强化课 抛物线的性质及应用-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

一、选择题 1．抛物线x＝8y2的通径长为(　　) A．8 B．4 C． D． 解析：选C．抛物线x＝8y2，即y2＝x，可得2p＝，因此通径长为.故选C． 2．过抛物线x2＝6y焦点的直线与抛物线交于点M，N，若|MN|＝12，则直线MN的方程为(　　) A．2x＋2y＋3＝0 B．2x＋2y－3＝0 C．2x－2y＋3＝0或2x＋2y＋3＝0 D．2x－2y＋3＝0或2x＋2y－3＝0 解析：选D．抛物线x2＝6y的焦点为F(0，)，准线方程为y＝－，设直线MN的方程为y＝kx＋，由消去y得x2－6kx－9＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝6k，y1＋y2＝6k2＋3，则焦点弦长|MN|＝y1＋y2＋3＝6k2＋3＋3＝12，解得k＝±1，所以直线MN的方程为y＝±x＋，即2x－2y＋3＝0或2x＋2y－3＝0.故选D． 3．(2024·江西省丰城中学月考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝，则p＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(，0)，所以直线AB的方程为y＝(x－)，代入抛物线方程并整理得3x2－5px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，又|AB|＝x1＋x2＋p，所以＋p＝，解得p＝2.故选B． 4．(2024·陕西西安期末)已知P为抛物线C：x2＝－16y上一点，F为焦点，过P作C的准线的垂线，垂足为H，若△PFH的周长不小于30，则点P的纵坐标的取值范围是(　　) A．(－∞，－5] B．(－∞，－4] C．(－∞，－2] D．(－∞，－1] 解析：选A． 如图，设点P的坐标为(m，n)(n≤0)，准线y＝4与y轴的交点为A，则|PF|＝|PH|＝4－n，|FH|＝＝＝＝4，所以△PFH的周长为4＋2(4－n).则4＋2(4－n)≥30(n≤0)，令t＝，则t≥2，有2t2＋4t－30≥0，即t2＋2t－15≥0，解得t≤－5(舍去)或t≥3，所以≥3，由n≤0解得n≤－5.故选A． 5．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限).若|AF|＝3，则＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选A． 设抛物线的准线为l，过点A作AC⊥l于点C，过点B作BD⊥l于点D，过点A作AG⊥BD于点G，交x轴于点E，如图所示，由y2＝4x，得p＝2，所以l：x＝－1，|OF|＝1.设|BF|＝n.因为|AF|＝3，所以|AC|＝3，|BD|＝n，|EF|＝1，又△AEF∽△AGB，所以有＝，故＝，解得n＝，所以＝＝2.故选A． 6．(2024·新疆石河子一中月考)设抛物线C：x2＝－20y的焦点为F，点P在C上，Q(0，－15)，若|PF|＝|QF|，则|PQ|＝(　　) A．10 B．12 C．10 D．8 解析：选C．由抛物线C：x2＝－20y，可得p＝10，所以焦点F(0，－5)，由Q(0，－15)，可得|QF|＝10，又因为|PF|＝|QF|，所以|PF|＝10，因为2p＝20，即抛物线的通径长为20，所以PF⊥y轴，所以|PQ|＝＝＝10.故选C． 7．(2024·陕西咸阳期末)过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且＝3，则直线l的斜率为(　　) A．± B．±2 C．±2 D．±3 解析：选C．由题意得F(2，0)，因为＝3，则|AF|＝2|BF|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2y2，当直线l的斜率为0时，此时直线l与抛物线只有1个交点，不符合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为x＝my＋2，与抛物线方程联立，得y2－8my－16＝0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，因为y1＝－2y2，故－y2＝8m，－2y＝－16，所以(－8m)2＝8，解得m＝±，故直线l的斜率为＝±2.故选C． 8．(多选)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点F，且与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法正确的是(　　) A．抛物线C的焦点坐标为(1，0) B．|AB|的最小值为4 C．对任意的直线l，x1x2＝1 D．以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切 解析：选BD．抛物线C：x2＝4y的焦点F(0，1)，A选项错误；抛物线的焦点弦中，通径最短，故|AB|的最小值为4，B选项正确；由题意，直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入抛物线方程得x2－4kx－4＝0，则x1x2＝－4，C选项错误； 如图所示，设AB的中点为M，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，M′，则|MM′|＝＝＝，可知以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，D选项正确．故选BD． 9．(多选)(2024·广西钦州期中)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则(　　) A．|PF|最小值为2 B．若|PA|＝|PB|，则|AB|＝2|PF| C．若|AB|＝8，则|PF|＝2 D．若点P不在x轴上，则|FA|·|FB|>|PF|2 解析：选ABC．由题意知F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1，设P(－1，m)，|PF|＝＝≥＝2，所以当点P在x轴上时，|PF|有最小值2，所以选项A正确；若|PA|＝|PB|，根据抛物线的对称性可知点P在x轴上，把x＝1代入y2＝4x中，得y＝±2，|AB|＝2－(－2)＝4，此时|PF|＝2，于是有|AB|＝2|PF|，所以选项B正确；因为|AB|＝8，显然点P不在x轴上，则有kPF＝⇒kAB＝，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程中，得4x2－4x(2＋m2)＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝2＋m2，|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝8⇒2＋m2＋2＝8⇒m2＝4，|PF|＝＝＝2，所以选项C正确，点P不在x轴上，由C选项分析知x1＋x2＝2＋m2，x1x2＝1，|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝2＋m2＋2＝m2＋4，而|PF|2＝4＋m2，显然|FA|·|FB|＝|PF|2，所以选项D不正确．故选ABC． 10．(多选)(2024·江西联考)已知拋物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l：x＝－1与x轴交于点G，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则(　　) A．p＝4 B．∠AGF＝∠BGF C．以线段AB为直径的圆一定与直线l相切 D．△AGB的面积的最小值为4 解析：选BCD．对于A，因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为x＝－1，所以＝1，则p＝2，故A错误；对于B，抛物线C：y2＝4x，由题知直线AB的斜率不为0，故设直线AB的方程为x＝my＋1，联立整理可得y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(－1，0)，可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝＝1, kAG＝，kBG＝，kAG＋kBG＝＋＝＝＝＝＝＝0，所以∠AGF＝∠BGF，故B正确；对于C，设AB的中点为M，则点M到y轴的距离d＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，所以以线段AB为直径的圆一定与直线l相切，故C正确；对于D，S△AGB＝|GF|(|y1|＋|y2|)＝|y1－y2|＝＝＝4，所以当m＝0时，(S△AGB)min＝4，故D正确．故选BCD． 二、填空题 11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝，则弦AB的长为______________． 解析：由抛物线的焦点弦长公式可知，|AB|＝x1＋x2＋p.由抛物线方程，可得p＝2，又x1＋x2＝，所以弦AB的长为x1＋x2＋p＝＋2＝. 答案： 12．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为M，∠MAF的平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q.若|AB|＝8，则|PQ|＝________． 解析：如图， 过B作BN垂直于准线且垂足为N，连接PB，PF.由题得∠MAP＝∠QAP，由抛物线的定义可得|AF|＝|AM|，而|AP|＝|AP|，所以△MPA≌△FPA，所以|PM|＝|PF|，∠PFA＝∠AMP＝90°.又|BF|＝|BN|，|PB|＝|PB|，所以△PFB≌△PNB，所以|PF|＝|PN|，所以|PM|＝|PN|，即点P是MN的中点，所以PQ是梯形BNMA的中位线，所以|PQ|＝(|AM|＋|BN|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝4. 答案：4 13．(2024·河南驻马店期末)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为－1，则|AF|＋4|BF|的最小值是______________． 解析：设直线l：x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得y2－8my－8t＝0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－8t.因为直线OA，OB的斜率之积为－1，所以＝－1.因为y＝8x1，y＝8x2，所以x1x2＝，所以＝＝＝－1，解得t＝8，即x1x2＝＝64，故x1＝.因为|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，所以|AF|＋4|BF|＝x1＋2＋4(x2＋2)＝＋4x2＋10≥2＋10＝42，当且仅当4x2＝，即x1＝16，x2＝4时等号成立，所以|AF|＋4|BF|的最小值是42. 答案：42 14．(2024·安徽蚌埠统考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M在l上，点A，B在C上，若A，B，F三点共线，且MF⊥AB，△MFA的外接圆交l于点M，P，△MFB的外接圆交l于点M，Q，则＝_________________________________________________________． 解析：如图所示，因为MF⊥AB，所以MA为△MFA外接圆的直径，MB为△MFB外接圆的直径， 所以AP⊥l，BQ⊥l，由抛物线的定义得|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，则∠BMQ＝∠BMF，∠AMP＝∠AMF，所以∠BMQ＝∠MAP，∠AMP＝∠MBQ，所以Rt△AMP∽Rt△MBQ，则＝，所以＝·＝·＝1. 答案：1 三、解答题 15．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，求|AB|及△OAB的面积． 解：由题意知抛物线C：y2＝3x的焦点为F(，0)，故过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝(x－)＝x－，联立 消去y得x2－x＋＝0，Δ＝12>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，故|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.直线AB的方程为y＝x－，即4x－12y－3＝0，则原点O到直线4x－12y－3＝0的距离d＝＝，故△OAB的面积为×|AB|×d＝×12×＝. 16．(2024·陕西咸阳期末)已知抛物线T的顶点在坐标原点，焦点与圆F：x2＋(y－a)2＝1(a>)的圆心重合，T上一点M(1，m)到焦点F的距离|FM|＝. (1)求抛物线T的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线T和圆F从左向右依次交于A，B，C，D四点，且满足|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＝18，求直线l的方程． 解：(1)因为a>，所以圆F：x2＋(y－a)2＝1(a>)的圆心F(0，a)在y轴正半轴，所以设抛物线T的标准方程为x2＝4ay，准线方程为y＝－a，因为M(1，m)在抛物线T上，所以12＝4am.又因为M到焦点F的距离|FM|＝，所以M(1，m)到准线y＝－a的距离d＝m＋a＝，所以 因为a>，所以解得所以抛物线T的方程为x2＝4y. (2)由(1)得圆F：x2＋(y－1)2＝1，由题意，BC为圆F的直径，即|BC|＝2，BF，CF为圆F的半径，即|BF|＝|CF|＝1，因为|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＝18，所以(|AF|－|BF|)2＋|BC|2＋(|DF|－|CF|)2＝18，所以(|AF|－1)2＋4＋(|DF|－1)2＝18，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，由抛物线定义，|AF|＝y1＋1，|DF|＝y2＋1，所以(y1＋1－1)2＋4＋(y2＋1－1)2＝18，即y＋y＝14，由题意，直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y＝kx＋1，由消去x，整理得y2－(4k2＋2)y＋1＝0，Δ>0，所以y1＋y2＝4k2＋2，y1y2＝1.所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝(4k2＋2)2－2＝14，解得k＝±.所以直线l的方程为y＝±x＋1. 17．已知点A(x0，y0)为抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，|AF|的最小值为1. (1)求抛物线E的方程； (2)若过点T(2，0)且不垂直于x轴的两条直线l1，l2，分别与抛物线E交于点C，D和点M，N，点C，M均在x轴上方，过点T且垂直于x轴的直线分别交直线CM，DN于点G和点H.证明：|TG|＝|TH|. 解：(1)由题意得|AF|＝x0＋，因为x0≥0，所以当x0＝0时，|AF|取得最小值，最小值为，所以＝1，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x. (2)证明：设直线l1：y＝k1(x－2)，k1≠0，直线l2：y＝k2(x－2)，k2≠0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，G(2，yG)，H(2，yH)，直线CM：y＝(x－x1)＋y1，因为y＝4x1，y＝4x3，所以y＝(x－)＋y1＝x＋，当x＝2时，yG＝，同理可得，yH＝，联立得y2－y－8＝0，Δ>0 恒成立，所以y1y2＝－8，同理可得y3y4＝－8，所以yG＝＝＝＝＝－yH，所以|TG|＝|TH|. 学科网（北京）股份有限公司 $