线的焦距为2c,右焦点为尸则F-60,F'160).且根据双曲线的发称性，点V的横坐标为5 0s∠NOF-2-,所以sn∠OF=5所以点N的纵坐标为Vc 所以 c2 2 c23c2 所以点N 2 2 在双曲线上，代入双曲线方程，得4-4=1 a2 b2 整理得：（-3a2+b2)c2=4a2b2,联立c2=a2+b2, 得：（-3a2+c2-a2)c2=4a2(c2-a2),化简得：c4-8a2c2+4a4=0 两边同除以a,得：e-8e2+4=0,解得：e2=4±2√5，e=√5±1. 因为双曲线的离心率大于1，所以e=√3+1， 3/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以MN IOF,MW=MF=ON=OF, 记双曲线的焦距为2c,右焦点为P测F-c,0,F'(c,0),根据双曲线的对称性，点N的横坐标为5 所以 s∠N0F"=2=},所以sm∠NOF=5所以点V的级坐标为 2 2 3 2 所以NF= 3c,以NF= 十 由双曲线的定义，知NF-NF1=2a,所以√3c-c=2a,所以= 。5一15+1，双曲线C的离心率为 2 5+1 故选：D 题型二利用圆锥曲线的定义 啸方法 利用线段长度的大小建立不等关系。天，R为椭圆号+。=a>6>0)的左、右焦点，P为辋调上胸任意 a 一点。PF引ea-ca+d小：5,6为双曲线号芳=1a>06>0的左、有焦点，P为双确线上的任-点 PF≥c-a. 6. 圆C:怎+Ia>b>0的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，且∠FPE为直 3PF=4PF,则椭圆C的离心率是() B. D. 【答案】B 4/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解析】由题意，设PF2=41,则PF=3t,由椭圆的定义，得2a=PF+PF,=7t, 因为∠FPE,是直角，所以在△PFE,中，由勾股定理，得FE引=VPF+PF=5, 即2c=51,所以椭圆C的离心率e=C-29_§ a 2a 7 故选：B 7.已知，5分别是双曲线C:号茶=a>06>0的无、右气点，经过5的直线1与双线C的支交 于A,B两点，若AF=3,|AB=4,BF,=5,则双曲线C的离心率为() A.10 B.10 C.2W2 D.2 2 【答案】A 【解析】 F F3 如图所示，由双曲线的定义可知AF=AF-2a=3-2a,BF=BF-2a=5-2a 又AB=AF+BF=3-2a+5-2a=8-4a=4,所以a=1,AF=3-2a=1 因为AE+|AB=9+16=25=BFP,所以LBAF=90,所以EE=AF+AE=10,所以 2c=FF2=10, 故双曲线C的离心率e= 2cV10 2a2 故选：A 8。已红，B分别为双鱼线C号若=a>06>0的东、右合点，C的答近线上点A清足415， 且AF=3AF,,则C的离心率为（) A身 4 5 D. 5 C.3 【答案】B 【解析】因为C的渐近线上一点A满足AE⊥AF,且AF=3AF,, 5/32 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以在RB中45-而OAO5.则∠AFF:EA0. 所以∠AOF3=∠AFF,+∠FAO=2∠AFF, 又双曲线C:若若=a>06>0的新近线方程为-士色 1 所以。tan∠A0S,=tan2∠AF5=2ian∠4EE b 3 a 1-tan2∠AFF 1 21一 4 3 所以e= 5 4 故选：B 9.已知椭圆C。+冷>h>0的左、右焦点分别为，乃，点A,B在该椭圆上，四边形AFB是 等腰梯形，且HF-FF引，∠4，B=5,则C的离心率为() A.5-1 B.3-1 C.3 2 D.√2 3 2 【答案】B 【解析】设椭圆C的半焦距为C,依题意，AB/1EF2,又AF=FF,, 如图， 设∠BAF=∠AF,E=∠EAF,=0,:四边形AFFB为等腰梯形， ∠46=∠8那R,即x-29=0+受0-g 6 6/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由椭圆定义知，4，=2a-2c,cos∠RA5=2 1 AF:a-c=cos 62 解得S=e=5-1 a 2 故选：B 0.己知椭圆C:子女 +兰=1(a>b>0)的左右焦点分别为F,E,过右焦点E的直线与C交于AB两点，且 BF,=2FA,BF⊥AB,则椭圆C的离心率为() A.⑤ B. V5 D. 2 3 4 5 【答案】A 【解析】 设AF=x,因为BF=2FA,所以BF=2x, 由椭圆的定义可得AF=2a-x,BF=2a-2x, 因为8R14B，,在△B4中由勾股定理得9r2+2a-2x=(2a-刘，解得x=号 所以B时-智=号 在8听名中由勾表定程得音女+：=c,从雨可药e=写 故选：A 题型三 利用正弦定理 嫦方法 若题目中出现焦点三角形边或角的关系，可以结合圆锥曲线的定义和正弦定理，求出离心率 11.设椭圆+少户 +云=口>b>0的指点为，月，P是椭图上的一点，且∠FPS-骨若△r的外接圆和内 7/32 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 切圆的半径分别为R,”,当R=3r时，椭圆的离心率为() A. B D. 5 【答案】B 【解析】如图： N F2 2c △EPF的外接圆半径： =2RR=1 2V3c 3 6+t2=2a 设PF=4,PF=2,所以 =4c2→4= b2 t+号-25cos 3 所以S.%=2sin方 33 又S.R%=2{2a+2cr,所以r= v362 3a+c) 由R=3r得2V5e-56 3 →3b2=2c(a+c) a+c 又b2=a2-c2，所以5c2+2ac-3a2=0→5c2+2ac-3a2=0→e+1)(5e-3=0, 又ee(0,,所以e=3 5 故选：B 2,已知椭圆c:+少 尔=1a>6>0)的左、右焦点分别为R,B,离心率e=,点P为该稀圆上一点，且 满足∠FPR-骨，若aPE,的内切圆的面积为3江，则：P片的外接圆的面积为() A.2π B.4π C.6nt D.12π 【答案】D 【解折1由e-方得经-分即a=2c 1 设△FPF的内切圆半径为r,则由△FPF,的内切圆的面积为3π， 8/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可得其内切圆的半径r=√5 在aFPF中，根据椭圆的定义PF+PF,=2a,F,F,=2c, 又∠FP所=子由余弦定理得 cos∠EPE= PEP+PEP-FF(IPEI+IPE)-2IPFIXIPEI-FE 2PF×PF2 2PE×PF, 4a2-2PE×pF-4c2_ 2PF×PF 2 解得PF×Pl-a-c)=0 3 所5%明子--安r+刘 ta+c. 又b2=a2-c2,得a-c=3,故a=6,c=3, sin60=2V5, 由正弦定理知△FPF的外接圆半径为，C 所以△FPF,的外接圆的面积为12π. 故选：D 13.已知双曲线C:若若-口>0b>0的左、右售点分别为5,5，点P为双曲线C的右支上一这， ∠PF,F,=2LPFF2,若△FPE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围为() A.（5,22)B.(1,2+ C.(22,+∞ D.（2+1,5+1 【答案】D 【解析】设∠PFF,=x,则∠PFE=2x,∠FPF,=π-3x 9/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0<x<π 0<2xr< 解得<x< 6 0<元-3x<7 sin(-3x)=sin3x=sin(x+2x)=sin xcos 2x+cosxsin 2x=sinx(4cos2x-1), 即由正弦定理可知： PFLPFFF sin2 x sinx sin(元-3x' 4ccosx PF=4c0sx-1' 2c PF= 4cos2x-1 在双曲线中PF-PF,=2a, 即，4 ccosx 2c =2a,即2c2cosx-l=2a, 4c0s2x-14c0s2x-1 4c0s2x-1 4cos2x-1 .e= =2c0sx+1, 2cosx-1 ② cos. ÷ee1+2,1+5 故选：D 4.已知双曲线C:行尽、 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,5,P为C的右支上一点， ∠PFF2=20°，∠FPF2=60°，则C的离心率为() A.5 B 5 C D. 5 sin40 2sin40° c0s40° 2c0s40° 【答案】B 【解析】 F23 依题意得∠PF,E=180°-20°-60°=100°， 10/32