24.4 一元二次方程的应用（第1课时 变化率问题）（教学课件）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用之变化率问题，课堂导入结合塞罕坝空气优良天数增长、医疗器械降价等现实案例，通过复习列方程解应用题步骤搭建学习支架，衔接前期方程解法知识，引导学生从实际问题中抽象数量关系并构建数学模型。 其亮点在于以真实情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界（如从塞罕坝案例发现增长率规律），通过分析量的关系、列解方程及检验解的合理性发展数学思维（推理意识与运算能力），归纳变化率模型提升数学语言表达（模型意识）。实例中智慧图书馆累计进馆人次问题，助力学生提升应用能力，也为教师提供结构化教学资源以优化教学。

【新教材】冀教版·九年级上册 第二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第1课时 变化率问题 章节导读 24.1一元二次方程 24.2解一元二次方程 因式分解法 配方法 一元二次方程的根 公式法 24.3一元二次方程根与系数的关系 直接开平方法 根与系数的关系 一元二次方程的应用 根的判别式 24.4一元二次方程的应用 认识一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 学会将实际应用问题转化为数学问题，培养数学应用的意识； 会分析题目中量之间的关系，准确列出一元二次方程； 会用一元二次方程解决变化率问题. 复习回顾 列方程解应用题的步骤： 审：明确已知量和未知量； 设：设未知数表示相关对象； 列：根据等量关系列出方程； 解：求解方程得到结果； 检：检验解是否符合题意（检验方程的解是否正确、 检验解是否符合实际意义）； 答：写出答案并作答. 新知探究 变化率问题 塞罕坝机械林场，地处河北省围场满族蒙古族自治县境内．几十年来，通过几代塞罕坝人的艰苦努 力，荒原沙地变成了具有百万亩林海的一道绿 色屏障，成为我国“生态文明建设的范例”． 该林区对于防止土壤流失，改善周边地区的空 气质量，起到了一定的作用．随着森林覆盖面积不断增加，周边空气的质量也得到了很大改善．据统计，围场县城2018年空气优良的天数为321天，2020年空气优良的天数为337天. 一起探究 新知探究 变化率问题 设该县这两年空气优良天数的年平均增长率为，请解决下面的问题: 思考 1.根据题意列出方程. 2018年 321天 2019年 321天 分析： 2020年 321 天 新知探究 变化率问题 设该县这两年空气优良天数的年平均增长率为，请解决下面的问题: 思考 2.依据1中所列方程，求该县这两年空气优良天数的年平均增长率.(结果精确到0.1%，可借助计算器计算) 解：直接开平方，得 （不合题意，舍去） 答：该县这两年空气优良天数的年平均增长率为2.5%. 关于增减变化问题，若一个量经过两个时期由变为，第一期的增长率为，第二期的增长率为，则有等式． 归纳总结 归纳总结 变化率问题 如果增长率相同，则可得计算式： 即. 当增长率为负数时，表示负增长. 新知探究 某医疗器械在国家集体采购政策的调控下，一年内经两次降价后，价格从3 000元/件降为2 160元/件. 如果第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍，那么两次降价的百分率各是多少?（P61） 做一做 变化率问题 分析：设第一次降价的百分率为，完成下表 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 第二次降价 对于此类问题，我们可以采用列表法，直观看出对应关系。 新知探究 某医疗器械在国家集体采购政策的调控下，一年内经两次降价后，价格从3 000元/件降为2 160元/件. 如果第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍，那么两次降价的百分率各是多少?（P61） 做一做 变化率问题 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 第二次降价 解：设第一次降价的百分率是， 则第二次降价的百分率是 . 依题意，得 . 整理，得. 解方程，得（不合题意，舍去）. 答：第一次降价的百分率是10％，第二次降价的百分率是20％. 利用一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系； (2)设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设； (3)寻找等量关系，列出方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同； (4)选择合适的方法解方程； (5)检验，因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数等，因此，解出方程的根后，一定要进行检验． (6)写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则. 归纳总结 归纳总结 一元二次方程的应用 典例分析 例1 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用与成正比例，比例系数为1.8；内部设备费用与成正比例，比例系数为6.某农户新建了一个大棚，投入的总费用为4.2万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.（注：总费用=建设费用+内部设备费用） 变化率问题 解：依题意，得. 整理，得. 解方程，得（不合题意，舍去）. 答：该农户新建的这个大棚的面积为0.2公顷. 分析：建设费用，建设费用 随堂练习 1.某工厂7月份的产值是100万元，计划9月份的产值要达到144万元.如果8月份和9月份两个月产值的增长率相同，那么每个月的增长率是多少？ 基础过关(P64) 解：设每个月的增长率为 根据题意，得 解得 （不合题意，舍去） 答：每个月的增长率为20%. 分析：设每个月的增长率为. 产值（万元） 7月份 100 8月份 9月份 随堂练习 2.某楼盘商品房的售价是10000元/平方米，由于限购政策的出台，房地产开发商经过两次下调价格后，以8100元/平方米的均价开盘销售.若两次价格下调的百分率相同，求这个下调的百分率. 基础过关(P64) 解：设这个下调的百分率为 根据题意，得 解得 答：这个下调的百分率为10%. 随堂练习 能力提升 3.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是( ) A.200(1+x)²=242 B.200(1-x)²=242 C.200(1+2x)=242 D.200(1-2x)=242 【答案】A 【解析】由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：, 故选：A. 随堂练习 能力提升 4.某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为，可列出方程__________． 解：根据题意，原价为118元，降价百分率为，可得第一次降价后的售价为． 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上下降，因此第二次降价后的售价为76，所以可列方程为． 随堂练习 能力提升 5.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 随堂练习 能力提升 5.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； 解：设进馆人次的周平均增长率为， 根据题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：进馆人次的周平均增长率为； 随堂练习 能力提升 5.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 解：校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由， ∵进馆人次的周平均增长率为， ∴第四周的进馆人次为， ∴校图书馆能接纳第四周的进馆人次． 课堂小结 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤: 审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系 设未知数 根据题目中的等量关系，列出方程（注意单位要统一） 解方程，求出未知数的值 检验方程的根能否保证实际问题有意义 写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则 审 答 验 解 列 设 感谢聆听! 【新教材】冀教版·九年级上册 $